專題12概率

——遜一：隨機(jī)事件的解氏易錯(cuò)點(diǎn)：互斥與對(duì)立混淆致誤

概率e______題型一?古曲概率e易錯(cuò)點(diǎn)：混淆基本事件的"等可能性"

4一，百期*\與"非等可雌致誤

一題型三：條件概率，、易錯(cuò)點(diǎn)：條件概率應(yīng)用錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)一：互斥與對(duì)立混淆致誤(隨機(jī)事件的概率)

I：首先明確什么是隨機(jī)試驗(yàn)

我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.

隨機(jī)試驗(yàn)的要求：

(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的，結(jié)果不止一種；

(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一種，但事先不能確定出現(xiàn)哪一種結(jié)果.

II：隨機(jī)事件的前提樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)石的每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一般地，

用。表示樣本空間，用。表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有"個(gè)可能結(jié)果例，和，…，見(jiàn)，則稱樣本空

間0=｛外,例,…,0“｝為有限樣本空間.

m：兩類事件：隨機(jī)事件、確定事件

(1)一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，

我們將樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅

當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

(2)。作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以。總會(huì)發(fā)生，

我們稱。為必然事件.

(3)在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，我們稱為不可能事件.

(4)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為隨機(jī)事件的確定事件.

注意：事件的運(yùn)算可以用韋恩圖可以破解

IV：互斥事件與對(duì)立事件

(1)互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件3不能同時(shí)發(fā)生，即人口3=0，則稱事件A與事件3互

斥，可用韋恩圖表示如下:

如果4，a，…，4中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件4，.4.，…，4彼此互斥.

(2)對(duì)立事件：若事件A和事件3在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即AUB=Q不發(fā)生,

AC\B=0則稱事件A和事件B互為對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記為A.

(3)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系(重點(diǎn))

①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者

之一必須有一個(gè)發(fā)生.

②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件,

而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件.

V：概率與頻率

(1)頻率：在〃次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)左稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)上與總次數(shù)〃的比

值人，叫做事件A發(fā)生的頻率.

n

(2)概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率勺k總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺

n

動(dòng),這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作尸(A).

(3)概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率與隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定

n

k

于概率尸(A),因此可以用頻率乙來(lái)估計(jì)概率尸(A).

n

隨機(jī)事件的概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用尸(A)表示.

解題步驟如下:

第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意;

第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)加；

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

第四步:利用公式尸0)=求出事件A的概率.

基本事件的總數(shù)

易錯(cuò)提醒：對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解：第一，互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第

二，所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三，兩個(gè)事件互斥是在試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來(lái)確定

的.對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)

立事件記作7.分類討論思想是解決互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想

三三

例、判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由.從40張撲克牌（紅桃、

黑桃、方塊、梅花各10張，且點(diǎn)數(shù)都是從1~10）中，任取一張.

（1）“抽出紅桃''與"抽出黑桃”；

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”.

變式1.從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（）

A.“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”

B.“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”

C.“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”

D.“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”

變式2.設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，I，豆分別為A,8的對(duì)立事件.給出以下命題：①若A,8為互斥事件，

且P（A）=；,則P（A+B）=|；②若尸（1）=；,則A,2相互獨(dú)立；

③若尸（A）=2，P⑻且尸（而）==，則A,B相互獨(dú)立；④若尸⑷==，P⑻=：,且P（AB）=J,

23v732v736

則A,8相互獨(dú)立.其中所有真命題的序號(hào)為（）

A.①B.②C.①②③D.②③④

變式3.（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)4="兩次都擊中飛機(jī)"，8="兩

次都沒(méi)擊中飛機(jī)"，C="恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，。="至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（）

A.AQDB.BCD=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

1.某中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)項(xiàng)目的比賽規(guī)則是：比賽分兩個(gè)階段，第一階段，比賽雙方各出5人，一對(duì)一進(jìn)

行比賽，共進(jìn)行5局比賽，每局比賽獲勝的一方得1分，負(fù)方得。分；第二階段，比賽雙方各出4人，二

對(duì)二進(jìn)行比賽，共進(jìn)行2局比賽，每局比賽獲勝的一方得2分，負(fù)方得。分.先得到5分及以上的一方裁

定為本次比賽的獲勝方，比賽結(jié)束.若甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行比賽，在第一階段比賽中，每局比賽雙方獲勝的

14

概率都是I;,在第二階段比賽中，每局比賽甲班獲勝的概率都是不，每局比賽的結(jié)果互不影響，則甲班經(jīng)

過(guò)7局比賽獲勝的概率是（）

2.已知。為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A,B滿足A==則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若且尸（A）=；,P（B）=g,則P（A+2）=g

B.若Ac3=0,且P（A）=g,尸⑻=g,則尸（A+2）=|

C.若尸網(wǎng)=尸（4忸）=/尸⑻=：,則尸伍同=；

D.若尸網(wǎng)=；,尸（X⑻=],尸0同=]貝|尸⑻=]

Z-4oJ

3.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取

出一球放入乙罐，分別以A，4和4表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，

以8表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（）

24

A.P（B）=wB.P（B|A）=H

C.事件3與事件A相互獨(dú)立D.A，A,4兩兩互斥

4.已知A8,C為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（）

A.P（AB）=P（A）P（B）B.P（B\JC\A）=P（B\A）+P（C\A）

C.P（A|A）=1D.P（A|B）＜P（AB）

5.甲、乙、丙、丁四名教師分配到A,B,C三個(gè)學(xué)校支教，每人分配到一個(gè)學(xué)校且每個(gè)學(xué)校至少分配一

人.設(shè)事件加：“甲分配到A學(xué)校"；事件N：“乙分配到B學(xué)?！?，則（）

A.事件/與N互斥B.P（M）=|

C.事件M與N相互獨(dú)立D.P（M|N）=\

6.為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，

100元的A,B,C三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙

兩位客戶各有1000積分，且甲兌換A,B,C三種商品的概率分別為:，：，：，乙兌換A,B,C三種

z36

商品的概率分別為J,q,二,且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.

（1）求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；

（2）記X為兩人兌換商品后的積分總余額，求X的分布列與期望

7.截至2022年年底，女足亞洲杯已經(jīng)成功舉辦了20屆.中國(guó)女子國(guó)家足球隊(duì)在參賽的15屆亞洲杯中共

獲得9次冠軍、2次亞軍和3次季軍，其輝煌戰(zhàn)績(jī)每每給國(guó)人帶來(lái)拼搏奮進(jìn)的力量.在某屆女足亞洲杯中，

將甲、乙、丙等12支參賽球隊(duì)平均分成A,B,C三個(gè)小組.

(1)求甲、乙、丙三支球隊(duì)分到同一小組的概率；

(2)求甲、乙、丙三支球隊(duì)中恰有兩支分到同一組的概率.

8.某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金

分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)

獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手

小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為：，4，J第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖

543

32

關(guān)的概率為《，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為彳，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.

(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；

(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

9.甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場(chǎng)比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下

場(chǎng)作為旁觀者，原旁觀者上場(chǎng)與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最

終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過(guò)抽簽決定由甲、乙先上場(chǎng)比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，

甲、乙比賽甲勝概率為方，乙、丙比賽乙勝概率為丙、甲比賽丙勝概率為:，每局比賽相互獨(dú)立且每局

比賽沒(méi)有平局.

(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.

10.某校為豐富教職工業(yè)余文化活動(dòng)，在教師節(jié)活動(dòng)中舉辦了“三神杯”比賽，現(xiàn)甲乙兩組進(jìn)入到?jīng)Q賽階段,

決賽采用三局兩勝制決出冠軍，每一局比賽中甲組獲勝的概率為。(。＜。＜1),且甲組最終獲得冠軍的概率

為g(每局比賽沒(méi)有平局).

⑴求P;

(2)已知冠軍獎(jiǎng)品為28個(gè)籃球，在甲組第一局獲勝后，比賽被迫取消，獎(jiǎng)品分配方案是：如果比賽繼續(xù)進(jìn)行

下去，按照甲乙兩組各自獲勝的概率分配籃球，請(qǐng)問(wèn)按此方案，甲組、乙組分別可獲得多少個(gè)籃球？

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆基本事件的“等可能性”與“非等可能性”致誤(古典概率)

古典概型

(1)定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的左個(gè)樣本點(diǎn)，則定義

事件A的概率尸⑷=—=一狹.

(3)概率的基本性質(zhì)

(1)對(duì)于任意事件A都有：O4P(A)W1.

(2)必然事件的概率為1,即尸(0)=1；不可能事概率為0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件3互斥，則尸(AU3)=P(A)+P(3).

推廣：一般地，若事件A，4，…，4彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，4,…，4中有一個(gè)發(fā)生)

的概率等于這〃個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即：p(A+4+…+4)=尸(A)+P(4)+...+P(A).

(4)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件3互為對(duì)立事件，則P(A)=1-P(3),P(B)=1-P(A),且

P(AUB)=P(A)+P(B)=I.

(5)概率的單調(diào)性：若A=B,則P(A)4P(B).

(6)若A,3是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，貝iJP(AU3)=P(A)+P(3)-P(An3).

解題步驟如下:

第一步：仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意;

第二步：判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

第三步：分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)〃J

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

第四步:利用公式尸(A)=求出事件A的概率.

~基本事件的總數(shù)

易錯(cuò)提醒：在解決古典概型問(wèn)題時(shí)要分清事件與基本事件，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，而某個(gè)

事件可能包含幾個(gè)基本事件，要注意區(qū)分，避免出錯(cuò).

例、設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無(wú)放回地摸出2只球.

(1)求這2只球都是白球的概率；

(2)求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率.

變式1：袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，

兩球顏色為一白一黑的概率等于（）

A.1B.2C.3D,1

5555

變式2：一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個(gè)小球，其中白色球3個(gè)，黑色球2個(gè).若從中任取1個(gè)球，

每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為；若從中任取

2個(gè)球，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為九則隨機(jī)變量4的期望為.

變式3：已知不透明的袋中裝有三個(gè)黑球（記為用，仄和用）、兩個(gè)紅球（記為&和冬），從中不放回地依

次隨機(jī)抽取兩球.

⑴用集合的形式寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間;

（2）求抽到的兩個(gè)球都是黑球的概率.

1.某學(xué)校舉辦作文比賽，共5個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽

同學(xué)抽到不同主題概率為（）

2.書(shū)籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國(guó)

古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域影響深遠(yuǎn)的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)

學(xué)書(shū)”，代表了文藝復(fù)興之前歐洲數(shù)學(xué)的最高成就，這些著作對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)而廣泛的影響.現(xiàn)

從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的概率為（）

.1c18-22「4

A.—B.—C.—D.—

7353515

3.“二十四節(jié)氣”是我國(guó)上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，農(nóng)耕生產(chǎn)與大自然的節(jié)律息息相關(guān)，它是上古先民順應(yīng)農(nóng)時(shí)，

通過(guò)觀察天體運(yùn)行，認(rèn)知一歲（年）中時(shí)候（時(shí)令）、氣候、物候等變化規(guī)律所形成的知識(shí)體系.“二十四

節(jié)氣，，對(duì)今天的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)仍有著重要的指導(dǎo)意義.傳統(tǒng)四季劃分是以立春、立夏、立秋、立冬作為起始.現(xiàn)

從“二十四節(jié)氣”中隨機(jī)抽取兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一季的概率為（）

.2八510

A.—B.—C.—D.—

23236923

4.某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書(shū)閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書(shū)

籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書(shū)不低于6本的人數(shù)占12%,不低于8本的人數(shù)占4%.現(xiàn)從讀書(shū)不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)

地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書(shū)低于8本且不低于6本，1名讀書(shū)不低于8本的概率為（）

5.某對(duì)新婚夫婦響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，計(jì)劃生育3個(gè)孩子，若每胎只有一個(gè)孩子，且每胎生男生女的概率相同，

記事件A為“3個(gè)孩子中有男有女”，則P(A)=()

A.-B.1C.|D.-

3234

6.某中學(xué)團(tuán)委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚(yáng)青春風(fēng)采”為主題的文藝匯演，初中部推薦

了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機(jī)選2位主持文藝匯演，則選中的2位

主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為()

A.-B.-C.-D.—

33415

7.先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為設(shè)事件A="x+y=5",事件&="丁=尤2”,

事件A="x+2y為奇數(shù)”，則()

A.尸(4)=gB.尸(4)=1

c.A與&相互獨(dú)立D.4與4相互獨(dú)立

8.某公司為了推廣旗下的某款A(yù)pp,在2024年春節(jié)來(lái)臨之前，推出了集“?？ā钡锚?jiǎng)勵(lì)的活動(dòng)，其中“?？ā?/p>

有5種，分別是“福到”“財(cái)?shù)健薄跋驳健薄熬壍健薄斑\(yùn)到”.規(guī)則如下：①通過(guò)登錄這款A(yù)pp或推薦新用戶下載并使

用這款A(yù)pp可獲得若干抽獎(jiǎng)次數(shù)；②每次抽獎(jiǎng)可獲得一張“?？ā?；③5種“?？ā笔窍到y(tǒng)隨機(jī)分配的；④用戶

集齊5種“福卡”后，便可獲得App提供的獎(jiǎng)勵(lì)；⑤集齊5種“?？ā焙?，用戶不再抽獎(jiǎng)，活動(dòng)結(jié)束；⑥用完所

有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，活動(dòng)結(jié)束.現(xiàn)在甲參加了集“?？ā钡锚?jiǎng)勵(lì)的活動(dòng).

(1)已知甲已經(jīng)集了其中的2種“?？ā保€有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率；

(2)已知甲己經(jīng)集了其中的3種“?？ā?，還有4次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記活動(dòng)結(jié)束時(shí)，甲使用的抽獎(jiǎng)次數(shù)為己求J的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

9.某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙、丙三位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子100m決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知

識(shí)對(duì)該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了這三位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽100m成績(jī)(單位：秒)，若比

賽成績(jī)小于10秒則稱為“破十”.

甲：10.54,10.49,10.31,10.37,9.97,10.25,10.11,10.04,9.97,10.03；

乙：10.59,10.32,10.06,9.99,9.83,9.91；

丙：10.03,9.98,10.10,10.01.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)分別估計(jì)甲、乙、丙三位運(yùn)動(dòng)員“破十”的概率;

(2)設(shè)這三位運(yùn)動(dòng)員在這次決賽上“破十”的人數(shù)為X,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X).

10.某地區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有甲、乙兩位田徑運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入了男子100m決賽，某同學(xué)決定運(yùn)用高中所學(xué)的知識(shí)對(duì)

該次決賽的情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了這兩位運(yùn)動(dòng)員近幾年的大賽100m成績(jī)(單位：秒)，若比賽成

績(jī)小于10秒則稱為“破十”.

甲：10.54,10.49,10.31,10.37,9.97,10.25,10.11,10.04,9.97,10.03；

乙：10.32,10.06,9.99,9.83,9.91；

(1)求甲成績(jī)的中位數(shù)與平均數(shù)(平均數(shù)的結(jié)果保留3位小數(shù))；

(2)從乙的5次成績(jī)中任選3次，求恰有2次成績(jī)“破十”的概率.

易錯(cuò)點(diǎn)三：條件概率應(yīng)用錯(cuò)誤(條件概率)

I:條件概率

一般地，設(shè)A,3為兩個(gè)事件，且P(A)>。，稱尸(例A)=2^為在事件A發(fā)生的條件下，事件3發(fā)

尸⑷

生的條件概率.

注意：(1)條件概率RBIA)中“I”后面就是條件；(2)若尸(4)=0,表示條件A不可能發(fā)生，此時(shí)用

條件概率公式計(jì)算尸(3|A)就沒(méi)有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在尸(A)>0的情況下進(jìn)行.

性質(zhì)

(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在。和1之間，即04尸(31A)(1.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果3與C互斥，則尸(BUC|A)=尸(例4)+尸(C|A).

注意：(1)如果知道事件A發(fā)生會(huì)影響事件3發(fā)生的概率，那么尸(為片尸(引4)；

(2)已知A發(fā)生，在此條件下8發(fā)生，相當(dāng)于的發(fā)生，要求尸(例4),相當(dāng)于把A看作新的基本事

n(AB)

件空間計(jì)算AB發(fā)生的概率，即尸(04)=匕^=—^=*#.

,(A)"(A)尸⑷

II：相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系

相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)

(1)相互獨(dú)立事件的概念

對(duì)于兩個(gè)事件A,B,如果PCB|A)=P(B),則意味著事件A的發(fā)生不影響事件3發(fā)生的概率.設(shè)

P(A)>0,根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，PCB)=P(8|A)=W^,從而P(AB)=P(A)P(B).

P(A)

由此我們可得：設(shè)A,8為兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件3相互獨(dú)立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件A與3,若P(A)>。，則P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱上式為

概率的乘法公式.

(3)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

如果事件A,3互相獨(dú)立，那么A與耳，無(wú)與6,4與否也都相互獨(dú)立.

事件的獨(dú)立性

(1)事件A與3相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=尸(A)?P(B).

(2)當(dāng)P(B)>。時(shí)，A與3獨(dú)立的充要條件是尸(AIB)=P(A).

(3)如果P(A)>。，A與3獨(dú)立，則P(BIA)=萼整="P?成立.

尸(A)尸⑷

m：全概率公式

全概率公式

(1)P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若樣本空間。中的事件A，A,4滿足：

①任意兩個(gè)事件均互斥，即44=0,，，/=1,2,…,〃，，彳,；

②A+4"1-^4=。；

③尸⑷>0,7=1,2,…,77.

則對(duì)。中的任意事件3,都有2=%+%+…+3A,,,且

尸⑻=xIA).

z=li=l

貝葉斯公式

n//ln、P(A)P(B|A)尸(A)P(5!A)

⑴一般地，當(dāng)?！词?lt;1且尸⑷>。時(shí)，有尸(9)=』^

尸(A)尸(51A)+P(A)P(B\A)

(2)定理2若樣本空間。中的事件A，4,…，4滿足：

①任意兩個(gè)事件均互斥，即4劣=0,，，/=1,2,…，幾，，。九

②4+4■)—A?=。；

③0<P(A)<1,i=1,2,…，幾.

則對(duì)Q中的任意概率非零的事件B,都有3=%+%+…+區(qū)4〃,

尸（A）PGBiA）

且￡P(guān)（A）P（2IA）

Z=1

易錯(cuò)提醒：條件概率：設(shè)A,B是條件S下的兩個(gè)隨機(jī)事件，P（A）＞0,則稱在事件A發(fā)生的條件下事件

記作P（0A）,P（B|A）=4號(hào),

B發(fā)生的概率為條件概率,其中P（A3）表示事件A與事件B同時(shí)發(fā)生

構(gòu)造的事件.

要注意概率P（A|3）與尸（AB）的區(qū)別：

（1）在P（A|3）中，事件A,B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在尸（AB）中，事件A,B同時(shí)發(fā)生.

（2）樣本空間不同，在尸（川3）中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為Q,因而有

P（A\B）＞P（AB）.

例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個(gè)孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個(gè)男孩的概率.

變式1：某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是

0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

變式2；設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94,使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87,

問(wèn)已經(jīng)使用了500h的燈管還能繼續(xù)使用到700h的概率是多少？

變式3：有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取1粒，求這粒種

子能成長(zhǎng)為幼苗的概率.

易

1.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，觀察向上的點(diǎn)數(shù).在第1次出現(xiàn)奇數(shù)的條件下，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之

積為偶數(shù)的概率為（）

2.湖南第二屆旅游發(fā)展大會(huì)于2023年9月15日至17日在郴州舉行，為讓廣大學(xué)生知曉郴州，熱愛(ài)郴州，

親身感受“走遍五大洲I,最美有郴州"綠色生態(tài)研學(xué)，現(xiàn)有甲，乙兩所學(xué)校從萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地,

王仙嶺旅游風(fēng)景區(qū)，雄鷹戶外基地三條線路中隨機(jī)選擇一條線路去研學(xué)，記事件A為“甲和乙至少有一所學(xué)

校選擇萬(wàn)華巖中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐基地”，事件B為“甲和乙選擇研學(xué)線路不同”，則P（B|A）=（）

A.-B.-C.-D.-

5544

3.甲、乙兩位學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤5個(gè)項(xiàng)目中分別各自隨機(jī)選擇其中一

項(xiàng)，記事件A：甲和乙選擇的活動(dòng)各不同，事件甲和乙恰好一人選擇①，則P（B|A）等于（）

1299

A.—B.-C.—D.—

552520

4.2023年3月13日第十四屆全國(guó)人民代表大會(huì)第一次會(huì)議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會(huì)”

精神，舉辦“學(xué)兩會(huì)，知國(guó)事，，知識(shí)競(jìng)賽.高二學(xué)生代表隊(duì)由A,B,C,D,E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名

成員中隨機(jī)抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生8也被抽到的概率為（）.

A.-B.；C.-D.-

3238

111——7

5.設(shè)A,5是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P（A）=5，P（B）=—,P（AB+A3）=A，則下列結(jié)論中正確

的是（）

-1-5

A.P（AB）=-B.P（A+B）=-

86

9--