特訓(xùn)01函數(shù)的周期性與對(duì)稱性及應(yīng)用(九大題型)

一、函數(shù)圖象的對(duì)稱性

1.對(duì)定義域的要求：無論是軸對(duì)稱還是中心對(duì)稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)對(duì)稱。

2.函數(shù)圖象對(duì)稱性的結(jié)論

(a+x)+(b-x)a+b

(1)函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

22

a_|-b

(2)函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=2c=y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(;一,c)對(duì)稱

二、函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性間的關(guān)系

(1)若函數(shù)y可(x+a)是偶函數(shù)，即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

一般的，若對(duì)于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y可(x+a)是奇函數(shù)，即J(-x+a)+f(x+a)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

一般的，若對(duì)于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。

三、函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)的定義

對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)常數(shù)T#),能使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的所有值時(shí)，都有f(x+T)=J(x),則函數(shù)y=f(x)

叫做以T為周期的周期函數(shù).

2,函數(shù)周期性的結(jié)論

(1)若函數(shù)f(x)恒滿足f(x+a)=f(x+b),則f(x)是周期函數(shù)，2|a—b|是它的一個(gè)周期.

⑵若函數(shù)f(x)恒滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期函數(shù)，2同是它的一個(gè)周期.

推論：若函數(shù)(x)恒滿足/(x+a尸-f(x+b)(aWb),則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個(gè)周期.

⑶若函數(shù)f(x)恒滿足f(x+a)=「〈(aWO),則f(x)是周期函數(shù)，2同是它的一個(gè)周期.

I(X)

推論：若函數(shù)(X)恒滿足f(x+a)=f(aWb)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個(gè)周期.

⑷若函數(shù)f(x)恒滿足f(x+a)=-則f(x)是周期函數(shù)，2同是它的一個(gè)周期.

-I(X)

推論.若函數(shù)(X)恒滿足f(x+a)=-k^--(a#b),則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個(gè)周期.

曲—f(x+b)

(5)對(duì)于定義域中的任意x,恒有f(x+T)=；+；(TwO),則f(x)為周期函數(shù),41Tl是它的一個(gè)周期.

1r?/\

(6)對(duì)于定義域中的任意x,恒有f(x+T)='f(TWO),則f(x)為周期函數(shù),2國是它的一個(gè)周期.

⑺如果(x尸f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等價(jià)于(x)=-f(x-3a),則f(x)為周期函數(shù)，且61al是它的一個(gè)周期.

四、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性間的關(guān)系(多對(duì)稱性產(chǎn)生周期性)

(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且關(guān)于直線x=a(aRO)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，？同是它的一個(gè)周期

推論：若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a,x=b(aWb)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，一N是它的一個(gè)周期.

(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于直線x=a(a￥0)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，,同是它的一個(gè)周期

推論：若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)、直線x=b(a￥b)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，,卜-M是它的一個(gè)周期.

(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)(a,O)(a^O)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)？同是它的一個(gè)周期

推論：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,O),(b,O)(arb)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，2卜一M是它的一個(gè)周期

題型歸納

目錄：

?題型01函數(shù)周期性的定義與求解

?題型02由周期性求函數(shù)的解析式

?題型03判斷證明抽象函數(shù)的周期性

?題型04由函數(shù)的周期性求函數(shù)值

?題型05判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱性

?題型06由對(duì)稱性求函數(shù)的解析式

?題型07由對(duì)稱性研究函數(shù)的單調(diào)性

?題型08由對(duì)稱性求參數(shù)

?題型09函數(shù)周期性、對(duì)稱性有關(guān)的零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根、圖像對(duì)稱等問題

?題型01函數(shù)周期性的定義與求解

1.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃2x+5)的周期是3,則的周期為().

3

A.-B.3C.6D.9

2

2.(2021高一?上海?專題練習(xí))函數(shù)A%)為定義在H上的奇函數(shù)，且滿足/(x)=/(2-x),則/⑴的周期

為.

3.(20-21高二上?廣東汕頭?期末)已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足〃x)=/(x+3),若當(dāng)時(shí)，

f(x)=&,貝4/(2021)=.

4.(2024?廣東茂名?一模)函數(shù)尸》(x)和y=/(x-2)均為R上的奇函數(shù),若/(1)=2,則“2023)=

()

A.-2B.-1C.0D.2

5.(23-24高三上?四川成都?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,〃x+1)為偶函數(shù)，〃4-x)=/(x),

貝I()

A.函數(shù)/⑺為偶函數(shù)B./(3)=0

C—D."2023)=0

?題型02由周期性求函數(shù)的解析式

6.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=/(x),當(dāng)xe(-1,0)時(shí),有/(x)=2、,則當(dāng)

(-3,-2)時(shí),/(x)等于()

A.2XB.-2XC.2X+2D.-24I+2)

7.(22-23高三?全國?對(duì)口高考)函數(shù)＞=/(x)的周期為2,且當(dāng)xe[T,l)時(shí)，f(x)=x,則y=/(x),

工€［2左一1,24+1)任€2)的解析式為,

8.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)y=〃x)是定義在R上奇函數(shù)，且滿足/(x+2)+/(x)=0,當(dāng)

xe［-2,0］時(shí)，/(X)=-X2-2X,貝|當(dāng)x42018,2020］時(shí)y=的最大值為

A.-8B.-1C.1D.0

9.(21-22高三上?上海浦東新?階段練習(xí))設(shè)Ax)是定義在五上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)xe［0,2］時(shí)，

=log2(x+l),則函數(shù)/⑴在［2,4］上的解析式為.

10.(2021?新疆巴音郭楞?模擬預(yù)測)設(shè)/(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間［—2,0)U(0,2］上,

辦+“一2<x<0

/(x)=’則八2019)=

tzx-1,0<x<2,

?題型03判斷證明抽象函數(shù)的周期性

11.(2022高三?全國?專題練習(xí))設(shè)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有/(x+2)=-/⑴.當(dāng)

xe［0,2］時(shí),/(x)=2x-x2.

(1)求證：/(X)是周期函數(shù)；

(2)當(dāng)xe［2,4］時(shí),求/⑴的解析式；

(3)計(jì)算/(0)+/(1)+/⑵+???+/(2008)的值.

12.(23-24高一上?山西運(yùn)城?期末)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足Vx/eR,都有

/(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(T)=0且當(dāng)xe［0,1)時(shí),f(x)>0.

⑴求〃0)J(T);

⑵證明：〃x)為周期函數(shù)；

⑶判斷并證明/(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性.

13.(23-24高三上?重慶?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)〃元)滿足:對(duì)任意都有/㈠/耳:/僅%),

且/(x+1)為奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f(2x+l)=/(2x)B./(2-x)力x)

C./(x+2)為偶函數(shù)D.〃2x)為奇函數(shù)

14.(22-23高二下?上海黃浦?期末)已知函數(shù)y=/(x)(xeR),其導(dǎo)函數(shù)記為y=/'(x)(xeR),有以下

四個(gè)命題:

①若y=〃x)為偶函數(shù)，則y=/'(x)為奇函數(shù)；

②若＞=/'(x)為偶函數(shù)，則y=/(x)為奇函數(shù)；

③若＞=為周期函數(shù)，則y=/'(x)也為周期函數(shù)；

④若＞=/'(x)為周期函數(shù)，則＞也為周期函數(shù).

其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

?題型04由函數(shù)的周期性求函數(shù)值

15.(23-24高一下?河南南陽?階段練習(xí))函數(shù)/(司=25山(0龍+何(0＞0,網(wǎng)＜兀)的圖象如圖所示，直線

y=-x+3經(jīng)過函數(shù)/(X)圖象的最高點(diǎn)M和最低點(diǎn)N,則/(0)+/(1)+/(2)+〃3)…+〃2026)=()

A.y/2-2B.0C.亞+2D.272+2

16.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)與g(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)和g'(x)的定義域都為

R，/(x)=-g(2-x),r(x+2)=g-(x),且/''(1+x)為奇函數(shù)，則下列等式一定正確的是()

A.”2023)=0B.”2024)=0C./'(2023)=0D,廣(2024)=0

17.(2024?山西晉中?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為

2024

R,/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=3,若g(x+2)是偶函數(shù)且"0)=0,則￡〃左)=()

k=l

A.0B.4C.2023D.2024

?題型05判斷或證明函數(shù)的對(duì)稱性

2X+2

18.(2024?山西臨汾?二模)已知函數(shù)/(x)=^~工，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)在(1,+8)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

C.Vm＞2,方程/(x)=m都有兩個(gè)不等的實(shí)根

D.不等式〃x）>f+1恒成立

19.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)镽,則函數(shù)y=/（x—1）與x）的圖象關(guān)于

直線（）

A.x=0對(duì)稱B.y=0對(duì)稱C.x=l對(duì)稱D.y=l對(duì)稱

20.（2024?浙江溫州?二模）已知定義在（0』）上的函數(shù)=7H有理數(shù)T（加7H互質(zhì)的正整數(shù)），則

是無理數(shù)

下列結(jié)論正確的是（）

A.的圖象關(guān)于x=；對(duì)稱B.的圖象關(guān)于[，口對(duì)稱

C.“X）在（0』）單調(diào)遞增D.“X）有最小值

?題型06由對(duì)稱性求函數(shù)的解析式

21.（2023?新疆?二模）設(shè)/（x）是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間口,2]上單調(diào)遞減，且滿足

/、[0<x<1

/（兀）=1,/（2兀）=0,則不等式組”x）wi的解集為（）

A.-,1B.[0,4—7t]C.[271—6,1]D.[2K—6,4—n]

22.（2023?河南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)“X）對(duì)任意xeR都有"x）=-〃x+2）,且函數(shù)/（x+1）的圖象關(guān)于

（-1,0）對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，/（x）=tanx.則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)丁=/（"的圖象關(guān)于點(diǎn)的0）（左eZ）對(duì)稱

B.函數(shù)V=〃x）的圖象關(guān)于直線x=2M^eZ）對(duì)稱

C.函數(shù)>=的最小正周期為2

D.當(dāng)xw[2,3]時(shí),/（x）=tan（x-2）

23.（2023高三?全國?專題練習(xí)）己知定義在尺上的函數(shù)昨/（x）滿足=函數(shù)丁=〃無+1）為

偶函數(shù)，且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/（x）=log2（x+a）,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.函數(shù)昨/（x）是周期為4的周期函數(shù)B./（2020）+/（2021）=1

C.當(dāng)xe（l,2〃時(shí)，/（x）=log2（x+l）D.不等式；的解集為（亞-1+優(yōu)3-亞+4左）,左eZ

?題型07由對(duì)稱性研究函數(shù)的單調(diào)性

24.(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)〃x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)xN2時(shí)，/")=log1(/-4x+7)，若

7

則()

A.(〃+6-4)(。一6)<0B.(a+b-4)(a-b)>0

C.(Q+b+4)(a-b)<0D.(a+b+4)(a-b)〉0

25.(2024高三?全國?專題練習(xí))己知函數(shù)〃x)=ln(而］+x)+2x3,g("是定義在R上的偶函數(shù)，且g(x)

在(一*0］上單調(diào)遞增，則下列判斷正確的是()

A.是偶函數(shù)

B.|/(x)|-g(x)是奇函數(shù)

C./(g(2023))</(g(2024))

D.g(/(2023))>g(/(2024))

26.(23-24高三上?遼寧丹東?期中)已知函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)镽J(x-2)為偶函數(shù)，〃x-l)為奇函數(shù)，

當(dāng)xe［l,2］時(shí)，f(x)=ax+b,若〃2)+〃3)=g,則()

A.在區(qū)間［0川上是增函數(shù)，且有最小值為一;

B./(x)在區(qū)間［0』上是減函數(shù)，且有最大值為：

C.7(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最大值為g

D./(x)在區(qū)間［-2,-1］上是減函數(shù)，且有最小值為一;

?題型08由對(duì)稱性求參數(shù)

27.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=1g的圖象關(guān)于點(diǎn)(1J⑴)對(duì)稱，則。=()

A.1B.2C.eD.e2

28.(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=sin(m)+言在xe［-a,a］｛a>0)存在最大值與最小值分

別為M和加，則函數(shù)g(x)=(M+加)x+(“+：)x+i，函數(shù)g(x)圖像的對(duì)稱中心是()

A.(-1,一1)B.C,U,-l］D.U,-1］

?題型09函數(shù)周期性、對(duì)稱性有關(guān)的零點(diǎn)、交點(diǎn)、方程的根、圖像對(duì)稱等問題

29.(23-24高三下?重慶九龍坡?階段練習(xí))設(shè)關(guān)于x的方程x2-2a|x-a|-2ax+l=0有3個(gè)互不相同的實(shí)

根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

30.(2024?浙江紹興?二模)已知定義在(0,+e)上的增函數(shù)/(x)滿足:對(duì)任意的。力40,+8)都有

〃仍)=〃4)+/優(yōu))且"4)=2,函數(shù)g(x)滿足g(x)+g(4-x)=-2,g(4-x)=g(x+2).當(dāng)xe[0,l]時(shí)，

g(x)=/(x+l)-l,若g(x)在[0,詞上取得最大值的X值依次為用,&，…,4,取得最小值的X值依次為

X；,芯，…，x'n,若Z[%+g(xJ]+￡[x；+g(x；)]=21,則m的取值范圍為

Z=1Z=1

31.(23-24高二上?浙江杭州?期末)設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，又關(guān)于直線x+y=0軸對(duì)

稱.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(x)=log2(x+l),則/。啕⑵的值為—.

32.(2024?河北秦皇島?三模)已知奇函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,〃x+3)=-/(—),且〃2)=0,則〃無)

在[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為.

3flY

33.(23-24高一上?河南商丘?期末)已知函數(shù)〃x)="7(3/一，若“X)的圖象上存在關(guān)于直線

-log9x,x>0,

歹=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，貝I。的最大值為.

34.(2024?寧夏銀川?一模)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足/■(x)=〃2-x),當(dāng)xe[0,l]時(shí)，

/⑺=2x.函數(shù)g(x)=e*T(-1<X<3),則/(x)與g(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.

35.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=〃x),且當(dāng)時(shí)，〃x)=|x|,有以下四

個(gè)結(jié)論：①f(x)的值域是[0』;②/⑺在(0,1。)上有8個(gè)零點(diǎn)；③若方程〃x)=lg|x-3|+a有4個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根，則這4個(gè)實(shí)數(shù)根之和為12；④若方程/(力=。龍(。>0)有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

36.(23-24高一下?湖南長沙?開學(xué)考試)我們知道，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,如果對(duì)任意xe/,都有

2a-x^I,且/(尤)+/(2"力=26,那么函數(shù)，=〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。,6)成中心對(duì)稱.若函數(shù)

〃力=-2丁+3的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱，則實(shí)數(shù)c的值為；若/(_打+/⑸+6)>2,則實(shí)

數(shù)f的取值范圍是

模擬精練圖

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X)與g(x)及其導(dǎo)函數(shù)(⑺和g，(x)的定義域都為

RJ(x)=-g(2-x)J'(x+2)=g，(x),且/'(l+x)為奇函數(shù),則下列等式一定正確的是()

A./(2023)=0B./(2024)=0C..(2023)=0D./(2024)=0

2.(2024?安徽?模擬預(yù)測)若定義在R上的函數(shù)滿足2〃x+y)〃尤-y)=〃2無)+〃2田，且

/(l)=-h則/(0)+/⑴+/⑵+…+/(2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

3.(2024?四川南充三模)已知函數(shù)/⑴、g(x)的定義域均為R,函數(shù)/3-1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

函數(shù)g(x+l)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，/(x+2)+g(x+l)=-l,/(-4)=0,貝U/(2030)-g(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

4.(2024?貴州畢節(jié)?三模)已知函數(shù)/(x)的圖象在x軸上方，對(duì)VxeR,都有“x+2)?=2/(1),若

〉=/(xT)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且/'(0)=1,貝|/■(2。23)+/■(2024)+/■(2。25)=()

A.3B.4C.5D.6

5.(2024?江西?模擬預(yù)測)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x),g(x)滿足:g(0)w0,

/(x)g(y)-/(y)g(x)=/(x-y),且g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y),則下列說法不正確的是()

A.g(O)=lB.〃x)是奇函數(shù)

C.若/⑴+g⑴=1,則/(2024)-g(2024)=-1D.g(x)是奇函數(shù)

6.(2024?山東聊城?三模)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)y=2cos?］的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，將/(x)

的圖象向右平移:個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)＞的圖象與y=g(x)的圖象的所有交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.8B.6C.4D.2

7.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃無)=e2i-e5+sin《x-m+l,則不等式〃2x+l)+/(2-x"2

的解集為()

A.(-8,2]B.[2,+oo)C.[—2,2]D.[-2,+8)

8.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知/("的定義域?yàn)镽,函數(shù)/(力滿足

/(x)+/(4-x)=6,g(x)=12^+2^23,〃x),g(x)圖象的交點(diǎn)分別是(西,必卜區(qū)外)，(三,%),(七,%),...,

(x?,y?),則必+%+...+笫可能值為()

A.2B.14C.18D.25

二、多選題

9.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測)已知直線x=l是函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱軸，則函數(shù)的解析式可以是

()

A.〃》)=嵩B.〃x)=ei+e~

C./(x)=C0S7txD.f(x)=x2-2\x\

10.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記

g(x)=/").若〃2x+l)與g(x+2)均為偶函數(shù)，且g⑵=2,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.g(x)是周期4的周期函數(shù)B.g(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

1999

c.￡g⑺=-2D./(X)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱

Z