專題06幾何圖形的翻折變換問題

述

幾何圖形5的翻折變換在中考?jí)狠S題中考查比例較高，翻折變換本質(zhì)上是考查軸對稱的

相關(guān)知識(shí)知識(shí)，在解決有關(guān)翻折問題的壓軸題時(shí)，需要注意三點(diǎn)：

(1)掌握軸對稱的有關(guān)性質(zhì)：

①關(guān)于直線對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.

(2)掌握折疊圖形的性質(zhì)，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問題時(shí)，就需要結(jié)合矩

形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)。

(3)折疊問題中求解線段的長度，一般要借助勾股定理，列出方程進(jìn)行求解。

真題精析

(2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題)小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗(yàn)，對線段之間、角之間的關(guān)系

進(jìn)行了拓展探究.

如圖,在中，回為邊上的高'俞九點(diǎn)M在短邊上，且入於，點(diǎn)E

是線段AM上任意一點(diǎn)，連接3E,將ABE沿3E翻折得..bBE.

(1)問題解決：

如圖①，當(dāng)/54。=60。，將一ABE沿BE翻折后，使點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合，則瞿=______;

AN

(2)問題探究：

如圖②，當(dāng)/BAD=45。,將_筋￡1沿BE翻折后，使EF〃BM,求1的度數(shù)，并求出

此時(shí)機(jī)的最小值；

(3)拓展延伸：

當(dāng)NB4D=30。，將,ABE沿8E翻折后，若EFJ.AD,且AE=A/E>,根據(jù)題意在備用圖中

畫出圖形，并求出加的值.

哪甌

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得禁=慧=—,根據(jù)特殊角

ANANcos/BAN

的三角函數(shù)值即可求解；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得44歷=/尸跖=，180。+45。)=112.5。，由三角形內(nèi)角和定

理可得=180。—NA￡B-NAIE=22.5。，根據(jù)點(diǎn)加在AD邊上，當(dāng)AD=AM時(shí)，加取

得最小值，最小值為舞=2；

AN

(3)連接出，設(shè)4V=a,則AB=2o,NB=gN=?,在RtZxFBM中，

FB=AB=BM,延長莊■交NC于點(diǎn)G,在RtaEEM中，

EM=^FM--EF2=^8fl2-(V3-l)2a2=(V3+l)o,進(jìn)而根據(jù)AD=AE+EM+MD,即可

求解.

［答案與解析】

【答案】⑴氈；(2)ZABE=22.5°,m=2；(3)作圖見解析，3石-1

3

【詳解】(1)BA=BM,ZBAD=60°

ABM是等邊三角形，

：.AB=AM=BM

四邊形ABC。是平行四邊形，

..AD//BC,

/.ZABN=ZBAM=60°,

AN為邊上的高，

.AMAB_1_1_2^

"~AN~^N~~COS2BAN~~^3~~T~，

(2)ZBAZ)=45°,BA=BMf

??.14WB是等腰直角三角形，

/.NMBC=ZAMB=45°,

EF//BM,

..ZFEM=ZAMB=45°9

?.ZAEB=/FEB=1(180°+45°)=112.5°

AD//NC,

NBAE=ZABN=45。，

/.ZABE=180°-ZAEB-ZBAE=22.5°,

4ni

—=m,.AMB是等腰直角三角形，AN為底邊上的高，則=

AN2

點(diǎn)Af在AD邊上，

???當(dāng)AD=AM時(shí)，加取得最小值，最小值為-;—=2?

AN

(3)如圖，連接網(wǎng)以,

ZBAD=30°,則ZABN=30。，

設(shè)4V=Q,貝!)AB=2a,NB=y/3AN=^3a,

折疊，

FB=AB=2a,

EF.LAD,

ZAEB=/FEB=^(180°+90°)=135°,

ZEAB=ZBAD=30°,

/.ZABE=180。—30°—135。=15。，

:.ZABF=30°f

AB=BM,ZBAD=30°,

/.ZABM=120°,

ZMBC=ZAMB=30°9

ZFBM=120。一ZABF=90°,

在RtZXFW中，F(xiàn)B=AB=BM,

FM=y[2FB=2缶，

延長FE交NC于煎G,如圖，

:.EGLGB,

ZEBG=ZABE+ZABN=150+30°=45°9

GB=EG=af

NB=4ia,

AE=EF=MD=(A/3-l)a,

在RtAEfM中，EM=yjFM2-EF2=小病-便可>=(g+1)”，

:.AD=AE+EM+MD=2AE+EM=2{j3-\^a+[43+^a={3y{3-^a,

m=----=3—1.

AN

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查了軸對稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角

和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)

用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例孽2

(2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上

的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問

題.

圖一圖二圖三

(1)如圖一，在等腰"C中，AB=AC,BC邊上有一點(diǎn)過點(diǎn)。作于E,DF1AC

于F,過點(diǎn)C作CG_LAB于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

⑵如圖二，將矩形ABCD沿著M折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)8落在丁處，點(diǎn)G為折痕

EP上一點(diǎn),過點(diǎn)G作GMJ_bC于M,GN1BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的長.

(3)如圖三，在四邊形ABCD中，E為線段BC上的一點(diǎn)，EAVAB,EDLCD,連接

ABAE

且一=—,BC=y/51,CD=3,BD=6,求5D+E4的長.

CDDE

哪甌

(l)根據(jù)題意，利用等面積法SMBC=5.8°+SMCD，根據(jù)等腰ABC中，AB=AC,即可

得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到/AFE=/CEE,結(jié)合矩形ABCD中相＞〃BC得到

ZAFE=ZFEC,從而有NCFE=NFEC,從而確定AEFC是等腰三角形，從而利用（1）中

的結(jié)論得到GM+GN=FH,結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；

ADAp

（3）延長“CD交于F,連接E尸，過點(diǎn)8作3GLFC于G,根據(jù)EA±AB,

CDDE

EDLCD,得到AABC是等腰三角形，從而由（1）^\ED+EA=BG,在用ABCG中，

BG=\/BC2-CG2=^（A/51）2-（3+%）2?在RfABDG中,BD=6,

BG7BU-DG2=招-尤2，聯(lián)立方程J（同?一（3+司2=BG=J方一無2求解得x=1,從

而得到結(jié)論.

［答案與解析】

【答案】⑴證明見解析；（2）4；⑶后

【詳解】（1）證明：連接入。，如圖所示：

在等腰ABC中，AB^AC,BC邊上有一點(diǎn)O,過點(diǎn)。作?！旯び贓,DF±AC^

F,過點(diǎn)C作CGLAB于G,

由S短c=SMBD+S"n^ABCG=^ABED+^ACFD,

DE+DF=CG；

（2）解：連接8,過點(diǎn)尸作W3C于"，如圖所示:

根據(jù)折疊可知ZAFE=ZCFE,

在矩形A3CD中，AD〃BC,則Z4FE=NFEC,

:.ZCFE=ZFEC,即AEFC是等腰三角形，

在等腰AEFC中，F(xiàn)C=EC,政邊上有一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GAILFC于M,GNLBC于N,

過點(diǎn)F作FHLBC于H,由(1)可得GM+GN=FH,

在Rt(sABE中，？890?,BE=3,AE=EC=BC—BE=8—3=5,貝!]

ABVAE-BE。=,52—32=4,

在四邊形ABHF中，ZB=ZBAF=ZFHB=90°,則四邊形為矩形，

:.FH=AB=4,BPGM+GN=FH=AB=4；

(3)解：延長B48交于F,連接昉，過點(diǎn)8作BG,RC于G,

在四邊形ABCD中，E為線段8C上的一點(diǎn)，EA±AB,EDJ_CD，則NB4E=NCDE=90。,

dABAE

又五二五'

AABEADCE,

:.ZABE=ZC,即AABC是等腰三角形，

二由⑴可得ED+E4=BG,

設(shè)GZ)=x,

/EDC=/BGC=90°,8C=后，CD=3,

在RMCG中，BG=VBC2-CG2=《而＞（3+x）2,

在RtABDG中,BD=6,BG^Bb1-DG2=心-2，

?■-J（后『_（3+X）2=BG=y/62-x2,解得x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是方程的解用符合題意，

:.BG=《6T=屈,即EO+EA=2G=A-

總結(jié)與建

本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、

勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過

程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是解決問題的關(guān)鍵.

精題

1.（2022?湖北武漢??？既＃?）如圖1,在正方形A3CO中，E是8上一動(dòng)點(diǎn)，將正

方形沿著防折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接CF,并延長C尸交AD于點(diǎn)G.求證：

ABCE金CDG；

（2）在（1）的條件下，如圖2,延長防交AD邊于點(diǎn)〃.若§=求器的值；

BC3DH

（3）如圖3,四邊形A8CD為矩形，同樣沿著BE折疊，連接CF,延長CE3廠分別交AD

于G,"兩點(diǎn)，若要=。,線=。，則段的值為___________?（直接寫出結(jié)果）

BC4CJH5EC

【分析】⑴根據(jù)AAS證明三角形全等即可；

（2）如圖2中，連接根據(jù)52+尸石2=￡歸2+￡武，求出DE即可解決問題;

⑶如圖3中，連接也由器］，需可以設(shè)—

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得CE=12相，則Z）E=CD-CE=3尤-12加，利用勾股定理

構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】⑴證明：如圖1中，

圖1

△友國是由5CE折疊得到,

s.BELCF,

:.NECF+NBEC=9W,

四邊形ABCD是正方形，

二ND=NBCE=90。,

/.ZECF+ZCGD=90°,

:.NBEC=NCGD,

在/BCE和.CDG中，

ZBCE=ZD

<ZBEC=ZCGD,

BC=CD

.△BCE與CDG(AAS)；

(2)解：如圖2中，連接

:.CE=DG,

由折疊可知BC=BF,CE=FE,

:.ZBCF=ZBFC,

.?四邊形ABC。是正方形，

:.AD〃BC,BC=CD,

:.NBCG=NHGF,

ZBFC=ZHFG,

:./HFG=NHGF,

:.HF=HG,

CE_2

BC-3,

設(shè)CE=2x,貝UBC=CD=3x,FE=CE=2%,

DE=CD—CE=x,

設(shè)HF=HG=a,

.\DH=DG-HG=2x-a,

「?由折疊可知NBFE=/BCE=90°,

:.ZEFH=90°f

：.HF2+FE2=DH2+DE2^

a?+（2x）2=（2尤—a）?+x2，

二.X=4?；?（舍棄），

/.DH=2x—a=Qa,

GH_a_1

,?加―而一〒

（3）解：如圖3中，連接“E.

設(shè)AB=CD=3x,BC=4x,DH=4m,HG=5m,

由（2）知HF=HG=57”,

/.DG—9m,

由折疊可知

:.NECF+NBEC=9W,

,ZD=90°,

/.ZECF+ZCGD=90°,

1.NBEC=NCGD,

NBCE=ND=90。,

CDGsBCE,

.DGCDAB3

,CE-BC-BC-4*

9m_3

??一，

CE4

CE=12m=FE,

/.DE=3x—12my

ZD=ZHFE=90°

HF2+FE2=DH-+DE1，

(.5m)2+(12ni)2=(4m)2+(3x—12ni)2，

x=4m+sfnm或4m-\/F7m(舍棄),

DE=3x-12m=12m+3>/F7m-12m=3>/r7m，

.DE_3屈ni_V17

"EC~12m~4'

2.(2022?福建寧德?統(tǒng)考二模)在YABCD中，點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在A。上.將四邊

形ABEF沿EF折疊，得到四邊形AB'EF.

(1)利用圖1,求證：B'C//EF-,

(2)如圖2,連接8。，若AB=5垃,BD=17,ZABD=45°,當(dāng)點(diǎn)夕落在8。上時(shí)，求EF

的長；

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)A恰好落在線段上時(shí)，求證：直線ATT與直線C￡＞重合.

85

【答案】⑴見解析；(2)旦(3)見解析

【分析】(1)利用折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線判定定理,

也可以運(yùn)用折疊的性質(zhì)，構(gòu)造三角形中位線定理證明.

(2)設(shè)EF與8。相交于點(diǎn)O.運(yùn)用勾股定理，三角函數(shù)，中位線定理求解即可.

(3)運(yùn)用經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，證明即可.

【詳解】(1)解：(1)證法一：由折疊的性質(zhì)可知：BE=BE,NBEF=ZB'EF.

是8c的中點(diǎn),

/.EC=BE=B'E.

180。-4'EC

ZEB'C=/ECB'=

2

ZB'EF=ZEB'C.

：.B'C//EF.

證法二：設(shè)EF與88'相交于點(diǎn)G.

由折疊的性質(zhì)可知：G是88'的中點(diǎn).

又：E是BC的中點(diǎn)，

是△BB'C的中位線.

，B'C//GE.

即B'C//EF.

⑵設(shè)E尸與8。相交于點(diǎn)O.由折疊的性質(zhì)可知：。是班'的中點(diǎn)，NBOE=ZB'OE=90°.

由（1）得B，C〃EF.

：.ZDB'C=ZB'OE=90°.

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

??右DC—AB=55/2,/BDC=NA3Z)=45°.

,f

BD=DCcosZBDC=5y]2x—=5fBC=DCsinZBDC=5.

2

：.B'B=BD—B'D=17—5=12.

在RtZXBH'C中，由勾股定理得3C=，班'2+笈。2=，5?+122=13

???E是3。的中點(diǎn)，。是5g的中點(diǎn)，

ABO=-BBr=6,OE=-BrC=-.

222

???OD=BD—BO=11.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//BC.

11X—

.FOOD即「cODOEllx255.

*~6E~~6Br(J=-------=--------=—

0B612

EF^OF+OE=—+-=—

12212

(3)證法一：連接AA交直線所于點(diǎn)由折疊知：AM=AM.連接BM并延長交直線

CD于點(diǎn)H.

:四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)A在C。上，

ABZ/AC.

ZABM=ZAHM,ZBAM=ZHAM.

：.^ABM知\AHM.

又是BC的中點(diǎn)，

：.EM是^BCH的中位線.

CH//EM,即CD〃EF.由(1)得B'C〃EF.

:過點(diǎn)C有且只有一條直線與EF平行，

，點(diǎn)8'在直線CD±.

直線與直線重合.

證法二：連接AE并延長交直線AB于點(diǎn)K,連接AE.

：.A'C//AB.

：.NBKE=NOTE,NKBE=ZACE.

:BE=CE,

：.Z^BKE^Z\CAE.

/?KE=AE.

由折疊知：AE=AE=KE,ZBAE=ZB'A'E.

TAKE=ZBAE=ZB'AE.

AB'//AB

:過點(diǎn)A有且只有一條直線與AB平行，

直線A0與直線AC重合.即直線與直線。重合.

3.（2022?山東淄博?統(tǒng)考二模）在RdABC中，NACB=90。，NA=60。，CD是斜邊AB

上的中線，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，將小臺(tái)0后沿。E折疊，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為E

圖1圖2

⑴如圖1,若=請直接寫出CD的長（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,若上，3C,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)尸與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)，連接CF.判斷四

邊形ADFC的形狀，并說明理由；

(3)若。尸，直接寫出NBDE的度數(shù).

【答案】(嗚

(2)菱形，理由見解析

(3)45°或135°

【分析】(1)根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得Cr>=:A8=(a；

22

(2)由題意可得。尸〃AC,=gAC由"直角三角形中含30。角所對的直角邊等于斜邊的

一半"，得AC=；A8,OF=AC據(jù)此判斷四邊形ADBC是平行四邊形，再由折疊得

DF=BD=AD,據(jù)此解答；

(3)分兩種情況討論，點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE的同側(cè)或異側(cè)，正確畫出圖形即可解答.

【詳解】(1)解：由圖1,在放AABC中，/ACB=90°,CQ是斜邊AB上的中線，鈿=“

CD=-AB=-a；

22

(2)四邊形AOFC是菱形.

理由如下：

圖1圖2

,:CD是斜邊A5上的中線，

AD=BD=^AB,由折疊的性質(zhì)可得，BD=DF,

：.AD=DF,

VZACB=90°,ZA=60°,

AZB=30°,

AC=-AB,

2

JAC=DF,

*：DFLBC,ZACB=90°,

???ZACB=NDCB=90。,

：.AC//DF,

，四邊形AD尸。是平行四邊形，又AD=DF,

nADFC是菱形.

(3)如圖3,點(diǎn)方與點(diǎn)。在直線CE的異側(cè),

DF±AB

:.NBDF=90。

由折疊得，

ZBDE=ZFDE

ZBDE=ZFDE=-ZBDF=-x90°=45°；

22

如圖4,點(diǎn)尸與點(diǎn)。在直線CE的同側(cè)，

DF±AB

?,.NBDF=90。

NBDE+NFDE=360°-90°=270°

由折疊得，

ZBDE=ZFDE

.\2ZBDE=270°

,\ZBDE=135°

綜上所述，NBDE=45°或ZBDE=135°.

4.(2022?四川樂山?統(tǒng)考一模)模型探究：如圖1,D、E、尸分別為ABC三邊BC、AB,

AC上的點(diǎn)，且NB=NC=NEDF=a.

(1)△3DE與△CFE＞相似嗎？請說明理由；

模型應(yīng)用：ABC為等邊三角形，其邊長為8,E為AB邊上一點(diǎn),尸為射線AC上一點(diǎn)，將

△AEF沿EF翻折，使A點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)。處，且BD=2.

AE

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，求等的值；

AF

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在線段的延長線上時(shí)，求△區(qū)＞￡與△CED的周長之比.

Ap5

【答案】(1)_BDE~_CFD,證明見解析；(2)—=y；(3)ABDE1與的周長

之比為g

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到=即可證明；

(2)①設(shè)=A^=y,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知OE=AE=x,DF=AF=y,

ZEDF=ZA=60,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得=即可證明ABDE~ACED,

BDBEDE_口上口一,A.E,,..

故占=:方=三K，再根據(jù)比例關(guān)系求出二方的值；

CFCDFDAF

RDRFDF28-xxx1

②同理可證ABD￡1?ACFD,得-=_rz_=_,再得到一=￡,再根

CFCDFD?丁一810yy3

據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳角畢］解(1)ABDE?ACFD,

理由：ZB=/C=/EDF=a,

在龍中，ZB+ZBDE+ZBED=180,

/.ZBDE+ZBED=ISO—28=180-a,

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

.?.NBDE+NCDF=180-ZEDF=180-a,

：.ZBED=ZCDF,

/B=/C,

BDE?一CFD；

(2)①設(shè)=AF=y,

43。是等邊三角形，

:.ZA=ZB=ZC=60,AB=BC=AC=8,

由折疊知，DE=AE=x,DF=AF=yfZEDF=ZA=60，

在ABDE中，ZB+ZBDE+ABED=180,

.?.NBDE+/BED=180-ZB=120,

./BDE+/BED=180-ZB=120,

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

ZBDE+ZCDF=\S0-ZEDF=nO,

，/BED=NCDF,

ZB=ZC=60,

:.\BDE?bCFD,

.BDBEDE

'^CF~^D~~FD'

BE=AB-AE=S-xfCF=AC-AF=S-yfCD=BC—BD=6,

2_S-x_x

8-y6y'

.2y=x(8-y)

6x=?

一廠五一亍，

.一石_5

*AF"7；

②設(shè)=AF=y,

AABC是等邊三角形，

.?.ZA=ZABC=ZAC3=60，AB=BC=AC=8,

由折疊知，DE=AE=x,DF=AF=y,ZEDF=ZA=60,

在A5DE中，ZABC+ZBDE+ABED=180,

.?.NBDE+NBED=180-ZABC=120,

ZBDE+ZEDF+ZCDF=180,

.?.NBDE+NCDF=180-ZEDF=120,

:.ZBED=ZCDFf

ZABC=ZACB=60,

:.ZDBE=ZDCF=120,

:.NBDE?ACFD,

BDBEDE

'~CF~^D~~FD

BE=AB-AE=8-x,CF=AF-AC=y-SfCD=BC-^-BD=10,

2_8-x_x

**

,J2y=x(y-8)

[10x=y(8-%)'

x_1

■'y=3,

△BDE與ACFD是相似三角形，

DEx1

ABDE與ACFD的周長之比為缶=一=彳.

DFy3

5.(2022?江蘇徐州?統(tǒng)考二模)正方形ABC。的邊長為4.

⑴將正方形ABCD對折，折痕為E尸，如圖①把這個(gè)正方形展平，再將點(diǎn)C折到折痕昉上

的點(diǎn)N的位置，折痕為求PP的長；

(2)如圖②當(dāng)AE=CF時(shí)，在點(diǎn)E由點(diǎn)A移動(dòng)到AD中點(diǎn)的過程中，求△ADG面積的取值范

圍.

【答案】⑴曝⑵8Vs△24+40

【分析】(1)連接CN.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定

定理和性質(zhì)求出NCBM,根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系即可求出PE

(2)連接AC交EF于點(diǎn)O,連接。8,OD,OG,再以。為圓心，以。4為半徑畫圓，取

AD的中點(diǎn)為K,連接K。并延長交口。于J.根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和

性質(zhì)確定G,A,B,C,。共圓，然后確定點(diǎn)G在CB上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而確定當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)C或點(diǎn)

8重合時(shí)，AADG面積取得最小值，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)J重合時(shí)，AAOG面積取得最大值，最后

根據(jù)正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，三角形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：如下圖所示，連接CN.

,正方形A2CD對折后，折痕為ER正方形ABC。的邊長為4,

/垂直平分BC,BC=4.

：.NB=NC,BF=2.

???正方形折疊后點(diǎn)C到點(diǎn)N的位置，

NB=BC,ZNBM=ZCBM=-ZNBC.

2

：.NB=NC=BC.

,△NBC是等邊三角形.

NNBC=60。.

：.ZCBM=3Q°.

PF=BFxtanNCBM=.

3

(2)解：如下圖所示，連接AC交跖于點(diǎn)O,連接。2,OD,OG,再以。為圓心，以

為半徑畫圓，取AZ)的中點(diǎn)為K,連接KO并延長交9°于J.

四邊形A8CO是正方形，

AD//BC.

ZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC.

AE=CF,

OAE^OCF(ASA).

OA=OC.

。是AC中點(diǎn).

???OA=OB=OC=OD.

???正方形A5co折疊后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,

???0G=0C.

：.B,C,D,G都在。上.

OA=OB=OC=OD=OG.

，在點(diǎn)石由點(diǎn)A移動(dòng)到AO中點(diǎn)K的過程中，點(diǎn)G在C3上移動(dòng).

???當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)?；螯c(diǎn)8重合時(shí)，△ADG的面積取得最小值.

,/正方形ABCD的邊長為4,

：.AD=CD=4fZADC=90°.

*e,SAADC=/AD-CD-8,AC=AD2+CD2=4^/2-

.?.△ADG面積的最小值是8,OA=^AC=2y/2.

OJ^OA=272.

：K是AZ）中點(diǎn)，。是AC中點(diǎn)，

；.K0是△ACD中位線.

AKO//CD,KO=-CD=2.

2

ZAKO=ZADC=90°,K。是固定值.

：.OK_LAD,即0JL4D

...當(dāng)OGLA。時(shí)，即點(diǎn)G與點(diǎn)J重合時(shí)，△ADG面積取得最大值.

KJ^KO+OJ=2+2y/2.

：

.SZ-.AnAUnJ,=-AD-KJ=4+442.

AADG面積的最大值是4+4應(yīng).

AADG面積的取值范圍是8<SR<4+472.

6.（2022?山西大同?統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐：

如圖1,已知正方形紙片A8CD.

實(shí)踐操作

第一步：如圖1,將正方形紙片ABCD沿AC,BD分別折疊.然后展平，得到折痕AC,BD.折

痕AC,BZ）相交于點(diǎn)。.

第二步：如圖2,將正方形A8C。折疊，使點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AC上，得到折痕AR

與8。相交于點(diǎn)G,然后展平，連接GE,EF.

圖1圖2