海南省創(chuàng)新中學(xué)協(xié)作校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.雙曲線的漸近線方程是()

A.y=土旦XB.y=士瓜

2

,1y=±2x

rC.y=±—xnD.

2

2.下列四條直線中，傾斜角最大的是()

A.y=yfjB,x-y=O

c-s/3x+y=oD-x+y=o

3.已知直線4：ax+y-\=0,直線4:x+ay-2=0,則"a=1"是"/J//?”的()條

件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.VN8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/皆.0Q,2(3,0)，C(3,4)，則VABC的外接圓方程是

()

A-(x-2)2+(>>-2)2=20B-(x+2)2+(y+2)2=20

C(X-2)2+(J；-2)2=5D-(X+2)2+(J+2)2=5

5.如圖，空間四邊形O4BC中，左一，OR-h<73-，點(diǎn)河為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)

(JA=aUD-o(jc=c

試卷第11頁，共33頁

棱。/上，旦ON=2NA,則加=（）

與一匕一匕

A.一與+匕+二B.

322322

1r2[1r

C.D.——a——b+—c

222232

6.已知圓0：/+,2=],點(diǎn)z（_],0）,點(diǎn)50,0）.點(diǎn)P是圓。上異于A,5的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)尸

作x軸的垂線，垂足為。，點(diǎn)〃滿足2苑=_兩7，則點(diǎn)”的軌跡方程為（）

A,「『=1（"±1）B.9x2+y2=l（x^±l）

C.*/=1（"±1）D.X2+9/=1（"±1）

7.點(diǎn)/（2,1,1）是直線/上一點(diǎn)，"=（i,o,o）是直線/的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)尸（1,2,0）到直線

/的距離是（）

A.1B.^2

C2D.26

8.已知橢圓氏￡+1=1（。＞方＞0）的右焦點(diǎn)為尸⑶①，過點(diǎn)"的直線交橢圓￡于八，B

a2b2

試卷第21頁，共33頁

兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1），則橢圓E的方程為（）

x2,2

A.—+匕

=117+氣=1

189

3=1

C.D'

3627

二、多選題

9.下列命題中正確的是（）

A.若空間向量°，小不滿足￡=九b=c'則Z

B.若直線/的方向向量為工=0,_i,2），平面1的法向量為m=0,4,-1），則/，a

C.點(diǎn)M（3,2,1）關(guān)于平面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3,2,-1）

D.已知。為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,尸四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若

___—.1―,1——?,1

OP=mOA+-OB+-OC,則加=一

236

22

10.已知雙曲線c土—匕=1，則下列說法正確的是（）

2m

A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.若Q亞，。）是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則

m=6

C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為〃?D.若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則

m=2

11.如圖所示，棱長(zhǎng)為2的正方體ZBCD-N/CQi中，G為的中點(diǎn)，與面48G交

于點(diǎn)”，則下列結(jié)論正確的有（）

試卷第31頁，共33頁

A.M在甌方向上的投影向量是,函B.'及與平面45a所成角的正弦值為逅

23

c.三棱錐4_班?的外接球的體積為4G兀D.點(diǎn)〃是V48C1的重心

三、填空題

12.已知平面”的一個(gè)法向量@=（x，i，-2）,平面夕的一個(gè)法向量3=若

a1/3，貝*y=.

13.曲線v=亦二/與直線y=Mx+2）有公共點(diǎn)’則上的取值范圍是___.

22

14.已知雙曲線C?二一匕=1（a>Q,b>0）左右焦點(diǎn)分別為巴，琪,且巴關(guān)于它的一條漸

'a1b-

近線的對(duì)稱點(diǎn)為P,若以尸為圓心，尸片為半徑的圓過原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為.

四、解答題

15.已知不共面的三個(gè)單位向量力，礪，反兩兩之間的夾角均為60。,

OM=OA+OB+OC'ON=OB+2OC-

⑴求證：OMVBC'

試卷第41頁，共33頁

16.2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩的熱情，出塞詩是唐代

漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，

唐代詩人李頑的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.

詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處

出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將

軍的出發(fā)點(diǎn)是軍營(yíng)所在位置為8(3,5)，河岸線所在直線的方程為x+y-3=0.

(1)求將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)(“將軍飲馬”)的最短總路程；

(2)設(shè)“將軍飲馬”路程最短時(shí)的飲馬點(diǎn)為°,在△/BC中，求3c邊中線所在的直線方程.

17.如圖，在三棱柱48C-/4cl中，441_L底面4BC，AA〔=BC==^AC，點(diǎn)'

M為Bg的中點(diǎn).

(1)證明：/。］//平面4瓦飲；

(2)棱,°上是否存在點(diǎn)"，使二面角8-的大小為生，若存在，求型的值；若不

4CN

存在，請(qǐng)說明理由.

18.已知橢圓C￡+E=l(">°>°)的右焦點(diǎn)為乙°⑼，點(diǎn)尸(百立］在橢圓C上.

a2b2，2

試卷第51頁，共33頁

(I)求橢圓C的方程;

3

(2)若過原點(diǎn)的兩條直線分別交橢圓C于點(diǎn)瓜G和凡H,且幻弓"膽=-；(。為坐標(biāo)原

點(diǎn)).判斷四邊形EPG”的面積是否為定值？若為定值，求四邊形瓦7G〃的面積；若不為

定值，請(qǐng)說明理由.

19.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書中，研究

了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結(jié)果：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)48距離之比為久(

4>0且的點(diǎn)尸的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.已知兩定點(diǎn)，5(2,4))

若動(dòng)點(diǎn)P滿足1=2,動(dòng)點(diǎn)「軌跡為圓C

PB

⑴求圓。的方程；

⑵過點(diǎn)("1)的直線/與圓C交于久E兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)口閡=2咨，求直線/的方程；

(3)若0是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QF，0G與圓c相切，切點(diǎn)分別為凡G,試問直線尸G是否恒

過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不是，請(qǐng)說明理由.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BDACBCBAADBD

題號(hào)11

答案ACD

1.B

【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程即可得解.

【詳解】對(duì)于雙曲線2—―/=1，

令2x2-「=0，得y=+41x,

所以雙曲線2/_/=1的漸近線方程是y=士收*.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，直接求出四條直線的傾斜角，即可求解.

【詳解】由＞知傾斜角為°,由苫一了二°,得到了二芯,斜率為1,傾斜角為三,

4

又由后+“。，得到一屈，斜率為-?傾斜角為2

由x+y=O,得至武一一二斜率為T,傾斜角為亞，

4

故選：D.

3.A

【分析】先利用兩直線平行的公式求出再確定充分性和必要性即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，。2=1，所以"1或〃=—1，

當(dāng)。=1時(shí)，直線4：x+y—1=0，直線（：x+y—2=0,兩直線不重合,

當(dāng)〃二—1時(shí)，直線4：—x+y—1=0,即x—y+l=0,

答案第11頁，共22頁

直線，2：x-y-2=0,兩直線不重合,

所以當(dāng)4=1或"-1時(shí)，〃〃2，

所以“4=1”是“即2”的充分不必要條件.

故選：A,

4.C

【分析】設(shè)出V45c的外接圓方程，將/曾,0]，5(3,0)，0(3,4)代入即可求解,

【詳解】設(shè)YABC的外接圓方程為卜_“『+Q_92=/,

(l-^)2+b2=r24=2

所以(3—a)2+/」2,解得b=2,

(3—q『+(4—bp"[r=45

所以外接圓的方程為(尤_2)2+(y.2)2=5.

故選：c.

5.B

【分析】根據(jù)圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可.

----?—??2—*-1/—?—?、2f11-*

【詳解】MN=ON-OM=-OA一一\OB+OC\=-a一一b一一

32、,322

故選：R-

D

6.C

P(m,77)0(%0)2PQ=—PMm=x

【分析】設(shè)，，則，根據(jù)可得1,代入

n=-y

[3,

尤2+y2=l艮|]可求解.

答案第21頁，共22頁

【詳解】設(shè)9則。（加,0），

所以畫=(0-n\PM=(x-m,y-n)f

2PQ=-PMj0=—x+mm=x

，所以j—2〃=—y+n9所以＜

因?yàn)?

n=-y

3

因?yàn)槭趫A。上，所以/+/=],

所以工2+1]；=1，即總+X?=1，

因?yàn)辄c(diǎn)尸是圓0上異于A，3的動(dòng)點(diǎn)，所以

所以點(diǎn)”的軌跡方程為《+x2=1（XN±1）-

故選：c

7.B

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】...Q=（7,1,_1），2=（1,0,0）是直線/的一個(gè)單位方向向量,

點(diǎn)P到直線/的距離為"后2_（萬方）2=行斤=&-

故選：B.

8.A

【分析】設(shè)幺￡修，為0，8后叼，%0,利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，及斜率公式可得

上=L,再結(jié)合'的關(guān)系即可求解.

a22

答案第31頁，共22頁

【詳解】設(shè)4曾//10，8曾％2，%0，

+二1

22

代入橢圓方程可得：ab

兩式作差可得?(占+在乂西一%)(%+%)(%-%)

'/b2

又AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),

所以再+/=2,必+%=-2，

則”一%=Q,又如

%1-%2/1-32

所以Q=L,即/=2/，

a22

又"一〃=。2=9，

所以“2=18萬=9，

所以橢圓的方程為：片+片=1.

189

故選：A-

9.AD

【分析】根據(jù)向量相等的定義判斷A;根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得工,碗，即可判斷B;

由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷C；由共面向量定理可判斷口?

【詳解】對(duì)于A,若￡=加則向量.與各方向相同，模長(zhǎng)相等，

答案第41頁，共22頁

若B，則向量各與工方向相同，模長(zhǎng)相等，所以向量Z與"方向相同，模長(zhǎng)相等，

所以々d.—IC，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閑=（l,-l,2”m=（6,4,-1）,

所以〉碗=6-4一2=0,所以工，有，

所以///a或/ua，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,點(diǎn)加（3,2,1）關(guān)于平面W>z對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（_3,2,1），故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，

^OP=mOA+-OB+-OC,則機(jī)+l+'=1,所以機(jī)=工，故。正確.

23236

故選：AD-

10.BD

【分析】根據(jù)題意，由條件可得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，豆a3b二際，然后結(jié)合雙曲

線的性質(zhì)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榍€C二一片=1為雙曲線，所以焦點(diǎn)在“軸上，且。="6=詬,

2m

對(duì)于A,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2。=2a，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若Q后，。）是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，貝曠=20,即已也『=2+加，

解得帆_故正確；

frl-6V,B

對(duì)于C,取雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為尸伍⑼，一條漸近線方程為y=2x,即--@=°,

答案第51頁，共22頁

則雙曲線c的焦點(diǎn)到漸近線的距離為茁+(_]=b=品,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則2=返=「即'”=2,故D正確；

a41

故選：BD

11.ACD

【分析】對(duì)于A：根據(jù)投影向量的定義分析判斷；對(duì)于B：利用等體積法求點(diǎn)與到平面

4BG的距離為d，進(jìn)而可求線面夾角；對(duì)于C：可知三棱錐同一84￡的外接球即為正方

體的外接球，進(jìn)而運(yùn)算求解；對(duì)于D：可證平面45G，結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征分

析判斷.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?4L3C，且G為的中點(diǎn)，

由投影向量的定義可知：CG在8月方向上的投影向量是:函，故A正確；

對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)與到平面AiBCi的距離為d，

因?yàn)槠遰g=且V4g是以邊長(zhǎng)為班的正三角形，

gP-t/x-x2V2x2V2x—=-x2x-x2x2?解得d=，

322323

BB14g2百

所以與平面所成角的正弦值為d::亍=右，故B錯(cuò)誤；

BB123

對(duì)于c,因?yàn)槿忮F&-Bq。的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，

答案第61頁，共22頁

可知三棱錐4一"G的外接球即為正方體的外接球,則外接球半徑尺=；。3=指'

所以外接球的體積為/=34族3斯r-/，故C正確;

3

對(duì)于D：因?yàn)?g70]為正方形，則4GJ.8Q，

又因?yàn)锳g]_L平面4月。|〃，BRu平面44clA，則4cl1BB/

且8QiC84=4'2Q,AB|u平面網(wǎng)QQ，則/g，平面網(wǎng)DQ,

由DB'平面BBQQ，可得￡珞_L40，

同理可得。用_L43，

且4G。4臺(tái)=4，4G，48u平面42G，所以。4,平面42G，垂足為“，

又因?yàn)?4=4G=84，V43cl是正三角形，可知四面體D-48G為正三棱錐，

則”為V48cl的中心，即“為V48cl的重心，故D正確；

故選：ACD.

12.一G

【分析】根據(jù)題設(shè)得到一kC，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.

ab=0

【詳解】因?yàn)槠矫妗钡囊粋€(gè)法向量1=（羽1，-2）,平面￡的一個(gè)法向量B且

答案第71頁，共22頁

a_L0，

所以3丁，即無8=°,所以_x+y_2x3=0,得到a尸一百，

2

故答案為：_省.

13.Fo,-

L4」

【分析】通過化簡(jiǎn)知曲線丫=而二7是圓心為（3,0），半徑為3的上半圓，再借助數(shù)形結(jié)

合的方法，利用直線與半圓相切時(shí)直線的斜率可得結(jié)果.

【詳解】直線y=Mx+2）過定點(diǎn)（-2,0），由了=疝二"得（x_3/+y2=*（y20），故曲

線y=,6口一）2是圓心為（3,0），半徑為3的上半圓，如圖所示：

當(dāng)直線y=%（x+2）與半圓口一3）2+/=9,（yN。）相切時(shí)，

設(shè)切線傾斜角為a，ae「0,Q-,貝人山￡=23,，切線的斜率左=1211。=23,

L2；54

所以曲線yWx-x2與直線y=M》+2）有公共點(diǎn),則左的取值范圍是10,3

故答案為：0,』

.4.

14.2

答案第81頁，共22頁

【分析】由己知可得圓的半徑等于C，結(jié)合焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,用勾股定理得出

\OM\^a＞再用中位線的性質(zhì)得出0、,關(guān)系求出離心率.

【詳解】如圖，由題意可知，閭尸閆尸片|=心

設(shè)可與漸近線＞=紇的交點(diǎn)為跖則〃為尸工的中點(diǎn)，且尸工,加,

則點(diǎn)S）到直線…二。的距離公

在中，因?yàn)?。，M分別為月片，尸區(qū)的中點(diǎn)，

所以|尸￡|=2|。閭=2°，所以c=2a，

所以雙曲線的離心率e=￡=2.

a

故答案為：2

15.（1）證明見解析

⑵①

7

【分析】（1）根據(jù)條件，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明;

答案第91頁，共22頁

(2)根據(jù)條件，利用向量的夾角公式即可計(jì)算.

【詳解】（1）H^/O3-OB=a4-OC=Q8-OC=lxlxcos60o=-,

2

所以

-----?/?,\/??\,??/?,\/",?\?22

OM-8C=（CU+OB+OC）.（OC-OB）=ON.（OC-O8）+（O8+OC）.（OC-O3）=OC-OB=1

所以兩_L沅，即。MJL8C.

(2)因?yàn)?/p>

------?,*/?\/?*\,-”*2??

AC.ON=（OC-OA）?（OB+2OC）=OC?OB+20c-OAOB-2OAOC=-+2---\=\,

又可停一百=/一2反京+而=1一2x；+l=l,則的=1,

O2V|2=（0S+2dC）2=OB2+4OBOC+4OC2=1+2+4=7,貝/。叫=口

AC-ON1V7

16?⑴后

(2)26x+19y-123=0

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可得對(duì)稱點(diǎn)片(_2,0)，即可根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解，

⑵根據(jù)兩直線的方程可得交點(diǎn)。與3,即可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得。偌,為進(jìn)而根

答案第101頁，共22頁

據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線方程.

【詳解】(1)由題意可知48在x+y-3=0的同側(cè)，

設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為與⑺⑼,4cH三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)C為使得總

路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，

。+3b+5。=-25,(-2,0)

------+---------3=01

則J2，解得〔b=°,即，

[a-3''

此時(shí)“將軍飲馬”走過的總路一程為\AC\+\CB\=\AC\+\CB\=+F=歷.

二

(2)由(1)知心=-^—=~r故直線方程為y=：(x+2),

典4+26

故直線/用的方程是x-6y+2二二0>

[x-6y+2=07喈，制

〈X=

聯(lián)立[x+y-3=0,解得，即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為/乙

y=

7

BCD(x,y)3+716_3754+75_20,即A彳37了20J、,

邊的中點(diǎn)，則丫_一

A-

21427

答案第111頁，共22頁

AD20

,1-T26

二直線斜率后=-37=-^

14

；?直線'"的方程為了-1=-||（1）,整理得26》+19了-123=0.

???△/8C中8c邊中線所在的直線方程為26x+19y-123=0,

17.（1）證明見解析

力、++ANc

⑵存在‘加=2

【分析】（1）連接力4與48交于點(diǎn)O,從而得到〃/G，利用線面平行的判定定理,

即可求解;

（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)/2=1,N（0,a,0），04。41，求出平面84M

與&ACV的法向量,利用面面角的向量法,即可求解.

【詳解】（1）連接4B］與交于點(diǎn)O，則。為4B］的中點(diǎn)，連接（W,

因?yàn)辄c(diǎn)M為4G的中點(diǎn)，

所以（W///G，

答案第121頁，共22頁

因?yàn)椋╓U平面4收，/C]<Z平面A[BM，

所以4C1//平面-

AM

（2）存在’國(guó)=2；理由如下:

因BC=6AB=6AC'則3c2=+NC?,故/814C，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系/-xyz，

設(shè)初=1,則5jl,0,0?,4(0,0,月，臼,

設(shè)N（O,a,O），04V41，

.=弓（0）,麗=（04-行）,

BAXMm?BA、=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量為成目￡xi，%，Z]（5,則有?

m-^M=Q9

—再+y[^Z[=0再=V2^m=(V2,-V2,l)

即八1，取

尹+尹=。

答案第131頁，共22頁

AMN

nn-AxM=Q

設(shè)平面的一個(gè)法向量為?H8x2）j2,zJ,則有，

心麗=0'

x=-V2n=(-42,42,a

取2，得'

ay2-V2Z2=0

因?yàn)镮cos仿率」而司一I=V2,整理得3/+16"12=0,

'一|研同一6而7一2

解得°=2可0』或"一6（舍），止匕時(shí)生=2.

3L」CN

18.⑴工+J1；

43

（2）為定值，473-

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有c=l，再由點(diǎn)在橢圓上及橢圓參數(shù)關(guān)系求得/=4，/=3,即

可得方程；

（2）討論直線尸戶的斜率存在性，設(shè)直線方程，并與橢圓聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、

點(diǎn)線距離公式，求三角形面積，即可得結(jié)論.

【詳解】（1）由題意c=l,又點(diǎn)尸［右,立］是橢圓上一點(diǎn)，

、2）

.?二+3=1,又m=i,解得片=%”=3,

a24b2

因此，橢圓的方程為《+《=1.

43

（2）四邊形跖G〃的面積為定值，理由如下：

如圖：

答案第141頁，共22頁

①當(dāng)直線￡尸的斜率不存在時(shí)，直線EF_Lx軸，此時(shí)四邊形E尸G/f為矩形，且左”

C（Jrn

因?yàn)樾牟环猎O(shè)“=走，則心=_1-

x{x24EG2FH2

取避?|，//一如］，則四邊形歐G”的面積5=4%次=4、'"、血=46.

I'2J「2J2

②當(dāng)直線環(huán)的斜率存在時(shí)，設(shè)EF：y=kx+m,且磯%,y），/（工2，%），

聯(lián)立直線所與橢圓C的方程，消去》并整理，得（442+3封+8協(xié)穴+4加2—12=0?

由A8=（km^-4（總+4）（加f2~,>,^4A:2-m2+3>0

=8kmW-12

所以西+x2~xx=—