考點(diǎn)鞏固卷13復(fù)數(shù)（九大考點(diǎn)）

口考點(diǎn)預(yù)覽

考點(diǎn)01復(fù)數(shù)的分類

/考點(diǎn)02復(fù)數(shù)相等

\考點(diǎn)03復(fù)數(shù)的幾何意義

/考點(diǎn)04復(fù)數(shù)模的計(jì)算

要數(shù)考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

小、考點(diǎn)06i的賽運(yùn)算

考點(diǎn)07待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

\\考點(diǎn)。8復(fù)數(shù)模的幾何意義

、考點(diǎn)09復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

考點(diǎn)訓(xùn)薛

考點(diǎn)01復(fù)數(shù)的分類

1.復(fù)數(shù)z=3機(jī)+（機(jī)-l）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值是.

【答案】0

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=3〃?+（加-l）i為純虛數(shù),

f3m=0

所以?八，解得機(jī)=0.

[加一IwO

故答案為：0

2.若復(fù)數(shù)z=a2一%_2+（加2_邛是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)加=.

【答案】±1

【分析】復(fù)數(shù)2=a2_加_2+（心2_邛是實(shí)數(shù)，則虛部為0,可求實(shí)數(shù)加的值.

【詳解】復(fù)數(shù)z="『-機(jī)-2+（機(jī)2-l）i是實(shí)數(shù)，則有（機(jī)2-1）=0,解得加=±1.

故答案為：±1.

3.復(fù)數(shù)2=0+”〃]€1＜）是純虛數(shù)的充要條件是（）

A.且6=0B.b=0

C.。=1且6=0D.a=b=0

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及純虛數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】若復(fù)數(shù)z="i+6（a,beR）是純虛數(shù)，貝1]0*0,b=0；

若。*0,b=0,則2=0+6（兄6€11）是純虛數(shù)，

所以復(fù)數(shù)2=0+“。/€2是純虛數(shù)的充要條件是。*0且6=0.

故選：A.

4.設(shè)Z]=2+3i,z2=m+i（meR）,若zjz2為實(shí)數(shù)，則％的值為.

2

【答案】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列出方程，求解即可得出答案.

【詳解】由已知可得,z/Z2=（2+3i）（機(jī)+i）=2機(jī)-3+（3機(jī)+2）i.

2

因?yàn)閦「z2為實(shí)數(shù)，所以3加+2=0,解得加=-§.

2

故答案為：一§.

5.（多選）下列四個(gè)命題中，假命題為（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足zeR,則

B.若復(fù)數(shù)z滿足1eR,則zeR

C.若復(fù)數(shù)z滿足z2eR,則zeR

D.若復(fù)數(shù)Iz滿足zjZzeR,則z「=或

【答案】CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，即可判斷A、B項(xiàng)；取特殊值，即可判斷C、D項(xiàng).

【詳解】對于A項(xiàng)，根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)共轉(zhuǎn)為自身，可知A項(xiàng)正確；

對于B項(xiàng)，設(shè)2=4+呵0公11）,則工=_I7T=字雪.

因?yàn)椤籩R,所以6=0,所以zeR,故B項(xiàng)正確；

Z

對于C項(xiàng)，Wz=i,則z2=i2=-leR,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D項(xiàng)，取4=i,z2=2i,則Z]-Z2=2/=-2eR,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：CD.

6.己知awR,則“a=-l”是“/一1+（°一2》為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求出。，再根據(jù)充分必要的概念得答案.

【詳解】當(dāng)/-1+（。-2）i為純虛數(shù)時(shí)，有則。=±1，

故“a=-l”是“/_i+（a-2）i為純虛數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

考點(diǎn)02復(fù)數(shù)相等

3-i

7.已知復(fù)數(shù)2=（i是虛數(shù)單位）.

（1）求復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)；

（2）若z2+*+6=彳（a,6eR）,求a、6的值.

【答案】⑴』=l+i

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)Z,利用共輾復(fù)數(shù)的定義可得出,

（2）利用復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于。、6的方程組，即可解得。、6的值.

3-i(3-i)(2-i)5-5i

【詳解】(l)解：2=丁=:<=?i,所以z的共舸復(fù)數(shù)1=l+i.

(2)因?yàn)閦'+〃z+b=l+i(q,bGR),BP(l-i)2+a(l-i)+Z)=l+i,

/、[a+b=1ftz=-3

也即a+6+-2-。i=l+i,所以解得.

[一2-a=1[/?=4

8.已知a,6eR,a+2i=(6+i)i,(i為虛數(shù)單位)，則()

A.Q=1,6=-2B.a=—\,b=2

C.a=—I,b=—2D.a=1,b=2

【答案】B

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

【詳解】因?yàn)閍+2i=0+i)i=-l+6i,所以q=-l,b=2.

故選：B.

9.復(fù)數(shù)z滿足z+z=l,(z-z)i=2,則忖=.

【答案】立

2

【分析】設(shè)出z=a+6i(a,6eR),利用z+3=l,i(z-7)=2得至Ij方程組，解方程組求出a,b的值，從而可求

出目.

【詳解】設(shè)z=a+6i(a,6eR),則==a-bi，

a+bi+a-bi=2a

i(a+bi-a+bi)=-2b'

\2a=\a=—1

所以“c，解得：2,所以2=彳一，

T=2[Z,=.I2

故目1出2+(-『當(dāng)

故答案為：立

2

10.已知(3+ai)(—1+i)=—6+2i(q,i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)/歷=()

A.2B.V5C.V7D.6

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義求出。=1,6=4,再由模長公式得出g歷

【詳解】???（3+ai）（-l+i）=-6+2i,

（3-a）i-a-3=2i—b,

一a—3二-ba=1

,解得

3.2b=4'

所以"；加=卜2i|=石.

故選:B.

11.若純虛數(shù)z滿足z（l+i）=a+i,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1B.-1C.0D.±1

【答案】B

【分析】設(shè)出純虛數(shù)，利用乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等列方程，求解即可.

［詳解］設(shè)z=6i,beR/w0,由z（l+i）=a+i,可得—6+6i=a+i,所以［“［:上解得。=7.

［力=1

故選：B

12.已知復(fù)數(shù)z滿足27-z=3+6i,貝上在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軌復(fù)數(shù)的概念求出復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可.

【詳解】設(shè)z=a+6i，則7=a-6i.因?yàn)?7-z=3+6i,所以a-3所=3+6i,所以a=3,6=-2.

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,-2）,位于第四象限.

故選：D

考點(diǎn)03復(fù)數(shù)的幾何意義

13.若復(fù)數(shù)z滿足Zi=2-i（i為虛數(shù)單位），貝”在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)z,再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

2

【詳解】因?yàn)閦i=2-i,則z=-—l=T-2i,

1

所以z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)為（-1,-2）,位于第三象限.

故選：C.

14.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz=l+2i,貝卜在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先求出復(fù)數(shù)Z,從而可求出其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.

【詳解】由iz=l+2i,得+=='~-=2-i,

ii2-1

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（2,-1）在第四象限，

故選：D

15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,4）,則彳=（）

A.3-4iB.4-3iC.3+4iD.4+3i

【答案】A

【分析】首先寫出復(fù)數(shù)z,再得到其共軌復(fù)數(shù).

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,4）,所以z=3+4i,

所以彳=3-4i.

故選：A

16.已知復(fù)數(shù)z=l+2i,若i"N（〃eN*）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，寫出一個(gè)滿足條件的”=

【答案】3（4〃+3,〃eN中的一個(gè)均可）

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得i"-z=i"+2i"M,進(jìn)而的一個(gè)滿足條件的〃的值.

【詳解】復(fù)數(shù)z=l+2i,可得i"-z=i'-（l+2i）=i'+2i'",

當(dāng)〃=4左+3時(shí)，nfWi4M3-z=i44*3+2i4i-f4=2-i，

此時(shí)復(fù)數(shù)i".z對于點(diǎn)點(diǎn)位于第四象限，

當(dāng)左=0時(shí)，"=3符合題意.

故答案為：3（4〃+3/eN中的一個(gè)均可）.

17.（多選）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)Z（2,l）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,貝U（）

A.|-|=5B.z+z=4

121

C.五=5D.-=---i

Z33

【答案】BC

【分析】由題意寫出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共輾復(fù)數(shù)的意義，對

各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Z（2,l）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z,所以z=2+i,所以E==石，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)閦=2+i,所以I=2-i，則z+彳=2+i+2—i=4,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)樾?(2+i)(2-i)=4-i2=5,故選項(xiàng)C正確;

2-i_2-i_21.

因?yàn)?2+i)(2_i)―可一)"1故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

區(qū)復(fù)數(shù)上的共軌復(fù)數(shù)所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

55（i+2）10+5i

【詳解】由題意巧二目島=-2-i

-5

所以復(fù)數(shù)上的共朝復(fù)數(shù)-2+i,

所以其共朝復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（-2,1）,在第二象限.

故選：B.

考點(diǎn)04復(fù)數(shù)模的計(jì)算

19.已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-i,則z的模長為.

【答案】V2

【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式計(jì)算即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)模長公式可得|z|="+㈠）2=血.

故答案為：V2

20.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（2-i）z=6+2i,則目=.

【答案】20

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法法則和模的計(jì)算公式，即可化簡得到答案.

6+2i（6+2i）（2+i）10+lQj

=2+2i

【詳解】因?yàn)閦=2-i-（2-i）（2+i）-~5-

所以目=,22+2z=20.

故答案為：2VL

21.—=l+i（i為虛數(shù)單位），則同=（）

Z

A.5B.2C.3D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,得N,再可得|司.

1-i1-i（1-i）2-2i

【詳解】由丁=1+1,得”百（l+i）（l-i）=V

z=i,|z|=1.

故選：D

22.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=4+2i與Z2=3+0的模相等，則實(shí)數(shù)。的值為（

A.±V1TB.VTTc.±11D.11

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義，結(jié)合條件列方程可求。的值.

【詳解】因?yàn)閆I=4+2i,z2=3+ai,

所以㈤=A/42+22=V20=2-^5,匕2I=J32+二2=J-2+9,

由已知2=Ja?+9，

所以Q=±V1T，

故選：A.

23.已知復(fù)數(shù)z=2+ai（q￡A,i為虛數(shù)單位），滿足z2=6,則|z—2]=（）

A.V2B.3C.V5D.5

【答案】A

【分析】由z=2+ai求得共輾復(fù)數(shù)，再代入zN=6中求得°=土血，再計(jì)算卜-2|即可.

【詳解】因?yàn)閦=2+ai所以彳=2-ai,則zN=(2+ai).(2-ai)=4+/=6,解得”=±也，

|z-2|=|2±V2i-2|=|±V2i|=V2.

故選：A.

24.已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程V+2x+2=0的一個(gè)根，則目=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】設(shè)出z=a+bi,a,bcR,代入方程，化簡得至2=°,求出名方，并求出模長.

[2ab+2b=0

【詳解】設(shè)z=a+bi,a,6eR,

(q+6i)+2(a+bi)+2=0,即〃2—〃+2Q+2+(2〃b+26)i=0,

Q?—/+2。+2=0a=-l、a--\

故2-'解得b=\或

b=—1'

故z=-l土i,所以|z|=Jl+1=啦.

故選：C.

考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(z+2亍=9-4i

25.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足_,則回=()

\z—Z=ol

A.25B.9C.5D.3

【答案】C

【分析】直接解方程組求出復(fù)數(shù)Z,從而可求出復(fù)數(shù)Z的模

z+2z=9-4iz+2f'=9-4i

【詳解】由z-z=8i'得2z~2z=i6i'解得z=3+4i,

所以忖=V32+42=5,

故選：C

26.復(fù)數(shù)z=產(chǎn)的實(shí)部為()

2+1

76]_

A.1B.一C.D.

555

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得答案.

3+i（3+i）（2-i）_7-i71.

【詳解】因?yàn)閦=--------------_1

（2+i）（2-i）---5-55

所以復(fù)數(shù)2=注的實(shí)部為工.

2+15

故選：B

3

27.復(fù)數(shù)z=21+萬高，貝！|z的模為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算，即可求解.

33（V2-i）

【詳解】z=2i+萬^=方+產(chǎn)底不=2i+V2-i=V2+i,

故目=（2+1=6.

故選：C

1

28.i是虛數(shù)單位，而尸=（）

A.-：B.-D.2i

22

【答案】A

【分析】直接化簡計(jì)算即可

111ii

22,

［詳尚星］（1+i）-l+2i+i~2

故選：A

29.（多選）復(fù)數(shù)4=。+歷，z2=c+di（a,b,c,deR,acwO）,下列說法正確的是（）

Z,、

A.若2仔2為實(shí)數(shù)，則4C-"=0B.若一為頭數(shù)，則〃"-反=0

Z2

D.若全為純虛數(shù)，則ac-bd=O

C.若凡Z2為純虛數(shù)，則〃c+"=0

Z2

【答案】BCD

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)合實(shí)數(shù)的意義判斷AB；由共鈍復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算及純虛數(shù)的意

義判斷CD作答.

【詳解】復(fù)數(shù)4=。+歷，z2=c+di(a.b.c.dGR,〃cwO),

對于A,2任2=（。+步）（。+片）=。。-64+0/+兒》是實(shí)數(shù)，則Qd+bc=O,A錯(cuò)誤;

zx_a+bi(Q+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

對于B,I則“d-6c=0,B正確;

c2+d2+中是實(shí)數(shù),

z2c+di(c+di)(c—di)

對于C,ZjZ2=(〃一bi)(c+di)=ac+bd+{ad-bc)\,是純虛數(shù)，則ac+bd=0,

此時(shí)bd=-〃cwO,{ad-be)2=a2d2+Z?2c2-ladbc=a2d2+b2c2+2a2c2>0,即ad-bewO,C正確;

—z,a-bi(a-bi)(c-di)ac-bd4+心口“4業(yè)心ntl,?八

對于D,」=-―￡―*=2,2-2是純虛數(shù)，貝!J。?！猙d=O,

z2c+力(c+ai)(c-ai)c+ac+a

此時(shí)九/=〃?！?,(ad+be)2=a2d2+b2c2+ladbc=a2d2+b2c2+2a2c2>0,即一絲士與wO,D正確.

c+d

故選：BCD

2-i

30.已知i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=丁一對應(yīng)的點(diǎn)所在位于第（）象限

2+1

A.一B.二C.三D.四

【答案】D

34i/34、

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可知z=（-二，即可得其對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.

22

2-i(2-i)_4+i-4i_3-4i

【詳解】由z=M可知,3_4i

-

2+1(2+i)(2-i)-4-i2-55y

因此其對應(yīng)的點(diǎn)為（g-gj,位于第四象限.

故選：D

考點(diǎn)06i的幕運(yùn)算

31.l+i+i2+i3+---+i2024=.

【答案】1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?+i+F+F=i+i-i-i=o,

所以l+i+i2+『+…+i2024=i+506(i+i2+i3+i4)=l

故答案為：1.

32.（多選）若復(fù)數(shù)z滿足：（l+i”=2i5,彳為z的共朝復(fù)數(shù)，貝IJ（）

A.z=l-i

B.z+z=2

c.z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

D.?=2i

ABD

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則及幕運(yùn)算先化簡得出復(fù)數(shù)z,在寫出它的共軌復(fù)數(shù)彳然后逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】因?yàn)?l+i)z=2iS=2i,

2i_2i(l-i)_2i+2_,

1+i(l+i)(l-i)2

所以7=l-i,

所以同="+(_］『=6，

故選項(xiàng)A正確；

z+z=(l+i)+(l-i)=2,

故選項(xiàng)B正確；

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

z2=(1+i)2=21,

故D正確.

故選：ABD.

33.已知復(fù)數(shù)Z1=a+i,其中awR.

⑴若z；=2i,求實(shí)數(shù)。的值；

/\2z\3/\2023

⑵若Z2=l-i且五是純虛數(shù)，求2+丑+五+???+2

Z

2Z[\z2){z2J

【答案】(1)1

(2)-1

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡Z；,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可;

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡五，根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程（不等式）組，求出。的值，即可得

Z2

到五，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】（1）復(fù)數(shù)Zi=Q+i,則z；=（a+i）2=（/_］）+2M=2i,

又QER,因此T：O,解得4=1,所以實(shí)數(shù)。的值是1.

2a=2

(2)復(fù)數(shù)4=a+i,z2=l-i,aeR,

z?1—1(1—+222

因?yàn)槲迨羌兲摂?shù)，于是2,解得。=1,

Z2生，0

I2

因此2=i,又4=革2=_耳3=_幣4=1,

?2

貝|J〃￡N*,i4n-3=i,i4n-2=-l,i4n-1=-i,i4n=l,即有〃￡N*,i4n-3+i4n-2+i"T+i4〃=0,

/\2zx3/\2023

所以至+五+—+???+—=505(i+i2+i3+i4)+i+i2+i3=-l.

Z2\Z1)\Z1)\Z2)

2

34.設(shè)復(fù)數(shù)z=l_\?),則彳等于()

A.l-2iB.-2+iC.l+2iD.-2-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及i"的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡得出z=-2+i,然后根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念,

即可得出答案.

1(i)2121

【詳解】由已知可得，z=~^;=-(-L^±lh=-2+i,

i-i-i-i

所以，z=-2-i.

故選：D.

4

35.計(jì)算7^一不■的結(jié)果是（）

。+1）

1

D.

2

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方及除法運(yùn)算法則計(jì)算可得.

444_4_4i_i

［詳解］(1+i廠［(1+疔=可=三=芋=萬.

故選：C

36.復(fù)數(shù)z=l+2i+3i2+---+2O22i2021+2023i2022的虛部為.

【答案】1012

【分析】根據(jù)錯(cuò)位相減法求和，復(fù)數(shù)乘除法，i乘方的周期性等相關(guān)知識直接求解.

［詳解］由題意得z=1+2i+3/+…+2O22i2021+2023i2022，

所以z?i=i+2i?+3i3+…+2O22i2022+2O23i2023，

所以(1-i)z=1+i+i?+…+i2022-2O23i2023

1—i20231+i

-----------2O23i2023=—+2023i=i+2023i=2024i,

1-i1-i

2024i(2024i)(l+i)

所以2=

1-i(1—i)0+i)

2024i-2024

=-1012+1012i

2

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012.

故答案為：1012

考點(diǎn)07待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

37.已知z為復(fù)數(shù)，1為z的共輾復(fù)數(shù)，且三=目-l+5i,貝心的虛部是()

A.5iB.-5iC.5D.-5

【答案】D

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的概念，直接求解.

【詳解】因?yàn)閦與三互為共軌復(fù)數(shù)，所以z的虛部與三的虛部互為相反數(shù).

因?yàn)椤坏奶摬繛?,所以z的虛部為-5.

故選：D.

38.已知復(fù)數(shù)z滿足忖2+2z-2i=0.

⑴求z；

⑵求|z+3i|.

【答案】（l）z=-l+i

⑵如

【分析】⑴設(shè)2=。+如根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式以及復(fù)數(shù)相等列式求解6即可:

（2）根據(jù)（1）中結(jié)果結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）設(shè)z=a+6i（a,6eR）,

貝U由|z|2+2z—2i=0,得a?+6,+2（a+6i）—2i=0,

22

99/、{a+b+2tz=0[a=-1

即礦+/+2a+（2b-2）i=0,貝U2°_2_0，解得6=1，

所以z=-1+i.

（2）由（1）可知：z=—1+i,貝z+3i=（—1+i）+3i=—1+4i,

所以|z+3i|=H+4i|=JT7.

39.已知復(fù)數(shù)z滿足Z2-2Z+6=0,則|Z|=.

【答案】V6

【分析】根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的求解可得復(fù)數(shù)，即可由模長公式求解.

【詳解】將z看作是關(guān)于Z的一元二次方程z2-2z+6=0的根，則z=2±2其=]土內(nèi),

2

所以H=yji2+j=瓜，

故答案為：V6

40.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+2z+2=0,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一，四象限D(zhuǎn).第二、三象限

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算法則求出復(fù)數(shù)Z,再由其幾何意義選擇即可.

【詳解】設(shè)z="+6i,a,6eR,所以z?+2z+2=0=/+2a6i+2a+26i+2=0,

所以I：/CL：+?°，解得a=Tb=±l,所以z=-l土i,

\2ab+2b=0

故選：D.

41.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2加，且復(fù)數(shù)(3-i)z為純虛數(shù).

⑴求Z;

(2)若z的實(shí)部小于零，且z是關(guān)于X的方程2苫2+如-〃=0(見〃€1<)的根，求機(jī)+〃的值.

【答案】(l)z=2-6i或z=-2+6i

(2)m+n=-72

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的定義，結(jié)合模長公式，即可列方程求解,

(2)利用復(fù)數(shù)相等的充要條件即可代入求解.

【詳解】(1)設(shè)z…歷(&6eR),

]J}IJ(3_i)z=(3_i)(a+6i)=3a+6+(36_a)i.

因?yàn)?3-i)z為純虛數(shù),

所以3。+6=0且36-y0.

又目=2JHJ,所以/+尸=40.

3a+b=0

9a=2,a——2,

聯(lián)立方程/+/=40,得b=-6或

b=6.

3b-a^0,

故z=2-6i或z=-2+6i.

(2)由(1)和z的實(shí)部小于零，得z=—2+6i.

因?yàn)椋?—2+6i是方程2一+加工一〃=0(加,幾￡1<)的根,

所以2(-2+6i)~+/w(-2+6i)-"=0,

BP2m+〃+64+(48-6機(jī))i=0.

48—6加=0,Im=8,

所以解得4

2加+〃+64=0,[〃=-80.

所以機(jī)+〃=-72.

42.滿足z2?R,匕-胃=1的一個(gè)復(fù)數(shù)z=

【答案】0(0或2i中的一個(gè)，答案不唯一)

【分析】設(shè)z=a+6i(a,6eR),根據(jù)Z2?R可得出。=0或6=0,分。=0、6=0兩種情況討論，結(jié)合復(fù)數(shù)

的模長公式可求得復(fù)數(shù)z的值.

【詳解】設(shè)z=a+6i(a,6eR),則z?=(a+bi『=a?+2a歷，

因?yàn)閦%R,則。6=0,即。=0或6=0.

當(dāng)a=0時(shí),即z=6i,由"-4=@-1川=|6-1|=1,解得6=0或2,此時(shí)，z=0或2i；

當(dāng)6=0時(shí)，即z=a,由|z—i|=,一i|==1,解得a=0,止匕時(shí)，z—0.

綜上所述，2=0或2上

故答案為：0(0或2i中的一個(gè)，答案不唯一)

考點(diǎn)08復(fù)數(shù)模的幾何意義

43.如果復(fù)數(shù)z滿足目=1,那么|z-2i|的最大值是.

【答案】3

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z="+bi(a/eR),

因?yàn)槟?1,可得/+/=1,表示以原點(diǎn)(0,0)為圓心，半徑為1的圓，

又由|"3=,+伍-2川=加2+伍_2)2表示圓上的點(diǎn)到(0,2的距離,

所以|z-2i|的最大值為702+(0-2)2+1=3.

故答案為：3.

44.已知復(fù)數(shù)，滿足|z+2i|=4,則|z-3i|的取值范圍是.

【答案】[1,9]

【分析】方法一：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求解；方法二：利用不等式求解.

【詳解】方法一;因?yàn)閨z+2i|=4,

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(0,-2)的距離為4的點(diǎn)的集合，如圖所示.

由圖象可知，

當(dāng)z=2i時(shí)，|"3必=1，

當(dāng)z=-6i時(shí),|z-3i|max=9,

所以|z-3i|的取值范圍是[1,9].

方法二：因?yàn)閨z-3i|=|z+2i-5i|,

X|5i|-|z+2i|<|z-3i|=|z+2i-5i|<|5i|+|z+2i|,

所以10z-3i|W9.

故答案為：[1,9].

45.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足匕-i|+|z+i|=2,其中i為虛數(shù)單位，則目的最大值為（）

A.1B.2C.V2D.G

【答案】A

【分析】根據(jù)已知等式的幾何意義可得z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)?到點(diǎn)（0,0）的距離，結(jié)合軌

跡可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)z=a+6i（a,6eR）,

貝“z-i|+匕+i|=2表示復(fù)平面上的點(diǎn)（。/）到點(diǎn)/（0,1）和點(diǎn)2（0,-1）的距離之和為2,

對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為線段A8.

???目表示點(diǎn)（。/）到點(diǎn)（0,0）的距離，；』zL=L

故選：A.

46.（多選）已知復(fù)數(shù)4=2-2（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為4,復(fù)數(shù)Z2滿足員-i卜1,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.耳點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-2）B.1=2+2i

c.卜2一4|的最大值為+1D.R-zJ的最小值為20

【答案】ABC

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A選項(xiàng)；利用共輾復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等

式可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?=2-萬，則4(2,-2),A對；

對于B選項(xiàng)，由共軌復(fù)數(shù)的定義可得I=2+2i,B對；

對于C選項(xiàng)，z/i=2-3i,則歸一心百+㈠八加,

zzzzzz1

|2-i|=|(2-i)-(i-i)|^l2-i|+|1-i|=+VT3,

當(dāng)且僅當(dāng)z?=-誓+[誓+l]i時(shí)，等號成立，即艮-zj的最大值為舊+1,C對；

Z1

對于D選項(xiàng)，|z2-2,1=1(22-i)|^I1-i|-|z2-i|=V13-，

當(dāng)且僅當(dāng)Z2=^+1-嚕]i時(shí)，等號成立，即"-力的最小值為屈_1,D錯(cuò).

故選：ABC.

47.已知虛數(shù)2=工+川(》,夕eR),且|z-2|=l,則上的取值范圍為()

x

A.一弋'與B._R，。U0,與C.[-V3,V3]D.[一后0)5。,向

【答案】B

【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)表示的幾何意義求點(diǎn)z對應(yīng)的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合求上的取值范圍.

X

【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，匕-2|=1表示點(diǎn)z的軌跡是以(2,0)為圓心，1為半徑的圓，即(x一2)。/=1,

＞片0如圖,

上=存表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

xx-0

AC1

如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，分別取得最大值和最小值，點(diǎn)4。為切點(diǎn)，點(diǎn)C為圓心，會=；，

OC2

所以ZAOC=30°,即kOA=

所以上的取值范圍是-

X-u°，刀3?

7

故選：B

48.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件團(tuán)=1,那么卜+百+”取最大值時(shí)的復(fù)數(shù)z為（）

A.—+^-iB.+yiC.也一3D.-3」i

22222222

【答案】A

【分析】復(fù)數(shù)的模轉(zhuǎn)化為距離，|z|=l是單位圓上的點(diǎn)，|z+G+i|是單位圓上點(diǎn)與（-6,-1）的距離的最大

值，可求解答案.

【詳解】復(fù)數(shù)z滿足條件0=1,它是復(fù)平面上的單位圓，那么|Z+6+i|表示單位圓上的點(diǎn)到的

距離，

要使此距離取最大值的復(fù)數(shù)Z,就是（-6,-1）和（0,0）連線和單位圓在第一象限的交點(diǎn)M.

???點(diǎn)（-6,-1）到原點(diǎn)距離是2.單位圓半徑是1,又/MOx=30。，所以“（￥，；）.

故對應(yīng)的復(fù)數(shù)為"+』i.

22

考點(diǎn)09復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

49.歐拉公式/=cos。+汴in6（e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家Euler（歐拉）首先發(fā)

現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下

列運(yùn)算一定正確的是（）

A.(cos4+isin伍)(cosg+ising)=cos0xcos02-sin0Xsin02

B.(cos^+isin，)(cos2+isin)=cos(40)+isin(a0)

C.(cos仇+isin^)(cos^2+isin)=cos(^+^2)+isin(^+%)

D.(cosq+isind)(cosg+isin^)=cos^cosg+sin0Xsin6^

【答案】C

【分析】利用歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】(cos0X+isin)(cos02+ising)=S仇?/%=/*%)=cos(仇+^2)+isin(^+02).

故選：C.

jr

50.若2=口5夕+15由夕(i為虛數(shù)單位)，則夕=耳+2加(左EZ)是z2=—i的條件.

【答案】充分不必要

【分析】根據(jù)充要條件的知識及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.

【詳解】當(dāng)6=^+2左兀(左eZ)時(shí)，z=cos['|'+2fai]+isin(l+2E)=cos5+isin'|二i,

所以z?=/=_]；

當(dāng)。取?3兀，

2

TT1TTiTT

此時(shí)—+2左兀，左EZ,S.Z=COS—+isin—=-i,z2=(-i)2=-l,

222

jr

所以z'T推不出6=；+2E/eZ),

TT

綜上：。=5+2陽左€2)是/=-1的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

Z\2023

51.已知(