專題11功和功率及動(dòng)能定理的理解與應(yīng)用

目錄

題型一恒力做功的分析和計(jì)算...................................................................1

題型二變力做功的分析和計(jì)算...................................................................6

類型1微元法計(jì)算變力做功..................................................................8

類型2圖像法計(jì)算變力做功..................................................................9

類型3等效轉(zhuǎn)換法求變力做功...............................................................14

類型4平均力法求變力做功.................................................................17

類型5應(yīng)用動(dòng)能定理求變力做功.............................................................19

題型三功率的分析和計(jì)算......................................................................23

類型1功率的分析和計(jì)算...................................................................24

類型2功率和功綜合問題的分析和計(jì)算......................................................29

題型四機(jī)車啟動(dòng)問題...........................................................................33

類型1恒定功率啟動(dòng)......................................................................34

類型2恒加速度啟動(dòng)問題..................................................................37

題型五動(dòng)能定理的理解.........................................................................45

題型六動(dòng)能定理的基本應(yīng)用....................................................................48

題型七動(dòng)能定理與圖像的“數(shù)形結(jié)合”............................................................52

類型1反-X（/一X）圖像問題.................................................................53

類型2F-x圖像與動(dòng)能定理的結(jié)合..........................................................56

類型3其他圖像與動(dòng)能定理的結(jié)合..........................................................62

題型八動(dòng)能定理在多過程、往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用...............................................68

類型1運(yùn)用動(dòng)能定理解決多過程問題.......................................................68

類型2動(dòng)能定理在往復(fù)運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用...................................................71

題型一恒力做功的分析和計(jì)算

【解題指導(dǎo)】1.判斷力是否做功及做正、負(fù)功的方法

判斷根據(jù)適用情況

根據(jù)力和位移方向的夾角判斷常用于恒力做功的判斷

根據(jù)力和瞬時(shí)速度方向的夾角判斷常用于質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)

根據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律判斷常用于變力做功的判斷

2.計(jì)算功的方法

(1)恒力做的功

直接用沙=&cosa計(jì)算或用動(dòng)能定理計(jì)算。

(2)合力做的功

方法一：先求合力尸合，再用少^=F』cosa求功，尤其適用于已知質(zhì)量正和加速度。的情況。

方法二：先求各個(gè)力做的功少1、仍、少3…，再應(yīng)用平臺=心+仍+以+…求合力做的功。

方法三：利用動(dòng)能定理，合力做的功等于物體動(dòng)能的變化。

【例11質(zhì)量為1kg的物塊僅在水平恒力/作用下由靜止沿水平方向做加速運(yùn)動(dòng)，己知物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)

了距離A后的4s內(nèi)前進(jìn)了16m,且物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)了距離%后的4s內(nèi)前進(jìn)了32m,則下列說法正確

的是()

A.距離L為4m

B.物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離九時(shí)，力F對其做的功為18J

C.物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離42時(shí)，動(dòng)量大小為4kg-m/s

D.物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離M后的6s末的動(dòng)能為60J

【答案】BC

【詳解】A.由于物塊僅在水平恒力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，則其做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的加速度為

a,其從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離為乙時(shí)用時(shí)為運(yùn)動(dòng)距離為”時(shí)用時(shí)為7,則由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得

L=—at1

2

乙+16=+9+4)2

1,

9L=-aT2

2

1,

9L+32=-a(r+4)

解得

L=2m,a=lm/s2,片2s,r=6s

故A錯(cuò)誤；

B.由牛頓第二定律，可得水平恒力

F=ma

即

F=1N

則物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離”時(shí)，力廠對其做的功為

W=F-9L=18}

故B正確；

C.物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離4L時(shí)的速度為

v='j2.a'x.4L=4m/s

所以物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離4L時(shí)的動(dòng)量大小為

p=mv-4kg-m/s

故C正確；

D.物塊從靜止開始運(yùn)動(dòng)距離〃后的6s末的速度為

v'=v+at'=10m/s

對應(yīng)的動(dòng)能為

E.=-mv,2=5OJ

k2

故D錯(cuò)誤。

故選BCo

【變式演練1】如圖所示，傾角為6=37。的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力耳將位于斜面

底端的滑塊推到斜面頂端，推力巧做的功至少為％。已知物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃=0.5,sin37。=0.6,

cos37°=0.8,若用水平向左的推力名將物塊推到頂端，推力且做的功至少為（）

A.1.2%B.1.4%C.1.6%D.1.8%

【答案】C

【詳解】對物塊做功最少，物塊應(yīng)從斜面底端緩慢運(yùn)動(dòng)到斜面頂端，用平行斜面向上的推力將位于斜面底

端的物塊推到斜面頂端，對物塊受力分析如圖甲所示，根據(jù)受力平衡可得

F{=mgsin0+/jmgcos0=mg

設(shè)斜面的長度為乙則

Wo=FXL=mgL

對物塊受力分析如圖乙所示，根據(jù)受力平衡可得

F2COS0=mgsin0+〃優(yōu)sin6+mgcos9）

解得

廠mgsin0+umecos6-

F,=--------------------------=2me,

cos夕一〃sin。

則

W=F2Lcose=1.6加=1.6%

故選Co

【變式演練2】一質(zhì)點(diǎn)在恒力廠的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，前一半路程從靜止開始在粗糙水平面上運(yùn)動(dòng)，后一半

路程進(jìn)入光滑水平面繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，兩階段末速度分別為山、V2,所用時(shí)間分別為小t2,恒力尸的沖量分別為

h、L，恒力下做的功分別為四、心，則（）

A.v2<V2V1B.Z2>(V2-1XC./2<(72-1)/,D.W2=Wi

【答案】CD

【詳解】A.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的總路程為2x,在粗糙水平面上所受摩擦力為了,質(zhì)點(diǎn)在第一階段有

在第二階段有

V：-v；=2---X

m

可得

彩2一匕2>匕2

解得

v2>Ch

A錯(cuò)誤；

B.質(zhì)點(diǎn)在第一階段有

在第二階段有

F-f1F2

%=--------Z1Z2+-------G

m2m

可得

(F-f)R=2(F-/)能+理>2(尸-/M+(F-加

即

f；>2區(qū)+g

解得

t2<(V2-1居

B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)I=Ft得

A<(V2-1)7,

C正確；

D.根據(jù)印=網(wǎng)得

D正確。

故選CD=

【變式演練3】某人(視為質(zhì)點(diǎn))在空乘逃生演練時(shí)，從傾斜滑墊上端/點(diǎn)由靜止滑下，經(jīng)過轉(zhuǎn)折點(diǎn)2后

進(jìn)入水平滑墊，最后停在水平滑墊上的C點(diǎn)，N點(diǎn)在水平地面上的射影為。點(diǎn)，該過程簡化示意圖如圖所

示。已知人與傾斜滑墊和水平滑墊間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為必，。、8兩點(diǎn)間的距離為4，8、C兩點(diǎn)間的距離

為4,人的質(zhì)量為加，重力加速度大小為g,不計(jì)人通過轉(zhuǎn)折點(diǎn)8時(shí)的機(jī)械能損失，下列說法正確的是

A

A.人與傾斜滑墊間因摩擦產(chǎn)生的熱量大于〃，的4

B.人與傾斜滑墊間因摩擦產(chǎn)生的熱量為〃，咫4

C.人從/點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功為〃根g(4+4)

D.因?yàn)閮A斜滑墊的傾角未知，所以不能求出人從4點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功

【答案】C

【詳解】AB.設(shè)傾斜滑墊的傾角為"，對人分析有

Q=jUmgLABcosP=/umgLt

故AB錯(cuò)誤；

CD.人從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功

W=fjmgL囂cosf3+/jmgL2=/umg(Lj+Z2)

故C正確；D錯(cuò)誤。

故選C。

題型二變力做功的分析和計(jì)算

【解題指導(dǎo)】求變力做功的五種方法

方法以例說法

_----m

(^0)1

微元法'，一」質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)一周克服摩擦

力做功Wi=FrAxi+尸/Ax2+FrAX3+…=J?f(Axi+Ax2+Ax3+…)=Fr2nR

瞽Fh

等效

77777777T

lJL

AB恒力廠把物塊從/拉到3,繩子對物塊做功W=F-IC-

sma

轉(zhuǎn)換法

--)

sinP

F/N

F。

/

居

圖像法0X。x/m—水平拉力拉著一物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移為xo，圖線

斤圍面積表示拉力所做的功，水=為土”。

與橫軸F

2

平均形變量Ax當(dāng)力與位移為線性關(guān)系，力可用平均值F=旦士些表示，代入

2

值法

功的公式得少=必工Ax

2

Tv

應(yīng)用動(dòng)

AOmB用力/把小球從/處緩慢拉到8處，歹做功為人，則有：

能定理

WF—mgL(l—cos8)=0,得^F=mgL(l—cos6)

類型1微元法計(jì)算變力做功

【例1】水平桌面上，長6m的輕繩一端固定于。點(diǎn)，如圖所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量〃?=2.0kg的小

球?，F(xiàn)對小球施加一個(gè)沿桌面大小不變的力尸=10N,尸拉著物體從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，尸的方向始終與小球

的運(yùn)動(dòng)方向成37。角。已知小球與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.2,不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2,sin37o=0.6,

cos37°=0.8,則下列說法正確的是()

A.拉力廠對小球做的功為16兀(J)B.拉力/對小球做的功為8%(J)

C.小球克服摩擦力做的功為16%(J)D.小球克服摩擦力做的功為4兀(J)

【答案】A

【詳解】AB.將圓弧分成很多小段"，12,1?,拉力歹在每小段上做的功為肌，％，…，%,因拉力

尸大小不變，方向始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向成37。角，所以

Wi=Fhcos3T

%=a2cos37。

陰戶式〃cos37°

故

唯=Wi+W2+...+Wn=FcosSTC/j+/2）=Fcos37-等10x0.8x=60+16冠）

故A正確，B錯(cuò)誤；

CD.同理可得小球克服摩擦力做的功

=

Wf="mg■~~~8萬（J）

故CD錯(cuò)誤。

故選Ao

【變式演練1】過去人們通常用驢來拉磨把谷物磨成面粉，如圖甲所示。假設(shè)驢拉磨可以看成做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)，示意圖如圖乙所示，驢對磨桿末端的拉力尸=800N,拉力沿圓周切線方向，磨桿的半徑r=0.7m,驢

拉磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間為7s,7t?3,則下列說法正確的是（）

A.磨桿上各點(diǎn)的線速度均相等B.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為1680J

C.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力的平均功率為480WD.磨桿末端的線速度大小為0.3m/s

【答案】C

【詳解】A.磨桿上各點(diǎn)的角速度相等，根據(jù)丫=。/可知，半徑不同，則線速度不同，故A錯(cuò)誤;

B.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力所做的功為

平=Fs=Fx2/rw800x2x3x0.7J=3360J

故B錯(cuò)誤；

C.驢轉(zhuǎn)動(dòng)一周拉力的平均功率為

P=7=TW=48OW

故C正確；

D.磨桿末端的線速度大小為

2%-2x3x0.7.c//

v=-----?-------------m/s=0.6m/s

T7

故D錯(cuò)誤。

故選Co

【變式演練2】如圖所示，擺球質(zhì)量為小，懸線長度為乙把懸線拉到水平位置后放手.設(shè)在擺球從/點(diǎn)沿

圓弧運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)的過程中空氣阻力的大小/不變，則下列說法正確的是（）

A.重力做功為0B.懸線的拉力做功為加g￡

C.空氣阻力做功為-g/萬工D.擺球克服空氣阻力做功為〃

【答案】C

【詳解】A.擺球所受重力豎直向下，擺球位移有豎直向下的分量，故重力做功不為零，故A錯(cuò)誤；

B.懸線的拉力始終與v垂直，不做功，故B錯(cuò)誤；

CD.將圓弧路徑分成若干小圓?。ūM量小），每一段小圓弧上可認(rèn)為/是恒力，所以/所做的總功等于每個(gè)

小弧段上了所做功的代數(shù)和，即

Wf=—(yAx/+yAx2+...)=--fivL

故C正確，D錯(cuò)誤。

故選C。

類型2圖像法計(jì)算變力做功

【例2】如圖甲所示，一物塊放置在水平臺面上，在水平推力下的作用下，物塊從坐標(biāo)原點(diǎn)。由靜止開始

沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，咒與物塊的位置坐標(biāo)x的關(guān)系如圖乙所示。物塊在x=2m處從平臺飛出，同時(shí)撤去尸,

物塊恰好由P點(diǎn)沿其切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，隨后恰能從軌道最高點(diǎn)”飛出。已知物塊質(zhì)量機(jī)=0.5kg,

物塊與水平臺面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃=0.5,軌道圓心為O,半徑為R=0.5m,九W為豎直直徑，/尸ON=45°,

重力加速度g=10m/s2,不計(jì)空氣阻力。求：

（1）水平推力廠做的功；

（2）物塊運(yùn)動(dòng)到尸點(diǎn)時(shí)的速度大??；

（3）物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力做的功。

【答案】（1）HJ；（2）4Gm/s;（3）33-5.j

4

【詳解】（1）根據(jù)尸-尤圖像與橫軸圍成的面積表示功，可知水平推力/做的功為

4+7

Wr=——x2J=llJ

（2）設(shè)物體從水平臺面飛出時(shí)的速度為%,根據(jù)動(dòng)能定理可得

12

-jLimgx=-m說

解得

v0=2y/6m/s

物塊恰好由P點(diǎn)沿其切線方向進(jìn)入豎直圓軌道，則有

vp=————=4V3m/s

cos45°

（3）物體剛好從軌道最高點(diǎn)M飛出，重力剛好提供向心力，則有

mg=m

物塊從尸點(diǎn)到M點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理

-mgR(1+cos45°)-W{=—

解得物塊在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功為

33-5逝

4

【變式演練1】木匠師傅用鐵錘把釘子砸進(jìn)木梁，每次砸擊對鐵釘做功相同。已知釘子所受阻力與其進(jìn)入木

梁中的深度成正比，木匠砸擊4次，就把一枚長為上的釘子全部砸進(jìn)木梁，那么他第1錘將鐵釘砸進(jìn)木梁的

深度是（）

、L八L八,L八L

A.—B.—C.—D.-

4248

【答案】B

【詳解】作出釘子所受阻力與進(jìn)入深度的關(guān)系圖，可知前一半深度與后一半深度過程中，阻力做功之比為1:3,

由題意可知，每次砸錘，錘對釘做功相同，將釘全部砸進(jìn)木梁需要砸4次，則第1錘將鐵釘砸進(jìn)木梁的深

度哈

故選B。

dx

【變式演練2】放在粗糙水平地面上一物體受到水平拉力的作用，在0?6s內(nèi)其速度與時(shí)間的關(guān)系圖象和該

拉力的功率與時(shí)間的關(guān)系圖象分別如圖甲、乙所示。下列說法中正確的是（）

A.0-6s內(nèi)拉力做的功為140J

B.拉力在0?6s內(nèi)做的功與0?2s內(nèi)拉力做的功相等

C.物體質(zhì)量為0.8kg

D.物體在0?2s內(nèi)所受的拉力為6N

【答案】ACD

【詳解】A.功率與時(shí)間的關(guān)系圖象中，圖線與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積，在數(shù)量上等于功，所以0?6s內(nèi)拉

力做的功為

FT=-x2x60J+4x20J=140J

2

故A正確；

B.拉力在0?6s內(nèi)做的功大于0?2s內(nèi)拉力做的功，故B錯(cuò)誤；

C.由圖乙可知2?6s內(nèi)拉力的功率

P=Fv=20W

由圖甲可知2~6s內(nèi)物體的速度為

v=10m/s

所以拉力的大小為

P

尸=_=2N

v

這段時(shí)間內(nèi)物體做勻速運(yùn)動(dòng)，則摩擦力的大小為

/=F=2N

在0?2s內(nèi)，由動(dòng)能定理可得

叫叫=限

即

111

—x2x60J-2x—x2xlOJ=—xmx(1Om/s)9

222

解得

m=0.8kg

故C正確；

D.物體在0?2s內(nèi)的加速度為

a=5m/s2

由牛頓第二定律有

解得

尸=6N

故D正確。

故選ACDo

類型3等效轉(zhuǎn)換法求變力做功

【例3】如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個(gè)滑塊，用輕繩系著滑塊繞過光滑的定滑輪，以恒定的拉力

尸拉繩，使滑塊從/點(diǎn)起由靜止開始上升。若從/點(diǎn)上升至3點(diǎn)和從8點(diǎn)上升至C點(diǎn)的過程中拉力尸做的

功分別為名和腦，圖中48=8C,則()

A.Wi>W2

B.Wi<W2

C.跖=W2

D.無法確定跖和歐的大小關(guān)系

【答案】A

【解析】輕繩對滑塊做的功為變力做功，可以通過轉(zhuǎn)換研究對象，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功；因輕繩

對滑塊做的功等于拉力尸對輕繩做的功，而拉力/為恒力，W=F-M,△/為輕繩拉滑塊過程中力歹的作用

點(diǎn)移動(dòng)的位移，大小等于定滑輪左側(cè)繩長的縮短量，由題圖及幾何知識可知，\IAB>MBC,故四>取，A正

確。

【變式演練1】如圖所示，邊長為。、重力為G的均勻正方形薄金屬片/BCD,懸掛在A處的水平光滑軸上,

若施力使其Z3邊沿豎直方向，則此力至少做功（）

4iGa

DD.--------

2

D.(V2-l)Ga

【答案】C

【詳解】若規(guī)定A點(diǎn)所在水平面為零勢能參考平面，圖示位置的均勻正方形薄金屬片的重心位置與零勢能

參考平面的高度差%=浮，當(dāng)48邊沿豎直方向時(shí)的重心位置與零勢能參考平面的高度差%=',薄金屬

片的重心升高

A/，=4—/22=

重力勢能增加量

(42-l\Ga

E“=G2=\-------—

。2

所以外力做功至少應(yīng)為（近-：故C正確，ABD錯(cuò)誤。

2

故選Co

【變式演練2】如圖所示，某人用定滑輪提升質(zhì)量為加的重物，人拉著繩從滑輪正下方4高的A處緩慢走到

B處，此時(shí)繩與豎直方向成。角，重力加速度為g,不計(jì)繩的質(zhì)量以及繩與滑輪間的摩擦。則此過程中人對

重物所做的功用是（）

Amg/z(l-cos6)mghcos0

B.

cos。1-cos。

mg/z(l-cos0)mghsin0

D.

°sin。1-cos0

【答案】A

【詳解】全過程人拉著繩緩慢運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為重物的動(dòng)能不變，人對重物所做的功等于重物重力勢能的增加,

根據(jù)幾何關(guān)系知重物上升的高度

Ah=——-h

COS0

則

(h八mg/z(l-cos0)

W=mglxn—mg\--------h=-----------------

(cos。)cos。

A正確，BCD錯(cuò)誤。

故選Ao

類型4平均力法求變力做功

【例4】如圖所示，傾角為30。的光滑斜面固定在水平地面上，一輕質(zhì)彈簧下端固定在斜面底端擋板上，上

端與質(zhì)量為1kg的小滑塊A相連，A上疊放另一個(gè)質(zhì)量為2kg的小滑塊B,彈簧的勁度系數(shù)為h50N/m,初

始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用沿斜面向上的拉力尸作用在滑塊B上，使B開始沿斜面向上做加速度大小為

2m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。重力加速度大小為10m/s2,不計(jì)空氣阻力。從開始運(yùn)動(dòng)到A、B分離瞬間，拉力

產(chǎn)做功為（）

A.1.76JB.1.6JC.1.4JD.1.12J

【答案】B

【詳解】初始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為對小滑塊A和B組成的系統(tǒng)，根據(jù)胡克定律

和平衡條件得

Ax0=（mA+gsin。

解得彈簧壓縮量

x0=0.3m

小滑塊A、B分離瞬間，兩者之間的彈力恰好為零，且有相同的加速度0,設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x/,則對

小滑塊A由牛頓第二定律得

kxl-mAgsin3=mAa

解得

%=0.14m

在小滑塊A、B分離之前，設(shè)A、B的位移為x,對A、B整體，根據(jù)胡克定律和牛頓第二定律有

F+A:(x0-x)-^mA+mg)gsin0={jnA+mB^a

解得

F=kx+6

則拉力做功

.=.=0+6+似；。二）+6義」_刈

將各量代入上式可解得

W=1.6J

故B正確。

故選Bo

【變式演練1】某塊石頭陷入淤泥過程中，其所受的阻力廠與深度人的關(guān)系為尸=泌+其（k,片已知），石

頭沿豎直方向做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)〃=%時(shí)，石頭陷入淤泥過程中克服阻力做的功為（）

A.尸0人》B.kF0C.FJ%+^k瓦D.—（^kh0+F0^h0

【答案】C

【詳解】所受的阻力尸與深度人的關(guān)系為線性關(guān)系，則有

W=Fh0=.+?+-%=Foho+

故選C。

【變式演練2】靜止于水平地面上質(zhì)量為1kg的物體，在水平拉力尸=4+2x（式中尸為力的大小、x為位移

的大小，力尸、位移x的單位分別是N、m）作用下，沿水平方向移動(dòng)了5m。已知重力加速度g=lOm/sz,

則在物體移動(dòng)5m的過程中拉力所做的功為（）

A.35JB.45JC.55JD.65J

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可知，水平拉力與位移的關(guān)系式為

F=4+2x

則物體移動(dòng)5m過程中拉力的平均值為

-4+（4+2x5）

F=—--------=9N

2

則拉力做的功

W=Fx=^5i

故選B。

類型5應(yīng)用動(dòng)能定理求變力做功

在一個(gè)有變力做功的過程中，當(dāng)變力做功無法直接通過功的公式求解時(shí)，可用動(dòng)能定理，少變+少恒=：加片一

1機(jī)V，物體初、末速度已知，恒力做功平恒可根據(jù)功的公式求出，這樣就可以得到少變=LMV22—1〃2VJ一少

222

恒，就可以求變力做的功了.

【例5】圖1所示是一種叫“旋轉(zhuǎn)飛椅”的游樂項(xiàng)目，將其結(jié)構(gòu)簡化為圖2所示的模型。長Z=3m的鋼繩一端

系著座椅，另一端固定在半徑r=3m的水平轉(zhuǎn)盤邊緣。轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)盤靜止時(shí)，

鋼繩沿豎直方向自由下垂；轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角6=37。。

將游客和座椅看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量能=50kg。不計(jì)鋼繩重力和空氣阻力，重力加速度g=10m/s2。

（sin37°=0.6,cos37°=0.8）

CD當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)

a.向心力的大小耳,;

b.線速度的大小v=

（2）求游客由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，鋼繩對游客和座椅做的功W。

圖1圖2

【答案】(1)a.375N,b.6m/s；(2)1200J

【詳解】(1)對游客和座椅一起受力分析如下圖所示

mg

a.根據(jù)受力分子可知游客和座椅做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力為

3

=mgtan6)=50xl0x-N=375N

b.根據(jù)幾何關(guān)系可知游客和座椅zuo2圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

R=〃+￡sine=3x0.6m=4.8m

由

F=m-

nr

代入數(shù)據(jù)得

v=6m/s

(2)游客和座椅由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)得過程，根據(jù)功能關(guān)系有

12

W-mgL(1-cos0)=—mv

代入數(shù)據(jù)解得

JF=1200J

【變式演練1】是利用人體全身的力量，將一定重量的鉛球從肩上用手臂推出的田徑運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一。運(yùn)動(dòng)員

某次投擲鉛球時(shí)，先將質(zhì)量為4kg的鉛球從地面上撿起，然后將鉛球拋出，鉛球出手時(shí)距離水平地面的高度

為2.25m,出手時(shí)的速度方向斜向上與水平面夾角為37。，鉛球落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)的水平距離為12m,重力加

速度g取lOm/s?,sin37°=0.6,cos37°=0.8,不計(jì)空氣阻力。則運(yùn)動(dòng)員從地面上撿起鉛球到將鉛球拋出的過程

中，運(yùn)動(dòng)員對鉛球做的功為()

A.200JB.290JC.110JD.90J

【答案】B

【詳解】設(shè)實(shí)心球出手時(shí)的速度大小為vo,規(guī)定豎直向上為正方向，出手后，豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)

有

1,,

v0sm37°-?--=-h

水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)有

x=%cos37°1

解得

v0=10m/s,z=1.5s

所以運(yùn)動(dòng)員對鉛球做的功為

12

W=mgh+—mv0=290J

故選Bo

【變式演練2】如圖所示，一質(zhì)量為冽的質(zhì)點(diǎn)在半徑為我的半球形容器中（容器固定）由靜止開始自邊緣上

的/點(diǎn)滑下，到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，它對容器的正壓力為尸一重力加速度為g,則質(zhì)點(diǎn)自/滑到B的過程中，

摩擦力所做的功為（）

A.；R（FN-mg）B.片）

C.-R（FN-3mg）D.；R（FN-2mg）

【答案】c

【詳解】設(shè)在8點(diǎn)的速度為V,由牛頓第二定律，有

v2

"-mg=m—

K

則質(zhì)點(diǎn)在3點(diǎn)的動(dòng)能為

EkB=；加2=；虱一〃陪狀

質(zhì)點(diǎn)從/滑到2的過程中，由動(dòng)能定理得

mgR+Wf=Ew-0

解得

Wt=-3mg)

故選C。

【變式演練3】如圖，輕質(zhì)彈簧上端固定在O點(diǎn)，下端與質(zhì)量為根的圓環(huán)相連，圓環(huán)套在水平粗糙的固定

細(xì)桿上?，F(xiàn)在將圓環(huán)從/點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到3點(diǎn)時(shí)彈簧豎直且處于原長，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度減為零;

在C點(diǎn)使得圓環(huán)獲得一個(gè)沿桿向左的速度v,其恰好能回到/點(diǎn)。彈簧始終在彈性限度之內(nèi)，下列說法正

確的是（）

A.從/到C的過程中，圓環(huán)經(jīng)過8點(diǎn)速度最大

B.從C回到N的過程中，彈力最終做正功

C.從/到C克服摩擦力做功為：，好,

D.從N到C彈簧彈性勢能減少了

【答案】CD

【詳解】A.圓環(huán)從4到C過程中，合力是0時(shí)圓環(huán)的速度最大，A錯(cuò)誤；

B.N到。過程中，根據(jù)能量守恒，彈性勢能減少，轉(zhuǎn)化為摩擦力做功產(chǎn)生的熱量，所以由C回到/的過

程中，彈性勢能增大，彈力最終做負(fù)功，B錯(cuò)誤。

CD.從4到C再由?；氐?,根據(jù)對稱特點(diǎn)可知，摩擦力做功相等，彈性勢能變化相同，根據(jù)動(dòng)能定理,

有

%_/=。

1,

2

-W^-Wf=0--mv

求得

1,

W^=W{=-m^

CD正確。

故選CD。

題型三功率的分析和計(jì)算

1.公式P="和尸的區(qū)別

t

p=”是功率的定義式，尸=尸丫是功率的計(jì)算式。

t

2.平均功率的計(jì)算方法

(1)利用p=p

(2)利用「=尸丫cosa,其中v為物體運(yùn)動(dòng)的平均速度。

3.瞬時(shí)功率的計(jì)算方法

⑴利用公式尸=Fvcosa,其中v為f時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

(2)P=FVF,其中VF為物體的速度v在力尸方向上的分速度。

(3)P=Fvv,其中凡為物體受到的外力尸在速度v方向上的分力。

類型1功率的分析和計(jì)算

【例1】一只蘋果從樓上某一高度自由下落，蘋果在空中依次經(jīng)過三個(gè)完全相同的窗戶1、2、3。圖中直線

為蘋果在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡。若不計(jì)空氣阻力的影響，下列說法正確的是()

A.蘋果經(jīng)過第三個(gè)窗戶所用的時(shí)間最長

B.蘋果經(jīng)過第三個(gè)窗戶重力做的功最多

C.蘋果經(jīng)過第一個(gè)窗戶重力做功的平均功率最小

D.蘋果經(jīng)過第一個(gè)窗戶下端時(shí)，重力做功的瞬時(shí)功率最大

【答案】C

【詳解】A.蘋果做自由落體運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增加，越來越快，通過相同距離用時(shí)越來越少，故通過第一個(gè)

窗戶用時(shí)最長，故A錯(cuò)誤；

B.重力的功沙=故蘋果通過3個(gè)窗戶重力做的功一樣多，故B錯(cuò)誤；

C.功率尸=竺="更，通過第一個(gè)窗戶用時(shí)最長，故通過第1個(gè)窗戶重力的平均功率最小，故C正確。

tt

D.根據(jù)v=g，可知蘋果經(jīng)過第三個(gè)窗戶下端時(shí)，速度最大，根據(jù)P=重力做功的瞬時(shí)功率最大，故D

錯(cuò)誤。

故選Co

【變式演練1】一個(gè)音樂噴泉噴頭出水口的橫截面積為2xl()Tm2,噴水速度約為10m/s,水的密度為

IxlO3kg/m3,則該噴頭噴水的功率約為()

A.10WB.20WC.1OOWD.200W

【答案】C

【詳解】設(shè)4時(shí)間內(nèi)從噴頭流出的水的質(zhì)量為

m=pSv't

噴頭噴水的功率等于加時(shí)間內(nèi)噴出的水的動(dòng)能增加量，即

△tNt

聯(lián)立解得

P=100W

故選C。

【變式演練2】如圖所示，傾角為37。、長度為4m的粗糙固定斜面，一質(zhì)量為1kg的小物塊從斜面頂端由

靜止開始下滑至斜面底端，小物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,重力加速度g=10m/s2,則（）

A.整個(gè)過程中重力做功24J

B.整個(gè)過程中合外力做功24J

C.整個(gè)過程中重力做功的平均功率是24W

D.小物塊滑到斜面底端時(shí)重力做功的瞬時(shí)功率是24W

【答案】AD

【詳解】A.根據(jù)公式可得，重力做功為

WG=mgxsin37=1,0x10x4x0.6J=24J

故A正確;

B.根據(jù)公式可得，合外力做功為

JV合=(mgsin37°-//mgcos37°)x=8J

故B錯(cuò)誤；

C.對小物塊受力分析，根據(jù)牛頓第二定律

mgsin370-pimgcos37=ma

解得

(2=2m/s2

根據(jù)

12

x——at

2

解得

，=2s

整個(gè)過程中重力做功的平均功率是

P=-^-=—W=12W

t2

故C錯(cuò)誤；

D.小物塊滑到斜面底端時(shí)重力做功的瞬時(shí)功率是

P=/ngvsin37°=1.0xl0x2x2x0.6W=24W

故D正確。

故選AD。

【變式演練2］在距離地面4m的某樓層的墻外側(cè)，以lm/s的速度豎直向上拋出一個(gè)質(zhì)量為50g的小石子

(小石子可看成質(zhì)點(diǎn))，忽略空氣阻力，g1X10m/s2o求：

Cl)石子落地時(shí)速度大小v；

(2)石子經(jīng)過多長時(shí)間f落地；

(3)從拋出到落地這段時(shí)間內(nèi)重力做功的平均功率產(chǎn)。

【答案】(1)"9m/s；(2)，=ls；(3)尸=2W

【詳解】(1)由機(jī)械能守恒定律可知

12127

—mv=—mv0+mgh

解得

v=9m/s

(2)設(shè)豎直向上為正方向，則有

_v=%_gf

解得

f=ls

(3)重力做功為

WG=mgh=2J

平均功率為

w

P=-^=2W

【變式演練3】一質(zhì)量為0.5kg的質(zhì)點(diǎn)靜止于光滑水平面上，從f=0時(shí)刻開始，受到水平外力尸作用，如圖

所示。下列判斷正確的是()

A.0?2s內(nèi)外力的平均功率是18W

B.第2s內(nèi)外力所做的功是36J

C.第4s末外力的瞬時(shí)功率最大

D.第1s末與第3s末外力的瞬時(shí)功率之比為9:7

【答案】AD

【詳解】前兩秒勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速