熱點題型?解答題攻略

專題00高考解答題解題技巧全攻略

?>-----------解答題?解法大全------------?>

目錄

方法一構(gòu)建答題模板............................................................................1

方法二跳步答題................................................................................4

方法三分類討論................................................................................6

方法四數(shù)形結(jié)合................................................................................8

方法五特殊值探路.............................................................................10

方法六正難則反...............................................................................12

?>----------解答題?解法探究-----------?>

方法一構(gòu)建答題模板

構(gòu)建答題模板，步步為營，不因缺少步驟或者部分條件而導(dǎo)致扣分，是所有技巧的基礎(chǔ)。

【典型例題】

1.（2024?廣東江蘇.高考真題）記VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,己知sinC=0cos2，

q-+b"_c?=

（1）求&

（2）若VABC的面積為3+6,求c.

【詳解】（1）由余弦定理有1+b2-c2=2"cosC,

對比已知/+62一°2="力，

可得cosC="2+方一o'=也驗=，1,（注意公式書寫和化簡）

2ab2ab2

因為Ce（0,7i）,所以sinC>0,

從而sinC=Vl-cos2C=,

又因為sinC=0cos8，即cosB=：,

注意到5e（0,兀）,（容易忽略）

所以8=5.

(2)由(1)可得2=三，cosC=￥，Ce(O,7t),從而C=：,4=嗯.=1|,

5兀(it兀)_夜V3V21A/6+72

而sinA=sinsin

12(46)22224

ab_c

由正弦定理有.5兀.71.71

sin—sin-sin—

1234

從而”立業(yè)1.缶=在±1"=且.缶=^c,

4222

由三角形面積公式可知，VABC的面積可表示為

2

SABC=~absmC=--^-c-^c-^=^^-c,（分解分步，步驟得分）

■ABC222228

由已知VA5c的面積為3+豆，可得主口8c2=3+代，所以c=20.

8

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

1.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,已知

b1=2S+abcosC

⑴求A；

⑵若BC邊上的高為1且36cosc=ccos3,求VABC的面積S.

n+l

2.（2024?吉林?三模）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an+i=2an+2.

⑴證明：數(shù)列;墨｝為等差數(shù)列，并求通項％；

⑵求數(shù)列｛外｝的前"項和S”.

3.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCD-AB|G2中，A4,，平面ABC。，ADJ.AB,

BC1CD,其中A2=AD=0，尸是4G的中點，。是。2的中點.

⑴求證：口尸〃平面CB?；

⑵若異面直線心“所成角的余弦值為*求二面角瓦-的余弦值.

4.（2024.陜西寶雞.模擬預(yù)測）統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表

為2020年—2024年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中2020年—2024年對應(yīng)的代碼依

次為1—5.

年份代碼X12345

市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36

_5

亍*5.16,屋1.68，±匕％。45.10,其中匕=6

i=l

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（巧,%）、（%，%）、L、（匕,%）,其經(jīng)驗回歸直線丫=加+。的斜率和截距的最小

〃__

二乘估計公式分別為6=號---------，67?1.83.

i=l

⑴由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型、=6后+。擬合〉與x的關(guān)系，請估計2028年我國在線直播生活購物用

戶的規(guī)模（結(jié)果精確到Q01）;

（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率P,現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨

機抽取5人，記這5人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X,若P（X=5）=尸（X=4）,求X的數(shù)學(xué)期

望和方差.

5.（2024高三.全國?專題練習(xí)）己知雙曲線。:與-￡=1伍＞0力＞0）的左、右焦點分別為耳耳，實軸長為

2,〃為C的右支上一點，且（|岬閶）1Tm=3.

（1）求C的方程；

⑵設(shè)C的左、右頂點分別為A,3,直線/與C交于尸，。兩點，與X軸交于點，；,0，直線AP與8Q交于點G,

證明：點G在定直線上.

6.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-?(^-l)el,其中aeR.

⑴若a=-1,求曲線y=f(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)若0<tz<—,

e

(i)證明：函數(shù)/(x)恰有兩個零點；

(ii)設(shè)/為函數(shù),f(x)的極值點，%,為函數(shù)“X)的零點，且不>與，證明：3尤0-%>2

方法二跳步答題

解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時，我們可以假定某些結(jié)論是正確的往后推，看能否得到

結(jié)論，或從結(jié)論出發(fā)，看使結(jié)論成立需要什么條件。如果方向正確，就回過頭來，集中力量攻克這一卡殼

處。如果時間不允許，那么可以把前面的寫下來，再寫出證實某步之后，繼續(xù)有一直做到底，這就是跳步

解答。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若題目有兩問，第一問想

不出來，可把第一問作已知，先做第二問，這也是跳步解答。

【典型例題】

2.(2024.全國?高考真題)如圖，平面四邊形ABCZ)中，AB=8,CD=3,AD=573,NA￡)C=90°,ZBAD=30°,

21

點、E,尸滿足=AF=-AB,將△AEF沿EF翻折至！PE尸，使得PC=4g.

P

⑴證明：EF±PD；

⑵求平面PCD與平面尸2尸所成的二面角的正弦值.

【詳解】(1)AB=8,AD=5^3,AE=^AD,AF=^AB,

得AE=2&,AF=4,又NBAT)=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=A/AE2+AF2-1AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-2^-y^=2,

所以AE2+EF2=A尸2，則AE_L￡F,即跖工AD,

所以EF，PE,EF_LDE,又PEDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以EF_L平面PDE,又PDu平面尸DE,

故EFL尸。；(可以將第一問證明當(dāng)作條件應(yīng)用于第二問)

(2)連接CE,由ZADC=90",ED=34,CD=3,貝|CE。=ED?+CD?=36,

在.PEC中，PC=4?PE=2&EC=6,MEC2+PE1=PC2,

所以PE_LEC,由(1)知尸E_LEF,又ECEF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEJ_平面ABC。，又EDu平面ABCD,

所以尸E，￡D,則PE,￡F,￡D兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則E(0,0,0),P(0,0,2我,0(0,3瘋0),C(3,3后0),F(2,0,0),A(0,-273,0),

由尸是A3的中點，得B(4,2拓,0),

所以PC=(3,3區(qū)-2&PD=(0,36,-26),PB=(4,26,-26),PF=Q,0,-2?,

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個法向量分別為〃=(%,％,2]),〃2=02，%,22),

則n-PC=3x)+36y「2A/3Z[=0m-PB=4x2+2百%-2gz?=0

n-PD=3如兇一2退Z]=0m-PF=2x2—2A/3Z2=0

令yt=2,馬=粗,得X[=0,Z]=3,y2=—1,z2=1,

所以〃=(0,2,3),帆=(有,-1.1),

\m-n\1V65

所以卜OS〈次，砌

|m||?|>/5-A/13"65"

設(shè)平面PCD和平面依口所成角為6,則sinll一cos21=^^

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為紅亙.

65

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

3

1.(24-25高三上?河北?期中)已知數(shù)列｛%｝的前八項和為S.Sn-2an=-n-l.

(1)求證：數(shù)列卜*為等比數(shù)列；

(2)若6“=(2〃+1)(：一%

，求數(shù)列也｝的前幾項和(.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,已知(a+6)sinB=csin(A-3).

⑴證明：a=2b；

(2)若。=2,點O在線段A3上，且5AO=3OB,ZACD=2ZBCD,求CD.

3.(24-25高三上?河北?期中)如圖,在平面五邊形PA3CZ)中，PA=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABLBC,

將沿4)翻折，使點尸到達(dá)點，的位置，得到如圖所示的四棱錐片-A8C。，且耳8=巫，E為PQ

的中點.

(2)若=20,求平面4近與平面BCE夾角的余弦值.

方法三分類討論

解題時常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進行下去,

這是因為被研究的對象包含了多種情況，這就需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解,

這就是分類討論。

引起分類討論的原因很多，數(shù)學(xué)概念本身具有多種情形，數(shù)學(xué)運算法則、某些定理、公式的限制，圖

形位置的不確定性，變化、不等式的求解等均可能引起分類討論。在分類討論解題時，要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，

不重不漏。

【典型例題】

3.(2024.全國?高考真題)已知函數(shù)=-ax)ln(l+尤)-x.

⑴當(dāng)。=-2時，求/(%)的極值；

(2)當(dāng)尤N0時，/(x)>0,求。的取值范圍.

【詳角軍】(1)當(dāng)。=一2時，/(x)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故/'(無)=2111(1+%)+上必-l=21n(l+x)-一—+1,

l+x1+x

因為、=21!1(1+幻廣=-=；+1在(-1,+8)上為增函數(shù),

故尸(X)在(-1,+8)上為增函數(shù)，而八。)=0,

故當(dāng)一l<x<0時,故x)<0,當(dāng)#>0時,r(x)>0,

故/(x)在尤=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2);(x)=-aIn(1+x)+-—--1=-aIn(1+x)-("+1)苫，尤>0,

1+X1+X

、1/、/、(a+\\x

設(shè)s(x)=-〃ln(l+x)-^———,x>0,

/、—a(。+1)。(％+1)+。+1ax+2a4-1

則S尤)=工一^—?%—=--~~二，(注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類)

當(dāng)時，s'(x)>0,故s(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

故s(x)>s(O)=O,即/(力>0,

所以/⑺在［0,+動上為增函數(shù)，故/'(x""0)=0.

當(dāng)一g<a<0時，當(dāng)0Vx<_2〃+1時,丁(力<0,

故s(x)在(0,-三］上為減函數(shù)，故在，，-寧J上s(x)<s(O),

即在一寧上尸⑺<0即/⑺為減函數(shù)，

故在(。，-個］上〃司<〃0)=0,不合題意，舍.

當(dāng)aN0,此時s'(x)<0在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+8)上〃x)</(0)=0恒成立，不合題意，舍；

綜上，ci<――.

2

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

1.(23-24圖三上?山東威海?期末)已知函數(shù)/(x)=1x"+:x3+%Z，x2-a(awR).

(1)當(dāng)。=一1時，求/'(*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(#+a)e一翌,若x=0是g(x)的極大值點，求。的值.

，、22〃

2.（23-24高二上?浙江寧波?期末）已知數(shù)列｛%｝的首項q=；,且滿足。角=1古（neN,）.

⑴求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

⑵若々=（6-冷（2"+1）,令CL也，求數(shù)列｛除|｝的前w項和S,.

2222

3.（2024高三,全國?專題練習(xí)）已知橢圓q：/+表~=>6]>0)與橢圓C?：/+方=1&＞打＞0）的離

心率相等，G的焦點恰好為G的頂點，圓尤2+/-（2+0）尤+20=0分別經(jīng)過G，G的一個頂點.

⑴求G，G的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵過C2上任意一點A作G的切線與G交于點跖N,點B是G上與跖N不重合的一點,且02=WM+"ON

（點。為坐標(biāo)原點），判斷點尸（4以）是否在定圓上.若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.

方法四數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法：對于一些含有幾何背景的題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對

圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果.這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率

和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等.

【典型例題】

4.（2024?上海松江?模擬預(yù)測）已知。為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)/（x）=asinx+6cos稱向?qū)M=（a,b）為函

數(shù)〃元）的互生向量，同時稱函數(shù)“X）為向量OM的互生函數(shù).

⑴設(shè)函數(shù)/（x）=cosg+“+cos（-x）,試求了⑺的互生向量QW;

IT

⑵記向量ON=（A/3,-1）的互生函數(shù)為〃尤），求函數(shù)y=/（2x）在xe0,-上的嚴(yán)格增區(qū)間;

⑶記=（2,0）的互生函數(shù)為〃x）,若函數(shù)g⑺=/⑺+卜。M-左在［0,2可上有四個零點，求實數(shù)上的

取值范圍.

【詳解】（1）因為〃x）=cos+cos(-X)=-sinX+cosX,所以/(x)的互生向量OM=(-1,1).

1)

（2）由題意可得〃到=百5也x-cosx=2sin%——cosx=2sinfx-^-，所以〃2x)=2sin[2x_￡),

2)

jrIT7T7T7L

令2kn—<2x—<2hi+—,kGZ,解得ku----<x<kTt+—,k^7,

26263J

TTJT

因為xe0,-,所以

TT7T

所以函數(shù)y=/(2x)在xe0,-上的嚴(yán)格增區(qū)間為0,-.

(3)由題/(x)=2sinx,貝!|g(x)=/(x)+2j^|cos%|-左=2sinx+261cos%|-左，(數(shù)形結(jié)合利用三角函數(shù)性

質(zhì)作出函數(shù)圖象，由圖象即可得解)

若函數(shù)g⑺在［0,2可上有四個零點，則k=2sinx+2+|cosx|在［0,2可上有四個實數(shù)根，

則函數(shù)/2(力=25苗%+2白,0胡|與'=左在［0,2兀］上的圖象有四個交點，

2sinx+2^3cosx,0<x<—^—<X<2TI

22

因為/z(x)=2sinx+2百|(zhì)cosx|=<

2sinx-2yf3cosx,—<x<—

22

..(兀)小兀一P-37r_

4sinx+—,04x<一或——工入42兀

，/、I3j22

所以=(。

則由三角函數(shù)性質(zhì)作其函數(shù)圖象如圖所示,

由三角函數(shù)圖象及性質(zhì)可知上的取值范圍為(2,26)。(2也,4).

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知函數(shù)/(耳=(X-1)3-/.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求的零點個數(shù).

(3)g(x)=/(x)-m在區(qū)間上有兩個零點，求機的范圍？

2.(24-25高三上?上海松江?期中)在VABC中，角A,8,C對應(yīng)邊為。，6,c,滿足sin(8-A)+夜sinA=sinC

⑴求8的大?。?/p>

⑵（力已知6=4,若。在AC上，且3。，AC,求3D的最大值；

TT

（?）延長3C至點使得28c=。/.若NC4W=：求4c的大小.

4

22

3.（24-25高三上?重慶?開學(xué)考試）已知橢圓：?+事=1的右焦點下與拋物線C:y2=2加（p>0）的焦點重

合.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知P為拋物線C上一個動點，直線4：x+y+3=O,求點尸到直線的距離之和的最小值；

（3）若點。是拋物線C上一點（不同于坐標(biāo)原點0）,/是D0F的內(nèi)心，求,/6乎面積的取值范圍.

方法五特殊值探路

對于一些定值、定點問題可以利用特殊的點去檢驗，然后通過方程一般性設(shè)值去化簡，即使運算量有

些達(dá)不到，扣去合并運算的那一步，還是能拿到大部分的分值。特別是在解析幾何的位置、距離、特殊點、

特殊值的判斷中，不妨轉(zhuǎn)換個角度，根據(jù)現(xiàn)有條件猜測和利用數(shù)值求出一個可行的答案，再反向論證即可。

還有在數(shù)列中求解整數(shù)存在可能性，有些題的取值有限，不妨取〃=1,2,3,4,5,6,…等值進行代入運算，如果

發(fā)現(xiàn)了幾個滿足題意的值，只需要再進行檢驗值的唯一性。

【典型例題】

22

5.（2024?北京通州?二模）已知橢圓E：二+2=1（a>6>0）的長軸長為4,離心率為

a2b2

⑴求橢圓E的方程;

⑵直線/過橢圓E的左焦點R且與E交于兩點（不與左右頂點重合），點T（t,0）在x軸正半軸上，直

線7M交y軸于點P,直線刀V交，軸于點Q,問是否存在"使得TPTQ為定值？若存在，求出f的值及定

值；若不存在，請說明理由.

【詳解】（1）因為橢圓E的長軸長為4,離心率為3，

所以2a=4,￡=3.

a2

所以。=2,c=l.所以02=3.

所以橢圓E的方程為蘭+上=1.

43

（2）當(dāng)，=2時，若直線/斜率不存在，（斜率不存在，求出TPTQ為定值.）

3

不妨設(shè)

2

所以p（o』），e（o,-i）.

所以TP-TQ=3.

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=%（x+l）,k^O.

消去》，化簡得(我2+3)x2+Sk2x+4/—12=0.

則A>0,即F+i>o,

設(shè)MOi，y】），W（x2,y2）,

-Sk24k2-12

所以%+%=

4k2+31-4S+3

所以直線梯的方程為、=￡（X7）,直線TN的方程為yx-t).

%2—t

所以P0,，Q。,

所以7P=(T,二^，也卜含

7

a+i）（尤2+i）

=〃+f2k2.—+%+電+1

士-x2T(X]+x2)+r

4r-12-8/4r+3

W+34/+34《+3

=t2+t2k2=t2+t2k2

4左2_12-8k24t2k2+3t2(4/+8/+4*2+3/2_i2

-------------1---------------1--------------------

4后2+34左2+34左2+3

-9

=t2+t2

3/-12.

(4?+8%+4)+

k2

所以當(dāng)3/-12=0時，TPTQ為定值,

即f=2（負(fù)值舍）時，7P-TQ有定值3.

綜上，當(dāng)7=2時，TPTQ有定值3.

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

1.（2021?北京豐臺?二模）已知橢圓C：；+y2=l,過點（T,。）的直線/交橢圓C于點A8.

⑴當(dāng)直線/與x軸垂直時，求|AB|；

（2）在x軸上是否存在定點尸，使P4PB為定值？若存在，求點P的坐標(biāo)及P4PB的值；若不存在，說明理

由.

2.（23-24高三下?云南昆明?階段練習(xí)）平面上一動點P（x,云滿足-2）2+>2一J（尤+2）2+y=2.

（1）求p點軌跡r的方程；

⑵已知力（一2,0）,8（1,0）,延長B4交r于點。，求實數(shù)機使得=恒成立，并證明：NPBQ為

定值

22

3.（24-25高三上?遼寧?階段練習(xí)）已知橢圓E:j+當(dāng)=1（。>6>0）的長軸長是4,。為右頂點，P,Q,

CLb

M,N是橢圓E上異于頂點的任意四個點，當(dāng)直線P。經(jīng)過原點。時，直線尸。和的斜率之積為

⑴求橢圓E的方程；

（2）當(dāng)直線ME）和ND的斜率之積為定值-2時，直線是否過一個定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若

不過定點，請說明理由.

方法六正難則反

一"如果題目正面求解比較困難，或者說推翻一個結(jié)論性的問題，都可以從反面出發(fā)，假設(shè)反證或是舉反

例尋找矛盾都可以，這樣可以簡化題型思路。

【典型例題】

6.（2024.北京.高考真題）已知集合

M={億）,左,3亦€{1,2}"€{3,4},左€{5,6},.?{7,8},且/+/+左+.為偶數(shù)}.給定數(shù)列A:%,生，，和序

列。:幾3.&其中（=d，K，“）eM（r=l,2,,s）,對數(shù)列A進行如下變換：將A的第3九配“項均

加1,其余項不變，得到的數(shù)列記作4（A）;將1（A）的第％，人，&，叫項均加1,其余項不變，得到數(shù)列記作

玷⑷;……;以此類推,得到7；??也⑷，簡記為。網(wǎng).

⑴給定數(shù)列A：1,3,2,4,6,3,1,9和序列Q:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(⑷；

(2)是否存在序列。，使得皿A)為4+2,%+6,%+4,。4+2,%+8，。6+2,%+4,/+4,若存在，寫出一個符合

條件的。；若不存在，請說明理由；

(3)若數(shù)列A的各項均為正整數(shù)，且弓+/+4+%為偶數(shù)，求證：“存在序列。，使得0(A)的各項都相等”

的充要條件為“?1+?2=?3+?4=?5+?6=?7+。8

【詳解】(1)因為數(shù)列A：L3,2,4,6,3,1,9,

由序列4(1,3,5,7)可得7；(A):2,3,3,4,7,3,2,9；

由序列n(2,4,6,8)可得44(4):2,4,3,5,7,4,2,10；

由序列彳(1,3,5,7)可得④」丁(A):3,4,4,5,8,4,3,10；

所以。⑷:3,4,4,5,8,4,3,10.

(2)由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4,

假設(shè)存在符合條件的。，且0(A)：片也，…4，

2+6+4+2+8+2+4+4

因為=8,即序列。共有8項,

4

由題意可知:(氏_i+&)-(％〃-1+%)=&〃=1,2,3,4,

檢驗可知：當(dāng)“=2,3時，上式不成立，

即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的O.

(3)解法一：我們設(shè)序列"工(A)為{程“}(14”<8),特別規(guī)定的,=a.(lW〃W8).

必要性：

若存在序列Ts,使得。(A)的各項都相等.

則as,l=as,2=4,3=4,4=as,5=4,6=4.7=4,8,所以4,1+4,2=4,3+4,4=4,5+4,6=4,7+4.8.

根據(jù)一工4人）的定義，顯然有4,2-1+4,2/=as-l,2j-l+4T2/+1,這里j=l,2,3,4,5=1,2,....

所以不斷使用該式就得到q+/=%+%=%+0=%+歿=41+,必要性得證.

充分性：

若%+%=+。4=〃5+。6=%+〃8?

由已知，苗+/+。5+%為偶數(shù)，而。1+。2=。3+。4=。5+。6=%+。8，所以

%+〃4+〃6+4=4（q+%）—（%+/+〃5+%）也是偶數(shù).

我們設(shè)Z，工［(A)是通過合法的序列。的變換能得到的所有可能的數(shù)列。(A)中，使得

—a」+|4,3_4j+|%5—4j+|4,7一4/最小的一個?

上面已經(jīng)說明as,2j-\+4,2/=as-\,2j-\+4.百+1,這里j=l,2,3,4,5=1,2,....

從而由弓+出="3+%=%+&=%+?8可得as.l+4,2=4,3+4,4=4,5+y.6=4.7+4,8=。|+&+5.

同時，由于％+/+《+嗎總是偶數(shù)，所以%+%+%+47和42+，+4,6+4,8的奇偶性保持不變，從而

4J+4,3+4,5+4,7和4,2+4,4+4,6+4,8都是偶數(shù).

下面證明不存在/=1,2,3,4使得L2H-4#2.

假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)）=1,4,2/7—4,2/“,即

情況1：若|。6,3—qj+|a.”5—a*/+|q,7—"s/=0，貝！1由風(fēng),1+4,3+%,5+as,7和4,2+4,4+整”6+4,8都是偶數(shù)，知

4J一，24.

對該數(shù)列連續(xù)作四次變換（2,3,5,8）,（2,4,6,8）,（2,3,6,7）,（2,4,5,7）后，新的

|"'+4,1—4+41+|4+4.3—4+4,/+|4+4,5—4+4.6|+|4+4,7—4+4B|相比原來的

—4,21+|《,3—4,41+|%5—4,6I+|。"7—4.81減少4,這與J-4,21+|43-4.41+|4,5—4.61+|4,7—4,8|的最小性

矛盾；

情況2：若|a,,3—qJ+M-4.6卜|%7>°，不妨設(shè)k.3-a」

情況2-1：如果%-J21,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換（2,4,5,7）,（2,4,6,8）后，新的

I4+2J—4+2,2|+|4+2,3—4+2,1+|4+2,5—4+2,6|+|4+2,7—4+2B|相比原來的

I&J-4,21+\as,3~4,41+I4.5—4,61+|4,7—4,81至少減少2,這與gj-4,21+|冤3-4,41+|%5—4,61+|?！?—4.81的最

小性矛盾；

情況2-2：如果4.4-%3,，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換（2,3,5,8）,（2,3,6,7）后，新的

|4+2,1—4+2,2|+|4+2,3—4+2,/+|4+2,5—4+2,6|+|4+2,7—4+2B|相比原來的

aaa

\s,l~4,21+\s,3~%/+|%5-4,61+\s,7~4,81至少減少2'這與|as,i-4,21+1%,3一%41+|%5—4,61+|4,7—4,81的最

小性矛盾.

這就說明無論如何都會導(dǎo)致矛盾，所以對任意的j=1,2,3,4都有除2日_aSt