重難題型?解題技巧攻略

專題04構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用

?>-----------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01構(gòu)造函數(shù)比較大小（加減、乘法、商式同構(gòu)等）..........................................1

題型02構(gòu)造函數(shù)解不等式（原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原）............................................2

題型03構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的最值（范圍）..........................................................4

題型04構(gòu)造函數(shù)證明不等式.....................................................................5

*>----------題型探析?明規(guī)律-----------<>

題型01構(gòu)造函數(shù)比較大小（加減、乘法、商式同構(gòu)等）

【解題規(guī)律?提分快招】

【常見同構(gòu)形式】

aea<lnZ>-einb=/(x)=xex

（1）乘積模型：aea<blnb=><ea\nea<b]nb/(x)=xInx

]na+a<lnZ?+ln(lnZ?)n/(x)=x+Inx

eab”、1

<=f(%)—

Ine"InbInx

一beaeinb“、e"

（2）冏式模型：<=><1入=/(x)-

ainbaIn/7x

Q-lna<lnZ?-ln(lnZ?)=>/(x)=x-\nx

7fea±lnea<b±lnb/(x)=x±lnx

（）和差模型：a

3e±a<b±kiA

ea±]nea<einb±In6=>f(x)=ex±lnx

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）已知a=sin±b=",c=ln3,貝U（）

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

In44—In4

2.（24-25高三上?福建福州?階段練習(xí)）設(shè)。=<，b=——,c=也，貝|（）

4e22e

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)a,b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若則（）

A.ab>eB.b>eaC.ab<eD.b<ea

4.（24-25高三上?遼寧?階段練習(xí)）^a=V^-l^=1,c=l-ln|,貝|（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

sinjb=）

5.(24-25高三上?江西新余?階段練習(xí))設(shè)Qc=ln-+l,則a、b、c的大小關(guān)系為:

777

（

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

6.(24-25高三上?山西呂梁?階段練習(xí))已知a=2O232025，b=2O242024c=20252023,則（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

題型02構(gòu)造函數(shù)解不等式(原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)混合還原)

【解題規(guī)律?提分快招】

二二兩連函及解不等式薜面恿骼

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/

(2)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號脫掉，得到具體的不等式

(組)，但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧

求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形

模型1.對于f\x)>g'(x),構(gòu)造h{x}=/(x)-g(x)

模型2.對于不等式/'(x)〉左(左wo),構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx+b.

模型3.對于不等式/'(x)+/(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對于不等式/'(x)+姑(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=*/(x)

模型4.對于不等式/'(x)-/(x)〉O,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/學(xué)

ei

模型5.對于不等式V'(x)+/(x)〉O,構(gòu)造函數(shù)g(x)=^(x):

拓展：對于不等式獷~'(x)+**(%)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"/(x)

模型6.對于不等式—/(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=?(xwO)

Xi

拓展：對于不等式J/(X)—"(x)〉O,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/學(xué)

Xi

r

f(x\i

模型7.對于J*〉。，分類討論：(1)若/(x)〉0,則構(gòu)造/z(x)=ln/(x);

/(x)

(2)若/(x)<0,則構(gòu)造〃(x)=ln[—/(x)]!

模型8.對于/'(x)+ln4(x)〉0(<0),構(gòu)造〃(x)=a，/(x).

模型9.對于/'(x)lnx+△2〉0(<0),構(gòu)造〃(x)=/(x)lnx.

x

模型10.(1)對于f\x)>/(x)tanx(^f,(x)</(x)tanx),即f'(x)cosx-/(x)sinx>0(<0),;

構(gòu)造/z(x)=/(x)cosx.

(2)對于/'(x)cosx+/(x)sinx〉0(<0),構(gòu)造〃(x)=/(").

cosx

模型11.(1)f\x)sinx+/(x)cosx=[f(x)sinx\(2)于⑴sinx:/(x)cosx=[叢，,I

sinxsinx

彳麗加緣i4

一、單選題

1.(23-24高二下?安徽亳州?期中)己知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,40)=0且

f(x)+f'(x)>0,則不等式/(x2+4x—5)>0的解集為()

A.(-oo,-5)U(l,+°o)B.(-℃,-l)U(5,+co)

C.(-5,1)D.(—15)

2.(23-24高二下?重慶?期中)已知7是函數(shù)〃x)(xeR)的導(dǎo)數(shù),且VxeR,「(x)>2J⑵=3,則不等

式/(x)>2x-l的解集為()

A.B.(2,+co)C.D.(3,+(?)

3.(23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù);'(幻的導(dǎo)函數(shù)為/口)，且〃1)=6,當(dāng)工>0時(shí)，/'立)<，+3,

X

則不等式"Xi》<1的解集為()

e

A.(0,l)u(L+8)B.(0,+s)

C.(0,1)D.(l,+oo)

4.(23-24高二下?四川涼山?期末)已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?一叫0),其導(dǎo)函數(shù)/'(%)滿足

切，(x)+2/(x)>0,貝|不等式(X+2024)L/(X+2024)-/(T)<0的解集為()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,-2023)C.(-℃,-2024)D.(-oo,-2023)

5.(24-25高三上?遼寧?期中)已知定義在(0,+句上的函數(shù)〃尤)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X),滿足

(x-l)/(x)<^(x),且〃2)=e,則不等式(x+3)〃x+3)<2e，+2的解集為()

A.(1,2)B.(-3,-1)C.(1,3)D.(1,+?)

題型03構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的最值(范圍)

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(24-25高三上?湖南?期中)若無>0,y>0,則V+/-2中的最小值為()

412

A.-----B.0C.—D.—

2793

2.(24-25高三上?云南?階段練習(xí))若e"+x-Iny-毋=1,則中的最小值為()

,112

A.—B.—5C.—rD.0

eee

3.(24-25高三上?廣西貴港?階段練習(xí))已知aeR力>0,若函數(shù)=(工-動(dòng)佇一6"0,貝|］。+：的最小

值為()

A.-B.1C.eD.3

e

4.(2024高三?全國?專題練習(xí))己知偶函數(shù)”X)在區(qū)間(-叫0］單調(diào)遞減，當(dāng)x40,2］時(shí)，

/(溫-x)</⑴，貝口的取值范圍是()

A-10B.HC.心￡|D

5.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=e*+x,g(x)=lnx+x，若/(xj=g(x2)，則王迎的最小值

為()

A.-eB.--C.-1D,.------

e2

6.(24-25高三上?江蘇泰州?期中)已知函數(shù)=/-m-ln(x+m),若/(力之0恒成立，則實(shí)數(shù)冽的取值

范圍是()

A.m>-lB.加W1C.-l<m<lD.-1<m<2

丫

7.(24-25高三上?河北?期中)當(dāng)x>」時(shí),in

2e^>—,則正數(shù)彳的取值范圍為(

eex

1Jh00

A.B.~~2廠C.D.

ee

題型04構(gòu)造函數(shù)證明不等式

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí))下列不等關(guān)系中錯(cuò)誤的是()

2.(24-25高三上?湖南常德?階段練習(xí))已知x>0,?>0,且e-J+lny,則()

A.y>e2B.y2>eJ+2C./<山^D.x2<e2-l

二、解答題

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e*-ox,aeR.

⑴若曲線y=在點(diǎn)(1J。))處的切線的斜率為2,求。的值.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：Vx￡(O,l),〃2x)〈產(chǎn).

1-X

4.(24-25高三上?四川?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=ox-tanx,xe[o,；

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。42,證明：/(x)<sin2x.

5.(24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃9=三三-如工

(1)若/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵當(dāng)”=1時(shí)，證明：/(x)>0.

6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/z（x）=lnx和g（x）=ox,若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)不,無?，且工產(chǎn)馬，使得

2

"（X］）=g（xj,A（x2）=g（x2）,證明：XjX2>e.

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/'（x）=aln（尤+2）-x（aeR）.

⑴討論/（x）的單調(diào)性和最值；

21m2

⑵若關(guān)于x的方程e'=--------In—加〉0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根3，%，求證：。+W>—.

mmx+2m

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.（23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=f（%）是定義在R上的奇函數(shù)，/（%）是/卜）的導(dǎo)函數(shù),

且當(dāng)xe（一雙0）時(shí)，/（x）<2/（x）,=則不等式/12）>0的解集為（）

A.（一雙—1）D（0,1）B.（—1，a）u（0,l）

C.（-1,0）u（1,+e）D.（-雙-1）u（1,+8）

2.（23-24高二下?江蘇淮安?期末）函數(shù)〃x）=g-lnx,g（x）=e^-x,若存在正數(shù)為，%，使得

/a）=g（x2）,則上的最小值為（）

X2

A.-B.eC.1D.ee-1

e

3.（23-24高三下?四川攀枝花?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)'J滿足ylny=e2x-yln（2x）,則歹的最小值為（）

11

A.—B.eC.-rD.e?

ee

4.（2024?四川德陽?三模）已知函數(shù)〃x）及其導(dǎo)函數(shù)/'（尤）在定義域均為R且尸（幻=產(chǎn)2〃》+2）是偶函數(shù),

其函數(shù)圖象為不間斷曲線且+切>0,則不等式立山）。3〃3）的解集為（）

A.（0,e3）B.（l,e3）C.（e,e3）D.（e3,+<?）

5.（24-25高三上?安徽馬鞍山?期中）已知a>e2,b>0,c>0,當(dāng)x>0時(shí)，（e*-而）（/-cx+b）20恒成

立，則”的最小值為（）

C

6.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知“=唾3了/=；^3''=1*5,則見仇。的大小關(guān)系為（）

7

A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

二、多選題

7.（23-24高二下?重慶九龍坡?階段練習(xí)）已知?jiǎng)t下列關(guān)系式可能成立的是（）

A.eb\na<abB.efcIna>ab

C.aeb<b\naD.aeb>b\na

8.（23-24高二下?河南?期中）設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f'R）,若滿足M'（x）-/（x）=娛"且

/（l）=e,則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃x）在R上單調(diào)遞增

B.不等式/（xRe的解集為［1,+⑹

C.若〃x）Ve"x恒成立，則1

e

D.若/（xjuxzln%=4,則再迎=4

三、填空題

9.（24-25高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí)）已知“X）是R上的奇函數(shù)，且對任意的xeR均有

〃x）+粵>0成立.若=則不等式〃x）<3l的解集為___