高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《雙曲線》專項測試卷含答案

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一、單項選擇題

1.已知雙曲線的方程為不一f=1,過點尸（1,0）的直線/與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線/有

（）

A.4條B.3條

C.2條D.1條

2.過雙曲線C：]=1的左焦點作傾斜角為襲的直線/,則直線/與雙曲線C的交點情況是（）

A.沒有交點

B.只有一個交點

C.有兩個交點且都在左支上

D.有兩個交點且兩交點分別在左、右兩支上

f丫22

3.雙曲線勺一彳=1與直線y=—1x+制mGR）的公共點的個數(shù)為（）

A.0B.1

C.0或1D.0或1或2

4.已知直線>=丘+1與雙曲線/一5=1交于A,B兩點,且[48|=8^2,則實數(shù)上的值為（）

A.±巾B.±■或土

C.+y/3D.±

22

5.已知雙曲線%蚤一V方=1的左焦點為人，過品的直線/交雙曲線左支于A,8兩點，則直線/斜率的取

值范圍為（）

A.（-祟D

B.（一%U+oo）

C.（V|）

D.（-00,一和俘，+8）

6.過雙曲線一一9=4上任一點M（尤。,州）作它的一條漸近線的垂線段，垂足為N,。是坐標(biāo)原點，則

AMON的面積是（）

A.1B.2

第1頁共12頁

C.4D.不確定

7.（2024.山東煙臺模擬）過雙曲線C：5—5=1（。>0,方。）的焦點且斜率不為。的直線交C于4B兩

點,。為的中點，若kAB?koD=W，則C的離心率為（）

A.就B.2

C.y[3D.

8.已知雙曲線C：4-g=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別是F2,其中周B|=2C,過右焦點尸2的

直線/與雙曲線的右支交于A,8兩點，則下列說法中錯誤的是（）

2

A.弦43的最小值為2詈Z?

B.若但8|=機(jī)，則△BAB的周長為2m+4”

b2

C.若A8的中點為且A8的斜率為3貝

D.若直線AB的斜率為小,則雙曲線的離心率ed[2,+功

二、多項選擇題

2

9.（2024?河北唐山模擬）已知雙曲線C：J-x=l（a>0）,其上、下焦點分別為B,F2,。為坐標(biāo)原點.過

雙曲線上一點M（xo,泗）作直線/,分別與雙曲線的漸近線交于尸，Q兩點，且點M為PQ的中點，則下列說

法正確的是（）

A.若Ly軸，則I尸。1=2

B.若點M的坐標(biāo)為（1,2）,則直線/的斜率為:

C.直線P。的方程為詈-XK=1

D.若雙曲線的離心率為乎，則△OPQ的面積為2

10.（2024?湖北重點中學(xué)聯(lián)考）關(guān)于雙曲線C:彳一彳=1,下列說法正確的是（）

27

A.該雙曲線與雙曲線方一方=1有相同的漸近線

B.過點網(wǎng)3,0）作直線/與雙曲線C交于A,B兩點,若|A8|=5,則滿足條件的直線只有一條

c.若直線/與雙曲線c的兩支各有一個交點，貝I直線/的斜率空；

D.過點尸（1,2）能作4條直線與雙曲線C僅有一個交點

三、填空題與解答題

第2頁共12頁

11.過雙曲線X2—5=1的左焦點Q作傾斜角為親的直線與雙曲線交于A,B兩點,則|AB|=.

12.（2024?湖北武漢模擬）寫出一條同時滿足下列條件①②的直線/:.

①經(jīng)過點（y[2,1）;②與雙曲線/一＞2=1有且只有一個公共點.

13.雙曲線5一*=1的右頂點為A,右焦點為尸，過點尸作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲

線交于點B,則的面積為.

273

14.（2024?廣東肇慶模擬）已知圓（》+2）2+9=彳的圓心為〃，圓N:（x—2）2+尸=^的圓心為N,一

動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）已知定點P（|,。），過點N的直線/與曲線C交于A,B兩點,證明：ZAPN=ZBPN.

高分推薦題

15.（2022?新高考全國I卷）已知點A（2,l）在雙曲線C:三一手7=1（。乂）上，直線/交C于尸，。兩點,

aa—1

直線AP,A。的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

（2）若tan/=2也，求△B4Q的面積.

解析版

一、單項選擇題

I.已知雙曲線的方程為一一9=1,過點P（l,0）的直線/與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線/有

第3頁共12頁

)

A.4條B.3條

C.2條D.1條

解析：因為雙曲線的方程為/一;=1,則R1,O)是雙曲線的右頂點，所以過尸(1,0)且和x軸垂直的直線

是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外兩條就是過尸(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線，所

以符合要求的直線有3條.

答案：B

2.過雙曲線C:￡一5=1的左焦點作傾斜角為襲的直線/,則直線/與雙曲線C的交點情況是()

A.沒有交點

B.只有一個交點

C.有兩個交點且都在左支上

D.有兩個交點且兩交點分別在左、右兩支上

解析：直線/的方程為了=羋。+行)，代入C:整理得23/—8713^-160=0,J=(-

8V13)2+4X23X160>0,所以直線/與雙曲線C有兩個交點，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得兩個交點橫

坐標(biāo)符號不同，故兩個交點分別在左、右兩支上.

答案：D

X2V2?

3.雙曲線g一彳=1與直線y=-1x+"z(〃zeR)的公共點的個數(shù)為()

A.0B.1

C.0或1D.0或1或2

22

解析：雙曲線的漸近線方程為y=±y,當(dāng)，〃=0時，直線y=一§x與雙曲線沒有公共點；當(dāng)*0時，

直線y=—)%+m與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線只有一個公共點.綜上，雙曲線；=1與直線y

2

=一的公共點的個數(shù)為?；騆

答案：C

4.已知直線>=丘+1與雙曲線一一9=1交于A,3兩點，且|A3|=8y[2,則實數(shù)左的值為()

A.土幣B.±仍或土

C.±y[3D.±~

第4頁共12頁

解析：由直線與雙曲線交于A,B兩點,得際±2.將>=依+1代入％2—7=1,得（4—R）f—2日-5=0,

2k5

由/=4爐+4x（4—嚴(yán)）、5>0,得3<5.設(shè)A（xi,巾），8（x2,竺），則xi+x2=,二胃,無的=一匚三，所以［48|=

^=8地，解得左=±餡或±-^豆.

答案：B

5.已知雙曲線元一百=1的左焦點為B,過B的直線/交雙曲線左支于A,B兩點,則直線/斜率的取

值范圍為（）

(V9

-4)U(l+H

c.(一￡|)

D.(-8,—U(j,4-00

3

解析：雙曲線的漸近線方程為〉=土不，當(dāng)直線/與漸近線平行時，與雙曲線只有一個交點.

3

當(dāng)直線/的斜率大于零時，要與雙曲線左支交于兩點，則需直線/的斜率公不當(dāng)直線/的斜率小于零

3

時，要與雙曲線左支交于兩點，則需直線/的斜率％1.故選B.

答案：B

6.過雙曲線一一丁=4上任一點M（尤。,州）作它的一條漸近線的垂線段，垂足為N,。是坐標(biāo)原點，則

AMON的面積是（）

A.1B.2

C.4D.不確定

解析：雙曲線的漸近線方程為y=ir,設(shè)4,必分別為點M（xo,yo）到直線x—y=0,x+y=0的距離，

ko-Volko+vol|xo—y§|i

則由d2=——?———=一『=2,因為兩條漸近線垂直，所以SAM0N=gdM2=L

答案：A

7.（2024?山東煙臺模擬）過雙曲線C:J-p=l（o>0,b>0）的焦點且斜率不為。的直線交C于A,B兩

點，。為的中點，若kAB?koD=；,則C的離心率為（）

A.y[6B.2

第5頁共12頁

C.y[3D.-2

解析：不妨設(shè)過雙曲線C的焦點且斜率不為0的直線方程為y=k（x-c）9度0,令4為，》）,5（X2,m）.由

V￡

~-/2=1,DffiWc

<°消去y并整理得（從-+—（層/^十層為二。.則xi+X2=一萬，處冗2=

y=kx—c9

記■心+岸白（〃2左2c妨2c\"1b21

D229

〃2左2_。2，[a^-b7嚴(yán)—二）.則左0。=萩，由kAB-k0D=y可得萩,％=，?則有。=2。2,即3層=2。2,

則雙曲線c的離心率e=；=母色故選D.

答案：D

?2

8.已知雙曲線C：，一方=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別是人，外,其中|尸網(wǎng)=2c,過右焦點后的

直線/與雙曲線的右支交于A,8兩點，則下列說法中錯誤的是（）

A.弦AB的最小值為瓷

B.若[43|=機(jī)，則△RAB的周長為2機(jī)+4。

b2

C.若AB的中點為M,且的斜率為3則4OAM=U

D.若直線A8的斜率為小,則雙曲線的離心率ed[2,+s）

2廬

解析：對于A,弦A2的最小值為通徑二故A正確；對于B,由雙曲線的定義得四1|+|8月|—四|

=4a,得|A尸il+出尸i|=4a+m,所以△EA8的周長為|4尸i|+|B尸i|+|AB|=4a+2m,故B正確;對于C,設(shè)

22

即1

-

7-2

X1+X2X1—X2yi-ry2yi—y2=0,則在-丁1+竺yi-丁2_

於2

A(xi,yi),B(X29>2),則2兩式相減得一

-crP

-2-2

。

0,則了一中垢心g0,則kOM-k=-^,故C正確；對于D,若直線AB的斜率為小，貝IJ不小，所以/<3。2,

所以02<4",所以l<e<2,故D錯誤.故選D.

答案：D

二、多項選擇題

2

9.（2024?河北唐山模擬）已知雙曲線C:J-x=l（a>0）,其上、下焦點分別為尸i,F2,。為坐標(biāo)原點.過

雙曲線上一點M（xo,%）作直線/,分別與雙曲線的漸近線交于尸，Q兩點，且點M為PQ的中點，則下列說

法正確的是（）

A.若Ly軸，則|PQI=2

第6頁共12頁

B.若點M的坐標(biāo)為(1,2),則直線/的斜率為:

C.直線P。的方程為答一xg=l

D.若雙曲線的離心率為乎，則△OPQ的面積為2

解析：若軸，則直線/過雙曲線的頂點，M(0,±a),雙曲線的漸近線方程為y=±tu,易得P,Q

兩點的橫坐標(biāo)為±1,；.|尸。|=2,故A正確；若點M的坐標(biāo)為(1,2),則“="易得雙曲線的漸近線方程

yi-V2

為y2—2/=0,設(shè)P(xi,yi),。(入2,丁2),貝!Jy彳一2屑=0,另一2弟=0,兩式作差可得，負(fù)一強(qiáng)=2看一2M即

X\—X2

X1+X22V1—V2

=2x—―■-,??"2x/l,故B錯誤；若M(x°,加)，如…)，如，⑼利用點差法同樣可得g一

州十丁2

2

9X1+X20^X0

=azx-;-=-，----工--直線尸。的方程為y—州=3"(%—xo),即yoy一找=。2%0%一/看，yoy一次如尸4一〃2焉=

yi+y2州

足，.?.署一如X=l,故C正確；若雙曲線的離心率為孚，則雙曲線的方程為?一無2=1,.?.漸近線的方程為

圓1

A-xox=l,2

y=±2x,設(shè)P(xi,2xi),2(X2,-2x2),.??SZ\OPQ=2|%I%2|,聯(lián)立方程j可得為=丁，同理

yo—

[y=2x,

,—22—288

可得X2=，-9-SAOPQ=2\XIX2\=2-~~?=71―K=Z=2,故D正確.故選ACD.

yo+2xo比一2必為+240優(yōu)一4局4

答案：ACD

10.(2024.湖北重點中學(xué)聯(lián)考)關(guān)于雙曲線C:f-f=l,下列說法正確的是()

27

A.該雙曲線與雙曲線：=1有相同的漸近線

B.過點網(wǎng)3,0)作直線/與雙曲線C交于A,B兩點,若|相|=5,則滿足條件的直線只有一條

C.若直線/與雙曲線C的兩支各有一個交點，貝I」直線/的斜率

D.過點尸(1,2)能作4條直線與雙曲線C僅有一個交點

解析：雙曲線c：f-f=l的漸近線方程可表示為:—^=o,雙曲線看―5=1的漸近線方程可表示為

7-J=0.整理后都是y=±”x,故A正確；由于雙曲線的實軸長為2a=4,.?.過焦點尸與左、右兩支都

相交的直線被雙曲線截得的弦長的取值范圍是[4,+◎,存在關(guān)于x軸對稱的兩種情況，使其弦長為5,另

外當(dāng)直線垂直于x軸時，經(jīng)計算可得弦長正好是5,故滿足條件的直線有三條，如圖所示，故B錯誤；

第7頁共12頁

由于雙曲線的漸近線的斜率為普，焦點在X軸上，???若直線/與雙曲線c的兩支各有一個交點，則

直線/的斜率如圖所示，故C正確;

如圖所示,

過點R1,2）能作4條直線與雙曲線C僅有一個交點，其中兩條與漸近線平行，另外兩條與雙曲線相切,

故D正確.故選ACD.

答案：ACD

三、填空題與解答題

11.過雙曲線％2一5=1的左焦點為作傾斜角為親的直線與雙曲線交于A,B兩點,則|AB|=.

解析：易得雙曲線的左焦點B（—2,0）,直線A8的方程為〉=芋（苫+2）,與雙曲線方程聯(lián)立，得8x2

第8頁共12頁

—4x—13=0./=16+4x8x13>0.設(shè)A(xi,yi),8(x2,yi),則制+&=1,制&=—竽，\AB\=A/1+1-

答案：3

12.(2024.湖北武漢模擬)寫出一條同時滿足下列條件①②的直線/：.

①經(jīng)過點(V2,1);②與雙曲線x2—丁=1有且只有一個公共點.

解析：顯然直線/的斜率存在，設(shè)直線方程為丫-1=蛇一曲,代入雙曲線的方程得(1一節(jié)/一2嵐1

-也如一2+2正左一2M=0.當(dāng)1一產(chǎn)=0時，仁±1,此時直線方程為y-l=x-g或=也),

即y=x+l—6或y=—x+l+也.當(dāng)1一斤#)時，』=4后(1一^)2-4(1-^)(-2+2巾k-2a)=0,

解得左=P,此時直線方程為y-l=V2(x-m)，即丫=V2.r-1.

答案：y=5-1或產(chǎn)x+1-/或y=-x+1+6(只需答出其中之一即可)

22

13.雙曲線X至一V髭=1的右頂點為A,右焦點為八過點尸作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲

線交于點B,則的面積為.

/丫24

解析：雙曲線勺一行=1的右頂點為43,0),右焦點為網(wǎng)5,0),漸近線的方程為＞=±可尤.不妨設(shè)直線

的方程為y=/(x-5),代入雙曲線的方程整理，得/一。-5)2=9,解得x=,，y=-j|,所以2點，-Q.

1113232

所以S^AFB=^AF\\yB\=2(。一〃＞1陽=聯(lián)＜(5—3)又記=正.

32

答案：百

273

14.(2024.廣東肇慶模擬)已知圓M：。+2)2+產(chǎn)=彳的圓心為加，圓N:Q—2)2+產(chǎn)=彳的圓心為N,一

動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)已知定點P?,。)，過點N的直線/與曲線C交于A,B兩點,證明：ZAPN=ZBPN.

⑴解：如圖，

第9頁共12頁

設(shè)圓E的圓心E(x,y),半徑為r,

-J3

則|EA/|=r+3，\EN\=r--^~,

所以|EM-|EN|=2V3<|MN|=4.

由雙曲線的定義可知，E的軌跡是以M,N為焦點，實軸長為2/的雙曲線的右支,

所以曲線C的方程為專一y2=i,x＞小

⑵證明：由題意知直線I的斜率不為零.

設(shè)4(尤1,力)，Bg,yi),直線/的方程為尤=沖+2,

由于直線/與曲線C交于A,8兩點，

故-y[3<m</,

由[?一/=1，苫之事,

\<x=my+29

消去x并整理得(小一3城+4股+1=0,A=16m2—4(m2—3)>0,

〃4m

%xi=myi+2,X2=m)；2+2,yi#0,竺#0,

]14—

1Im-V1+2的2+，1%+丫21

MPkBPy\yi2yly22]

m2—3

即乂尸+無p=0