積分章節(jié)測試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[2]分，共[20]分）

1.積分學(xué)起源于哪個國家？

A.中國

B.英國

C.法國

D.德國

2.積分學(xué)中的被積函數(shù)是什么？

A.積分的上限函數(shù)

B.積分的下限函數(shù)

C.積分的自變量

D.積分的因變量

3.定積分表示什么？

A.一個區(qū)間內(nèi)某函數(shù)的總和

B.一個區(qū)間內(nèi)某函數(shù)的平均值

C.一個區(qū)間內(nèi)某函數(shù)的極值

D.一個區(qū)間內(nèi)某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4.變限積分與定限積分的區(qū)別是什么？

A.積分的上下限是否固定

B.積分的自變量是否連續(xù)

C.積分的被積函數(shù)是否相同

D.積分的計算方法不同

5.分部積分法的基本思想是什么？

A.將一個復(fù)雜的積分分解為兩個較簡單的積分

B.利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來簡化積分

C.將一個定積分轉(zhuǎn)化為一個變限積分

D.將一個變限積分轉(zhuǎn)化為一個定積分

二、填空題（每題[2]分，共[20]分）

6.積分學(xué)中的不定積分是指_________。

7.微積分基本定理中的“牛頓-萊布尼茨公式”表示為_________。

8.變限積分的上限函數(shù)稱為_________。

9.分部積分法中的積分公式為_________。

10.定積分的計算方法主要有_________、_________和_________。

三、判斷題（每題[2]分，共[20]分）

11.積分學(xué)中的定積分與定積分相等。（）

12.分部積分法可以用來計算所有的積分問題。（）

13.變限積分的上下限可以取任意值。（）

14.微積分基本定理中的“牛頓-萊布尼茨公式”可以用來計算所有的變限積分。（）

15.積分學(xué)中的積分區(qū)間可以是任意的區(qū)間。（）

16.分部積分法中的積分公式可以適用于所有的被積函數(shù)。（）

17.定積分的計算方法主要有直接積分法、換元積分法和分部積分法。（）

18.變限積分的上限函數(shù)必須是連續(xù)的。（）

19.積分學(xué)中的不定積分是原函數(shù)的全體。（）

20.微積分基本定理中的“牛頓-萊布尼茨公式”是積分學(xué)中的基本公式。（）

四、計算題（每題[6]分，共[30]分）

21.計算定積分$\int_0^1x^2dx$。

22.計算變限積分$\int_1^xt^2dt$，其中$x$是自變量。

23.計算分部積分$\intxe^xdx$。

24.計算定積分$\int_{-1}^1(x^2-2x+1)dx$。

25.計算變限積分$\int_0^{\pi/2}\sin^2tdt$。

五、應(yīng)用題（每題[10]分，共[50]分）

26.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4$，求$f'(x)$。

27.某商品的價格函數(shù)為$p(x)=10-0.2x$，其中$x$是銷售量，求銷售量從100增加到150時，總收益的變化量。

28.已知物體的位移函數(shù)$s(t)=t^2-4t+4$，其中$t$是時間（秒），求物體在第2秒到第4秒內(nèi)的平均速度。

29.某工廠的日產(chǎn)量函數(shù)為$Q(x)=100x-0.01x^2$，其中$x$是生產(chǎn)天數(shù)，求前10天的總產(chǎn)量。

30.某公司每年的廣告費用函數(shù)為$A(x)=2000+100x$，其中$x$是廣告費用（萬元），求該公司在廣告費用為500萬元時的年利潤。

六、論述題（每題[15]分，共[30]分）

31.論述微積分基本定理的意義及其在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用。

32.論述分部積分法的原理及其在實際問題中的應(yīng)用。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.A（積分學(xué)起源于中國，是中國古代數(shù)學(xué)的重要組成部分。）

2.A（被積函數(shù)是積分學(xué)中的核心概念，指的是積分運算中的函數(shù)。）

3.A（定積分表示一個區(qū)間內(nèi)某函數(shù)的總和，是積分學(xué)的基本概念。）

4.A（定限積分與變限積分的區(qū)別在于積分的上下限是否固定。）

5.A（分部積分法的基本思想是將一個復(fù)雜的積分分解為兩個較簡單的積分。）

二、填空題答案及解析思路：

6.積分學(xué)中的不定積分是指原函數(shù)的全體。

7.微積分基本定理中的“牛頓-萊布尼茨公式”表示為$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一個原函數(shù)。

8.變限積分的上限函數(shù)稱為上限函數(shù)。

9.分部積分法中的積分公式為$\intu\,dv=uv-\intv\,du$。

10.定積分的計算方法主要有直接積分法、換元積分法和分部積分法。

三、判斷題答案及解析思路：

11.×（定積分與定積分相等是指兩個相同的定積分的值相等。）

12.×（分部積分法不能用來計算所有的積分問題，有些積分無法通過分部積分法求解。）

13.×（變限積分的上下限可以取任意值，但通常取為實數(shù)。）

14.×（微積分基本定理中的“牛頓-萊布尼茨公式”不能用來計算所有的變限積分，只適用于連續(xù)函數(shù)。）

15.√（積分學(xué)中的積分區(qū)間可以是任意的區(qū)間。）

16.×（分部積分法中的積分公式不能適用于所有的被積函數(shù)，有些函數(shù)不適合使用分部積分法。）

17.√（定積分的計算方法主要有直接積分法、換元積分法和分部積分法。）

18.√（變限積分的上限函數(shù)必須是連續(xù)的。）

19.√（積分學(xué)中的不定積分是原函數(shù)的全體。）

20.√（微積分基本定理中的“牛頓-萊布尼茨公式”是積分學(xué)中的基本公式。）

四、計算題答案及解析思路：

21.$\int_0^1x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$。

22.$\int_1^xt^2dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_1^x=\frac{x^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{x^3-1}{3}$。

23.$\intxe^xdx=\left[xe^x-\inte^xdx\right]=xe^x-e^x+C$。

24.$\int_{-1}^1(x^2-2x+1)dx=\left[\frac{x^3}{3}-x^2+x\right]_{-1}^1=\left(\frac{1^3}{3}-1^2+1\right)-\left(\frac{(-1)^3}{3}-(-1)^2+(-1)\right)=\frac{4}{3}$。

25.$\int_0^{\pi/2}\sin^2tdt=\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}\right]_0^{\pi/2}=\left(\frac{\pi/2}{2}-\frac{\sin(\pi)}{4}\right)-\left(\frac{0}{2}-\frac{\sin(0)}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$。

五、應(yīng)用題答案及解析思路：

26.$f'(x)=6x^2-6x$。

27.總收益的變化量=$p(150)\cdot150-p(100)\cdot100=(10-0.2\cdot150)\cdot150-(10-0.2\cdot100)\cdot100=500$。

28.平均速度=$\frac{s(4)-s(2)}{4-2}=\frac{(4^2-4\cdot4+4)-(2^2-4\cdot2+4)}{4-2}=2$。

29.總產(chǎn)量=$Q(10)=100\cdot10-0.01\cdot10^2=990$。

30.年利潤=$A(x)-x=(2000+100x)-x=2000+99x$。

六、論述題答案及解析思路：

31.微積分基本定理的意義