3.1.2成比例線段做一做

如圖，在方格紙上（設(shè)小方格邊長(zhǎng)為單位1）△ABC

和△，它們的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.試求出線段AB，BC，AC，，，的長(zhǎng)度，并計(jì)算AB與，BC與，AC與的長(zhǎng)度的比值.

一般地，如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB，的長(zhǎng)度分別為m，n

，那么把它們的長(zhǎng)度的比叫作這兩條線段AB與的比，記作，或.

如果的比值為k，那么上述式子也可寫成

或．在上圖中，對(duì)于△ABC

和△，有

.１、設(shè)線段ＡＢ＝２cm，ＡＣ＝４cm,兩條線段的長(zhǎng)度比是記作:2、設(shè)線段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m,兩條線段的長(zhǎng)度比是200：４＝200：４00＝兩條線段單位要統(tǒng)一兩條線段的長(zhǎng)度比叫做這兩條線段的比２：４＝

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，簡(jiǎn)稱為比例線段.

類似地，如果，那么稱線段AB，BC，AC

與線段，，

對(duì)應(yīng)成比例.

例如，已知四條線段a，b，c，d，若，則a，b，c，d是比例線段.如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相等的線段即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a和c的比例中項(xiàng).舉例例

已知四條線段a，b，c，d的長(zhǎng)度分別為0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，問(wèn)a，b，c，d是比例線段嗎？

即a，b，c，d是比例線段.∴∵解1.已知線段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪個(gè)選項(xiàng)是正確的？()A.d,b,a,c成比例線段B.a,d,b,c成比例線段C.a,c,b,d成比例線段D.a,d,c,b成比例線段2.下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（）A.2cm,3cm,4cm,1cmB.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cmC.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cmD.1cm,2cm,2cm,4cmCD課堂練習(xí)4.已知線段a=3,b=12,而線段c是線段a,b的比例中項(xiàng),則c=3.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=665.指出下列比例線段中的內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng).PAPCPBPD=SBEFEFSC=（3）中SB和SC是：，EF是SB和SC的：PB和PCPA和PDCD和EFAB和MN比例外項(xiàng)（2）AB：CD=EF：MN內(nèi)項(xiàng)為：,外項(xiàng)為：（1）內(nèi)項(xiàng)為：

，外項(xiàng)為：比例中項(xiàng)6.

已知線段a=10mm,b=6cm,c=2cm,d=3cm.

問(wèn)：這四條線段是否成比例？為什么?答：這四條線段成比例.∵a=10mm=1cm即線段a、c、d、b成比例.例2.已知A.B兩地相距40km，問(wèn)在比例尺為1:5000000的地圖上,A.B兩地相距多少厘米？答：A.B兩地的圖上距離是8cm.解：設(shè)A.B兩地的圖上距離為A`B`

則：

即

所以A`B`==8cmABA`B`15000000A`B`4×107150000004×1075×106==挑戰(zhàn)例3.在相同時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成比例.如果一古塔在地面上的影長(zhǎng)為50m，同時(shí)，高為1.5m的測(cè)竿的影長(zhǎng)為2.5m，那么古塔的高是多少？x米50米古塔影長(zhǎng)測(cè)竿1.5米測(cè)竿影長(zhǎng)2.5米解：設(shè)古塔的高為xm，根據(jù)題意得∴2.5x=1.5×50∴x=30(m)答：古塔的高為30m.

古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克塞斯(Eudoxus，約公元前400—前347)提出一個(gè)問(wèn)題：能否將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長(zhǎng)線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比？即，使得如果這能做到的話，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)線段AC與

原線段AB的比叫作黃金分割比.

成立？①黃金分割點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫黃金分割比.CAB（或BC:AC）如果一個(gè)矩形的寬與長(zhǎng)的比值正好是黃金比(0.618),人們稱它為“黃金矩形”,黃金矩形曾一度統(tǒng)治著西方世界的建筑美學(xué),巴黎圣母院是它的一個(gè)杰出代表作,它的整個(gè)結(jié)構(gòu)就是按照黃金矩形建造的.運(yùn)用一元二次方程的知識(shí)，可以求出黃金分割比的數(shù)值.ACB②

如上圖，設(shè)線段AB的長(zhǎng)度為1個(gè)單位，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且AC的長(zhǎng)度為x

個(gè)單位，則CB的長(zhǎng)度為(1-x)個(gè)單位.根據(jù)①式，列出方程：ACB②由于x≠0

，因此方程②兩邊同乘x，得

即(舍去).解得因此，.

事實(shí)上，我們一定可以把一條線段黃金分割，黃金分割比為，它約等于ACB（1）如上圖,若線段AB=6,C為線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC＞BC),則AC=走進(jìn)黃金屋線段AB上只有一個(gè)黃金分割點(diǎn)C嗎?ACBD答:一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn),它們關(guān)于線段的中點(diǎn)對(duì)稱,因此,它還有一個(gè)黃金分割點(diǎn)D.

視覺(jué)生理學(xué)的研究成果表明，符合黃金分割的比例形式很容易使人產(chǎn)生視覺(jué)上的美感．許多世界著名古建筑物中都包含有“黃金分割比”，例如古希臘的巴臺(tái)農(nóng)神廟、印度泰姬陵、法國(guó)巴黎圣母院這些著名建筑的正面高度與底部寬度之比均約為黃金分割比.巴臺(tái)農(nóng)神廟泰姬陵

在現(xiàn)代，許多建筑的設(shè)計(jì)中也采用了黃金分割，

例如，上海的東方明珠廣播電視塔的上球體就處于整個(gè)塔身高度的黃金分割處.

神奇的“黃金分割比”也出現(xiàn)在許多著名藝術(shù)作品中，如在意大利著名畫(huà)家達(dá)·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，人物的臉的寬度與高度的比就是一個(gè)黃金分割比．蒙娜麗莎黃金分割

與生活賞心悅目的攝影作品,都凝聚著設(shè)計(jì)師對(duì)黃金分割的運(yùn)用,中央電視臺(tái)的主持人均處在屏幕的黃金分割點(diǎn)位置.·舞臺(tái)上的報(bào)幕員一般站在舞臺(tái)的什么位置?黃金趣題1.請(qǐng)問(wèn)大熱天開(kāi)空調(diào)應(yīng)調(diào)在什么溫度最佳？2.人體下半身(即腳底到肚臍的長(zhǎng)度)與身高的比越接近0.618越給人以美感,遺憾的是即使是身材修長(zhǎng)的芭蕾舞演員也達(dá)不到如此完美.某女士身高1.68米,下半身1.02米,她應(yīng)選擇多高的高跟鞋看起來(lái)更美麗?答:人體正常體溫的平均值為36.5℃,因此36.5×0.618=22.557所以,大熱天開(kāi)空調(diào)應(yīng)定在22℃～23℃較為適宜.解:設(shè)她應(yīng)選擇高跟鞋的高為x米,由題意得,解這個(gè)方程得,x≈0.048經(jīng)檢驗(yàn),x≈0.048符合題意答她應(yīng)選擇大約4.8厘米的高跟鞋看起來(lái)更美麗.練習(xí)1.已知a，b，c，d是成比例線段．（1）若a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求d；（2）若a=12cm，c=3cm，d=15cm，求b；（3）若a=5cm，b=

4cm，d=8cm，求c．（1）

若a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求d；解∵a，b，c，d是成比例線段，∴，即∴．（2）若a=12cm，c=3cm，d=15cm，求b；∴．解∵a，b，c，d是成比例線段，∴