24.6正多邊形與圓第24章圓第2課時正多邊形的性質(zhì)問題1什么是正多邊形？

問題2如何作出正多邊形？

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

將一個圓

n等分，就可以作出這個圓的內(nèi)接或外切正

n邊形.復(fù)習(xí)引入正多邊形的性質(zhì)OABCD

問題1以正方形為例，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，你能得出什么結(jié)論？EFGH∵EF是邊

AB、CD的垂直平分線，∴

OA=OB，OD=OC.同理，OA=OD，OB

=

OC.∴OA

=

OB

=

OC

=

OD.∴正方形

ABCD有一個以點

O為圓心的外接圓.觀察與思考OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分線，BD是∠ABC和∠ADC的平分線，∴

OE=OH

=OF

=OG.∴

正方形

ABCD還有一個以點

O為圓心的內(nèi)切圓.

所有的正多邊形是不是都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓？任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓.想一想：OABCDEFGHRr正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.知識要點正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.每個中心角都等于

.正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多邊形的外角=中心角完成下面的表格：練一練如圖，已知半徑為

4的圓內(nèi)接正六邊形

ABCDEF：①

它的中心角等于

度；②

OC

BC(填＞、＜或＝）；③

△OBC是

三角形；

④

圓內(nèi)接正六邊形的面積是

△OBC面積

的

倍.⑤

圓內(nèi)接正

n邊形面積公式：___________________.CDOBEFAP60=等邊6正多邊形的有關(guān)計算探究歸納S正多邊形

=例1

有一個亭子,它的地基是半徑為

4

m的正六邊形，求地基的面積(精確到

0.1m2).抽象成典例精析CDOEFAPB利用勾股定理，可得邊心距則亭子地基的面積4mOABCDEFMr解：過點

O作

OM⊥BC于

M.易得

△OBC為正三角形.∴BC=OB=

4，例2求邊長為

a的正六邊形的周長和面積.解：如圖，過正六邊形

ABCDEF的中心

O作

OG⊥BC，垂足為

G，連接

OB，OC，設(shè)該正六邊形的周長和面積分別為

l和

S.FABCDEOG在正六邊形

ABCDEF中，∠BOC=60°，OB=OC，∴△BOC是等邊三角形.則

l=6BC=6a.在△BOC中，∴(1)正

n邊形的中心角怎么計算？CDOBEFAP(2)正

n邊形的邊長

a，半徑

R，邊心距

r之間有什么關(guān)系？aRr(3)邊長為

a，邊心距為

r的正

n邊形的面積是多少？其中

l為正

n邊形的周長.想一想：

如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠ADE的度數(shù)是（）A．60°B．45°C．36°

D．30°·ABCDEO練一練C2.作邊心距，構(gòu)造直角三角形.1.連半徑，得中心角；OABCDEFRMr·圓內(nèi)接正多邊形中常見的輔助線作法方法歸納O邊心距

r邊長一半半徑

RBM中心角的一半畫一畫：畫出下列各正多邊形的對稱軸，看看能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

正

n邊形都是軸對稱圖形，都有

n條對稱軸，且這些對稱軸都通過正多邊形的中心.如果

n為偶數(shù)，那么它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.要點歸納例3

如圖，AG

是正八邊形

ABCDEFGH

的一條對角線.(1)在剩余的頂點

B、C、D、E、F、H

中，連接兩個頂

點，使連接的線段與

AG

平行，并說明理由；解：連接

BF，CE，則

BF∥AG，CE∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH

是正八邊形，∴

它的內(nèi)角都為

135°．又∵

HA

=

HG，∴∠HAG

=

22.5°.∴∠GAB=

135°

-∠HAG

=

112.5°.∵正八邊形

ABCDEFGH

關(guān)于直線

BF

對稱，即∠BAG+∠ABF

=

180°，故

BF∥AG．同理，可得

CE∥BF，∴CE∥AG.(2)兩邊延長

AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點

P、Q、M、N，若AB

=

2，求四邊形

PQMN

的面積．PNMQ解：由題意可知∠PHA

=∠PAH

=

45°，∴∠P

=

90°.同理可得∠Q

=∠M

=

90°，∴

四邊形

PQMN

是矩形．∵∠PHA

=∠PAH

=∠QBC

=∠QCB

=∠MDE

=∠MED

=

45°，AH

=

BC

=

DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE．∴

PA

=

QB

=

QC

=

MD．∴PQ

=

QM．故四邊形

PQMN

是正方形．PNMQ在

Rt△PAH

中，∵∠PAH

=

45°，AB

=

2，故

S四邊形PQMN

=PNMQ2.若正多邊形的邊心距與半徑的比為1∶2，則這個正多邊形的邊數(shù)是

.正多邊形邊數(shù)半徑邊長邊心距周長面積34161.

填表：21284221234.要用圓形鐵片截出邊長為

4cm的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小為

cm.也就是要找這個正方形外接圓的直徑3.如圖是一枚奧運會紀(jì)念幣的圖案，其形狀可近似看作是正七邊形，則一個內(nèi)角為

度.（不取近似值）

5.如圖，四邊形

ABCD

是

⊙O

的內(nèi)接正方形，若正方形的面積等于

4，求

⊙O

的面積．解：∵

正方形的面積等于

4，則半徑為∴

⊙O

的面積為∴

正方形的邊長

AB

=

2.ABCDEFP6.如圖，正六邊形

ABCDEF

的邊長為，點

P

為六邊形內(nèi)任一點，則點

P

到各邊的距離之和是多少？解：過

P

作

AB

的垂線，分別交

AB、DE于

H、K，連接

BD，作

CG⊥BD

于

G.GHK∴P

到

AF

與

CD

的距離之和，及

P

到

EF、BC

的距離之和，均為

HK

的長.∵

六邊形

ABCDEF

是正六邊形，∴

AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF.GABCDEFP∴點P到各邊的距離之和為3BD=3×6=18.GHK∵BC

=

CD，∠BCD

=∠ABC

=∠CDE

=

120°，∴∠CBD

=∠BDC

=

30°，BD∥HK，且

BD

=

HK.∵CG⊥BD，∴BD

=

2BG

=

2BC·cos∠CBD

=6.G拓廣探索7.如圖,M,N分別是☉O內(nèi)接正多邊形的邊AB,BC上的點,且BM=CN.(1)圖①中∠MON=______°，圖②中∠MON=