實(shí)戰(zhàn)演練05導(dǎo)數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的妙用

①構(gòu)造函數(shù)比較大小

②構(gòu)造函數(shù)解不等式

③構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)

④構(gòu)造函數(shù)證明不等式-

必備知識(shí)速記

一、同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)或者利用作差或作商法構(gòu)造函數(shù)

1.同構(gòu)是構(gòu)造函數(shù)的一種常用方法.常利用X=Ine\xeR),x=elnX%>0)將要比較的三個(gè)數(shù)化為結(jié)構(gòu)相同

的式子，再將其看作同一個(gè)函數(shù)的三個(gè)值，用常值換元構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.對(duì)于同時(shí)含有指數(shù)、對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)變量的等式，或者含兩個(gè)變量，且結(jié)構(gòu)相似的等式，比較相關(guān)的兩個(gè)變量

間的大小問(wèn)題時(shí)，思考的邏輯路徑為先分離變量，再將等式通過(guò)合理變形，放縮成結(jié)構(gòu)相同的不等式，然后利用

同構(gòu)函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為比較某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值f(g(x))與f(h(x))的大小，最后利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為

比較自變量g(x)與h(x)的大小，實(shí)現(xiàn)將超越函數(shù)普通化的目的，達(dá)到事半功倍的效果。

3.常見的構(gòu)造函數(shù)有

U)與e'和Inx相關(guān)的常見同構(gòu)模型

①ae"W61nboe"lne"bln6,構(gòu)造函數(shù)/⑺=xlnx或g(x)=xe"；

②苴構(gòu)造函數(shù)〃x)=弓-或g(無(wú))=土；

a\nbIne\nbInxx

③e"±a>b±ln6=e"±lne">6土ln6,構(gòu)造函數(shù)/("=x±lnx或g(x)=e，土x.

二、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來(lái)求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)脫掉，得到具體的不等式

(組)，但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

三、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧

求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形

模型1.對(duì)于/'(X)>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x)

模型2.對(duì)于不等式/'(x)〉左(左W0),構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-丘+江

模型3.對(duì)于不等式/'(x)+/(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對(duì)于不等式/'(x)+4f(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)8卜)=//(；0

模型4.對(duì)于不等式/,(x)-/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=」學(xué)

e

模型5.對(duì)于不等式;/(》)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=3(x)

拓展：對(duì)于不等式；vf'(x)+h'(》)〉0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"(x)

模型6.對(duì)于不等式V"(x)-/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=應(yīng)(x中0)

X

拓展：對(duì)于不等式可"'(x)-裾'(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=Z^

X

f(x)

模型7.對(duì)于三士〉0,分類討論：(1)若/(x)〉0,則構(gòu)造〃(x)=ln/(x);

/(x)

(2)若/(x)<0,則構(gòu)造〃(x)=ln[—/(x)]

模型8.對(duì)于/'(x)+Inaf(x)>0(<0),構(gòu)造h(x)=axf(x).

模型9.對(duì)于/'(x)Inx+幺^>0(<0),構(gòu)造/z(x)=/(x)lnx.

X

模型10.(1)對(duì)于f\x)>/(x)tan%(如'(％)</(x)tanx),即f\x)cosx-/(x)sinx>0(<0),

構(gòu)造h(x)=/(x)cosx.

(2)對(duì)于/'(%)cos%+/(%)sinx〉0(<0),構(gòu)造h(x)=)(").

cosx

模型11.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[f(x)sinx\(2)/⑴s'n“⑴

sinxsinx

名校模擬探源

I①構(gòu)造函數(shù)比較天不

一、單選題

1.(23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí))若。=里，6，。="則()

3e2

A.c<b<aB.b<c<a

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】C

【分析】結(jié)合a,6,c的特征，構(gòu)造函數(shù)/(元)=叱，利用其單調(diào)性即可比較大小.

X

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(尤)=史，xe(0,+8),則廣(好=匕”，

XX

令_f(x)>0解得0<x<e；令/'(x)<0,解得x>e；

可得了(X)在(O,e)上單調(diào)遞增，在[e,+8)上單調(diào)遞減，

In2In4.1Ine

?/c=——=——,b=-=——,且ne<3<4,

24ee

.-./(e)>/(3)>/(4),即0="<半=°<g=6,就是c<a<6.

43e

故選：C.

2.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知〃=ln,,b=],c=e-2,則。也c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】利用當(dāng)x>0時(shí)，lnx4x-l判斷。>6,通過(guò)函數(shù)>在是減函數(shù)判斷6>c.

X

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)/(x)=lnx-x+l,則=

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0,/⑴單調(diào)遞增，當(dāng)x>l時(shí)，r(x)<0,單調(diào)遞減，

所以/(x)W/(l)=0,

也就是說(shuō)當(dāng)x>0時(shí)，lux<x-1,

用工代替X,可得111工《工-1,即山士1-,，

XXXX

321

所以—即a>6.

又知:■二e一之，所以6〉c,所以

故選：A

3.(23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí))設(shè)a=!,b=畢，0=^+%設(shè)°,b,c的大小關(guān)系為()

e3

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后比較.

【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)小)=5，則小)=宏,

當(dāng)X>1時(shí)，r(X)<0,函數(shù)〃X)=/在［1,+8)上為減函數(shù),

m?=-=/(l),6=孚=塔=>(ln3),c=e-2+h2=4=/(2),又l<ln3<2,

e3ee

所以/⑴>/(山3)>〃2),即

故選:A

120237?12024,12025

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知6z=ln--------F,b=In------+-------c=In--------1-----則---a，

202420242025202520262026

b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx+l-x,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明它在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增即可得解.

11—Y

【詳解】構(gòu)造函數(shù)〃x)=lnx+l-x,r(x)=--l=^,

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以/―1—〕>――1—1"一M，a>b>c.

(2024)(2025)(2026)

故選：A.

971

97

5.(2024?陜西安康,模擬預(yù)測(cè))已知Q=—,b=cos—,c=e,貝！J()

987

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=cosx-，。，和g(x)=ef+l),(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)

性，即可求解.

【詳解】令〃x)=cosx-]l-m，xe(o,:，則/(x)=x-siiw,

令夕(x)=x-sinx,xe(0,3，則”(x)=1-cosx>0,0(x)即尸(x)單調(diào)遞增，所以/'(x)>/⑼=0,故/(x)

為增函數(shù)，所以/佶]>〃0)=0,可得cos(>襄，故”6.

\'J79o

令g(x)=e，-(x+l),(x>0),貝！|g<x)=e-l>0,故g(x)為增函數(shù)，所以>g(0)=0,即

±02_±Q7

e97——>0.所以e97V一，故c<a,所以c<a<b

9798

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟

(1)作差或變形；

⑵構(gòu)造新的函數(shù)〃(工)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究”x)的單調(diào)性或最值；

(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

高三上?江蘇南京?階段練習(xí))已知20242023貝！。，的大小

6.(23-24a=20232°23,B=2Q23,c=2O24,1b,c

關(guān)系為()

A.b>a>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】通過(guò)指數(shù)函數(shù)、募函數(shù)的單調(diào)性得。<6,a<c,再構(gòu)造函數(shù)以外=小，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即

x

可得6>c.

【詳解】由題意，令/(x)=2023，,則洋x)=2023，在R上單調(diào)遞增,

所以a<6,

令g(x)=*3,則8⑶=x2023在(0,+功上單調(diào)遞增，

所以a<c,

In2023

ln6=20241n2023

U73Inc2023In2024In2024'

2024

人，/、Inx,,,、1-lnx

令/z(x)=-----,貝！]〃(x)=-j—,

XX

令〃(x)>0,貝!]0<x<e,以x)單調(diào)遞增；

令"(x)<0,則x>e,〃(x)單調(diào)遞減；

所以B常>1然j‘則2024In2023>2023In2024=In2O232024>In2O242023,

故6=2O232024>c=20242期,

綜上所述，即6>c>a.

故選：C.

i11i1

7.(2024?安徽蕪湖?三模)設(shè)Q=—,b=ln—,c=—?e11,則()

101011

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】先構(gòu)造函數(shù)/(x)=e、7-1,利用導(dǎo)數(shù)證明訓(xùn)>(+1,貝!)

c==yx1+1,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+l)_21W+lJ(xe(O,l)),利用

To+1lio+1J

導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即可比較6,c,構(gòu)造函數(shù)〃(》)=戶-xe，(O<x<l),利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即

可比較出。，即可得解.

【詳解】令〃x)=e-x7,則/''(x)=e-l,

令/'(x)>0,則x>0,

所以函數(shù)在(0,+功上單調(diào)遞增,

所以出>/(/0)\=0,即川—>。1+1,

1'1、

1-1乎-+1

所以c=H?i>lx1+110?

1111

—+1—+1

10110

而6=lnU=lnp\-+l],

10U100)

令g(x)=ln(x+l)-

2

則"占一1XX-X

—+1

x+l)2x+\X+1)3(川廣

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,

所以函數(shù)g(x)在(0』)上單調(diào)遞減,

所以g1<g(O)=O,

1f1、

再+1>in+

即U4所以c>b,

—+1—+1

110

107

1

1

Q=--11

10

Y

令/z(x)=-----xex(0<x<1),

1-x

32x

則”(x)=711-x-x-x)e

7V-(x+l)ex=—

(I)(if

令=x3-x2-x(0<x<l),貝1]=3x2-2x-1=(3x+l)(x—l),

當(dāng)Ovxvl時(shí)，"'(x)<0,

所以函數(shù)e(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以。(x)<0(0)=0,

l-(x3-x2—x)e'

即當(dāng)0<x<l時(shí)，=一^^>0,

(I)

所以函數(shù)”(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以八5卜〃(°)=°，

1

1

即」r>!七五，所以0>C,

1-—11

11

綜上所述，b<c<a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:構(gòu)造g(x)=ln(x+l)-/1T+l](xe(°』))和4%)=--無(wú)以0<

7<1)兩個(gè)函數(shù),

X+l'X+1y1—X

是解決本題的關(guān)鍵.

8.(2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè))設(shè)。=?°1,6=51110.1+850.1,0=2.2-5山0.1-850.1,則(

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特征可通過(guò)12cosx和x>sinx比較c和b的大小，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)

g(x)=e，+siiu+cosx_2x_2(x>0),研究函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷a和c,進(jìn)而得解.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(X)=XTilU(X>0),又1之COSX,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/f(x)=1-COSX>0,

所以/⑺在區(qū)間(0,+。)內(nèi)單調(diào)遞增，又/(O)=O-sinO=O,

所以當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0恒成立，即x>sinx,

所以當(dāng)x>0時(shí)，x+1>sinx+cosx,即2x+2>2sinx+2cosx,

所以2x0.1+2〉2sin0.1+2cos0.1,

所以2.2-5也0.1-?050.1>51110.1+(；050.1.BPc>Z?；

設(shè)g(x)=e"+sinx+cosx-2x-2(x>0),

而g(0)=。,g'(%)=e"+cosx-sinx-2,

設(shè)=g'(x)=ex+cosx-sinx-2,則"(x)=ex-sinx-cosx>ex-x-1=m(x),

當(dāng)x>0時(shí)，加'(x)=加(x)單調(diào)遞增，所以加(x)〉加(0)=0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，A,(x)=er-sinx-cosx>0,即當(dāng)x〉0時(shí)g'(x)單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(O)=O,故當(dāng)％>0時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)〉g⑼=0,

即e"+sinx+cosx-2x-2>0,所以e01+sinO.l+cosO.1-2x0.l-2>0,

即e01>2,2-sinO.l-cosO.l,即Q>c.

綜上，a>c>b,

故選:B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：比較具有共性的復(fù)雜的數(shù)的大小，通常根據(jù)數(shù)據(jù)共性聯(lián)系構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)單

調(diào)性得函數(shù)的正負(fù)情況，從而比較得出數(shù)的大小關(guān)系.

I②構(gòu)造函數(shù)解不等式

一、單選題

1.(23-24高三上?江蘇揚(yáng)州?期末)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/''(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有/(x)-/'(x)>0,

且〃1)=1，則/3>尸的解集為()

A.(-co,l)B.(1,+動(dòng)C.(-1,1)D.(-co,-l)u(l,+oo)

【答案】A

【分析】構(gòu)造g(無(wú))=9并判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式求解集.

ex

【詳解】由〃x)>e，T,可得3>」=幽，

eee

令g(x)="，結(jié)合“X)-7''(x)>。，則gG)=/'(x)：〃x)<0,

ee

所以g(x)在R上遞減，故g(x)>g(l)nx<l,

則原不等式解集為(-吟1).

故選：A

2.(2024?湖南邵陽(yáng)?二模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽J'(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù).若〃l)=e,且

r(x)+e，<〃x)在R上恒成立，則不等式〃x)<(2-x)e”的解集為()

A.B.(2,+co)

C.(-oo,l)D.(1,+?)

【答案】D

【分析】設(shè)g(x)=§+x,利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)在R上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為g(x)<g(l),即可求解.

【詳解】設(shè)函數(shù)g(x)=42+x,可得g，(x)=1⑺』,⑺,e''.⑺一<⑺+e*<0,

eee

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

由f(x)<(2r)e',可得〃x)+xe'<2e)即小)+尤<2=犯+1,

exe

可得g(x)<g⑴,所以X>1,即不等式f(x)<(2-x)e，的解集為(1,+式).

故選：D.

3.(2024?吉林?二模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-叫0),其導(dǎo)函數(shù)/'(x)滿足#'(無(wú))-2/(x)>0,則不等

式〃x+2024)-(x+2024)2〃T)<0的解集為()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,0)

C.(-8,-2024)D.(-oo,-2025)

【答案】A

f(\/、，、/(x+2024)/(-I)

【分析】令g(x)=「x，求導(dǎo)可得g(x)在(-8,。)上單調(diào)遞減，由已知可得(1+2024)2'可得

g(x+2024)<g(-l),可得不等式的解集.

【詳解】由題意知，當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，/(x)-2〃x)>0,

令g(x)=W，則6⑴=x?r(”2#(x)=")：2/(x)<0,

所以g(x)在(-。,0)上單調(diào)遞減，

/(x+2024)/(-1)

不等式/(X+2024)-(X+2024)7(-1)<。等價(jià)于/<7V，

(x+2024)(T)

/\/\fx+2024>—1

即為g(x+2024)<g(-1),所以，解得-2025<x<-2024.

IX+2U24<U

故選：A.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(1)=0,且當(dāng)x>。時(shí)，xf\x)>f(x),

則使得〃x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-℃,-1)B.(1,+8)

C.(-1,0)。(1，+⑹D.(-8,-1)50」)

【答案】C

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=△到，對(duì)g(x)求導(dǎo)并判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性與奇偶性，分x>0與x<0兩種情況求出不等

式的解集，綜合即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)g(x)=/?,

則其導(dǎo)數(shù)g'(x)=M'a)："x),

X

又由當(dāng)x>0時(shí)，琰(x)>/(x),則有g(shù)，(x)=/(x)；/(x)>0,

X

即當(dāng)X>。時(shí)，函數(shù)g(x)為增函數(shù)，

又由g(f)==△2=g(X),則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

-XX

由當(dāng)x>。時(shí)，函數(shù)g(x)為增函數(shù)，則x<0時(shí)，函數(shù)g(x)是減函數(shù)，

因?yàn)?1)=0,所以名⑴=半=0=g(T),

故尤>0時(shí)，由/(乃>0,得：dx)>J1),解得：x>l,

x<0時(shí)，由f(x)>0,得：g(x)<g(-l),解得：-l<x<0,則

>0成立的x的取值范圍是：(-1,0)口(1,+◎.

故選：C.

5.(2024?山東聊城?三模)設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)數(shù)為了'(X),若當(dāng)x20時(shí)，/'(x)>2x-l,且對(duì)

于任意的實(shí)數(shù)x,〃-x)=〃x)+2x,則不等式〃2X一1)一〃》)<3/-5了+2的解集為()

A.(-?,1)B.C.D.(一

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)="X)--+x,根據(jù)題意,可證g(x)為R上的偶函數(shù)，且g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，在(-。,0)

上單調(diào)遞減，又由〃2X_1)_〃X)<3/_5X+2轉(zhuǎn)化為〃2X_1)_(2X_1)2+(2X_1)</(X)-X2+X,即

g(2x-l)<g(x),即可得解.

【詳解】因?yàn)椤╢)=〃x)+2x,

設(shè)g(x)=/(x)_x2+X,

貝！Ig(-x)=/(-x)-f-x=/(x)+2x---x=g(x),

即g(x)為R上的偶函數(shù)，

又當(dāng)xNO時(shí)，r(x)>2x-l,

貝!lg'(x)=/'(x)-2x+l>0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?lt;3x2-5x+2,

所以/(2x—l)-(2x—1)2+(2x-l)</(x)-x2+x,

即g(2x-l)<g(x),所以BP(2X-1)2<X2,

解得

故選:B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=/(x)f2+x,研究函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，從而求解不式.

二、填空題

6.(23-24高三上?山東荷澤?階段練習(xí))若定義在R上的函數(shù)〃尤)滿足/''(x)+2/(x)>0,且/⑼=1,則

不等式/(x)>±的解集為

【答案】(0，+動(dòng)

【分析】構(gòu)造尸(x)=〃x)d、，利用導(dǎo)數(shù)得尸(x)在R上單調(diào)遞增，把轉(zhuǎn)化為尸(x)>P(0),利

用單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】構(gòu)造尸3=〃》)卷',

所以尸(x)=/(x)?e?x+/(力2e?x=e?"[_f(x)+2〃尤)>o]>0,

所以尸(x)在R上單調(diào)遞增，且尸(0)=〃0"°=1,

不等式〃x)>*可化為/(x)e2jl,即/(x)>尸(0),所以x>0,

所以原不等式的解集為(0,+8).

故答案為：(0,+。)

7.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))己知定義在(0,+句上的函數(shù)丁=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),當(dāng)x>0時(shí)，

M〈x)+〃x)<0,且〃2)=3,則不等式〃了一1)>二的解集為.

【答案】(1,3)

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=^(x),判斷其單調(diào)性，將所求不等式整理成g(x-l)>g(2),利

用g("的單調(diào)性即可解得.

【詳解】令g(x)=令(尤),則g[x)=v(x)+/(x)

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，M'(x)+〃x)<0,即g'(x)<0

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=V(x)單調(diào)遞減，

由不等式〃1)>三可得]…小-…/⑵,

即g(xT)>g(2),故有0cx-1<2,解得：l<x<3,

即不等式-1)>二的解集為(1,3).

故答案為：(1,3).

8.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且當(dāng)x<0

時(shí)，2/(x)+xf'(x)<0,貝lj不等式(x-2023)2〃x-2023)-y(-l)>0的解集為.

【答案】(2022,2024)

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=x"(x),由已知得出尸(x)為偶函數(shù)，且在(-雙0)上是增函數(shù)，在(0,+8)上為減

函數(shù)，將(x-2023『巾_2023)-/(-I)>0轉(zhuǎn)化為F(x-2023)>尸(-1)求解即可.

【詳解】令尸(x)=x2/(x),貝！|/(工)=2"(》)+工斤(幻=工[2/(》)+礦(切，

當(dāng)x<0時(shí)，2〃x)+礦(x)<0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)'(x)=x[2/(x)+xf\x)\>0,

即尸(x)在(-叫0)上是增函數(shù)，由題意/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(-x)=/(x),又尸(-X)=(-x)"(-x)=x2f(x)=F(x),

所以尸(X)是偶函數(shù)，所以尸(X)在(0,+8)上遞減，

所以F(x-2023)=(x-2023)2f{x-2023),F(-1)=(-1)2/(-1)=/(-I)，

即不等式等價(jià)為尸(x-2023)>尸(-1),

所以卜-2023|<1,所以2022Vx<2024.

故答案為：(2022,2024).

|③構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)

一、單選題

1.(23-24高二下?湖北?階段練習(xí))若存在正實(shí)數(shù)加滿足：-機(jī)e'+/(/+l”0,則小的最大值為

12

A.-B.-C.1D.e

ee

【答案】A

【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)利用/(x)=e、-(x+1)的單調(diào)性求解參數(shù)加的最大值.

【詳解】正實(shí)數(shù)%,加滿足心+f(?+l)>0,貝!jin(竺]-'e'+/+1>0,

所以ln[m[+，+lN^e'=ln^y^+/+l>e'J,令+f=x,貝!Jx+lNe*,

設(shè)/(x)=e*-(x+1),/r(x)=ev-1,/'(x)=0=x=0,

易知y(x)在上(-8,o)單調(diào)遞減，在(o,+“)上單調(diào)遞增，故y(x"/⑼=o,

所以e'Zx+l,BPelnW+Z>ln^+/+l,又因?yàn)镮n[:]+/+12/〔力"

故1qm+/+1=6咕)=1,所以ln11+f=0,

則]=e\則加=《，令g(/)=:，g'?)=，Ag，(0=O^>z=1?

所以In

易知g⑺在上(一叫1)單調(diào)遞增，在(1,+。)上單調(diào)遞減，所以g⑺V」故加的最小值為L(zhǎng)

ee

故選：A

2.(23-24高二下?江蘇淮安?期末)函數(shù)/(x)=g-lnx,g(x)=et-x,若存在正數(shù)為，々，使得

y(xj=g(x2),則金的最小值為()

1,

A.-B.eC.1D.ee-1

e

【答案】B

【分析】分析可知/(xj=/(ef),結(jié)合/(x)的單調(diào)性可得項(xiàng)=產(chǎn)，土=0，構(gòu)建Mx)=h,x>0,利用

工2工2X

導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性和最值，即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橛?gt;0戶2>0,則e'2>0,

11一

2

由題意可得：---ln%=e-x2,

再

整理可得：-1口斗=*_山小，即/(芯)=/(j)，

又因?yàn)閥=1/=-lnx在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞減，則〃X)在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞減，

X

一rrtMe2

可得Xi=e",則一=—,

x2x2

構(gòu)建/Z（X）=￡,X>O,可得〃@）=@；）.，

當(dāng)0<x<l時(shí)，"（x）<0；當(dāng)x>l時(shí)，”（x）〉0；

可知“X）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

則打⑺2Ml）=e,所以?的最小值為e.

故選:B.

3.（23-24高二下?四川自貢?期中）V西,尤26口,叫不#尤2），均有型三硬工成立，則a的取值范圍為

X2一國(guó)

（）

A.（-℃,0]B.[1,+<?）C.[0,1]D.[0,+oo）

【答案】B

【分析】首先不等式轉(zhuǎn)化為'再構(gòu)造函數(shù)/（x）=@*,轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間[l,e]上恒成

X2XiX

立，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，求。的取值范圍.

【詳解】不妨設(shè)iVxLzWe,

,x]\wc?-x?liix1,I,

由-----------<a,得再In/一吃山<〃馬一ax\，

X2―玉

,、\.,Inx?+。lnX[+a

即玉（lnx2+Q）<'2（lnXi+〃），兩邊同時(shí)除A以西吃，得—---<----，

令〃尤）=生產(chǎn)，即〃聲）</同），所以函數(shù)“X）在區(qū)間[l,e]上單調(diào)遞減，

/'（町=1-（1；*%0,即1-lnx-aVO恒成立，

所以aNl-lnx,xe[l,e]上恒成立，函數(shù)>=l-lnx在區(qū)間[l,e]上單調(diào)遞減，

所以y=l-lnx的最大值為1,

所以a21.

故選：B

4.Q3-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x）=e1,g（無(wú)）=5+1115,若/（加）=g（〃）成立，則”機(jī)

的最小值為（）

A.In2-1B.In2C.-l-ln2D.l+ln2

【答案】A

【分析】令/=〃")=g(〃)，得到加，〃關(guān)于f的函數(shù)式，進(jìn)而可得〃-機(jī)關(guān)于f的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)

數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求n-m的最小值.

【詳解】令/=〃")=g⑺，則e"3=r,1+=G

:.m=3+]nt,n=2e^>所以"-加=2e'”_3-ln，

1t-l1

若〃⑺=2e"5-3—ln〃則'。)=2e2--(t>0),

h'(t)=o,有才=5，

當(dāng)0</<；時(shí)，"(/)<0,萬(wàn)⑺單調(diào)遞減，

當(dāng)。g時(shí)，W)>0,咐)單調(diào)遞增，，〃(0min=//g)=ln2-l,

即〃-加的最小值為ln2-l.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令f=/(M=g(〃)確定"-加關(guān)于/的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.

5.(2024?陜西商洛?三模)已知彳>0,對(duì)任意的x>l,不等式-020恒成立，則彳的取值范圍為

2Z

()

A.[2e,+oo)B.(#00]C.[e,+=o)D.

【答案】B

【分析】對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、參變量分離法進(jìn)行求解即可.

lm

【詳解】由題意2>0,不等式即2加2公>11K,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為22疣2八>lnxe,

令g(x)=xe)則g[x)=(x+l)e”,

當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,所以g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增.

則不等式等價(jià)于g(2疝)>g(Inx)恒成立.

因?yàn)?>0,x〉l,所以2Ax>0,lux>0,

所以對(duì)任意x>l恒成立，即242上InV恒成立.

x

設(shè)項(xiàng)=?。>1),可得加=3黑，

當(dāng)1<耳約〃(。)0,力(。單調(diào)遞增，當(dāng)t>e,h'(t)<0,〃⑺單調(diào)遞減.

所以t=e,/()有最大值％(e)=L于是2八L解得人?.

ee2e

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將已知條件轉(zhuǎn)化為22泥2〃Nlnxe^,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)=xe，，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)得到

22>—,進(jìn)而計(jì)算求得結(jié)果.

X

6.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=a靖+ln，-2,若〃x)>0恒成立，則正實(shí)數(shù)。的取值

x+2

范圍是()

A.0<a<eB.a>e2C.?>eD.a>2e

【答案】C

【分析】不等式整理為(尤+111")+產(chǎn)瓜"+>111仁+2)+冽*+2),構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+e)利用單調(diào)性得到

Ina>ln(x+2)-x,再構(gòu)造A(x)=ln(x+2)-x,進(jìn)而得到Ina>左⑴1mx=1,從而4>e.

【詳解】/(x)=aet+ln---2>0,Ael+ha+Ina>ln(x+2)+2,且。>0,

x+2

兩邊加上x得，e"ina+(x+ina)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln^+2^,

設(shè)g(x)=x+e)貝!|g，(x)=l+3>0,所以g(x)單調(diào)遞增，

x+lntz>In(x+2),即Ina>In(x+2)-x,

令左(x)=ln(x+2)—x,貝(]N(x)=------1=------,

x+2x+2

???/(x)的定義域是(-2,+8),

.,.當(dāng)xe(-2,-l)時(shí)，r(x)>0,左(%)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(-1,+8)時(shí),k'(x)<0,k(x)單調(diào)遞減,

???當(dāng)L1時(shí),左⑺取得極大值即為最大值，M%x=l(T)=l，

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將等式兩邊整理為結(jié)構(gòu)相同的形式，由此構(gòu)造新函數(shù)，本題中將e'山"+lna>ln(x+2)+2

v+lna+2)1

整理為(x+Ina)+e-+>ln(x+2)+6^,從而構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+e求解.

|④構(gòu)造函數(shù)證明不等式

一、解答題

1.(23-24高二下?四川宜賓?期末)已知函數(shù)〃x)=xJhu(aeR).

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<x-l,求”的取值范圍.

【答案】(1)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為1o,：]；單調(diào)遞增區(qū)間為g,+8

⑵-C0,2-

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)夕3=/欣-、+1(無(wú)>1),求導(dǎo)

(x)=axa-'\nx+xa-'-1=xa-l(alru+1)-l(x>1),對(duì)。分類討論，研究夕'(x)正負(fù)判斷研x)的單調(diào)性，即可

求解.

【詳解】(1)當(dāng)°=1時(shí)，f{x)=x\nx,//(x)=lnx+l(x>0)

當(dāng)xef0,—j時(shí),

/，(x)<0,當(dāng)時(shí)，f[x}>0.

所以〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為10,j；單調(diào)遞增區(qū)間為+e

(2)因?yàn)閷?duì)任意x>l,x"lnx-x+l<0恒成立.設(shè)。(工)=￡1標(biāo)一工+10〉1).

所以。'(％)=ax^lwc+xa~l-1=xa~x(alnx+l)-l(x>1).

分類：①當(dāng)心1時(shí)，d(x)〉o,知。(x)在(1,+。)單調(diào)遞增，

所以Vx〉l#(x)>°⑴=0,不成立.

②當(dāng)〃《0時(shí)，知9(/在(L+8)單調(diào)遞減,所以網(wǎng)>1，9(%)<夕⑴=0成立.

③當(dāng)0<。<]時(shí),令(x)=(x)=xa~x(tzlnx+1)-l(x>1).

所以夕'(x)=x"—2[("2_Q)1nx+(2Q—1)](X〉1,0<Q<1).

(i)若2a-lW0即0<a?g時(shí)，〃(x)<0,知p(x)在(1,+s)單調(diào)遞減，所以p(x)<p(l)=0,

所以"(x)<0,所以夕(x)在(1,+動(dòng)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意xe(l,+s)時(shí)，"(x)<0⑴=0成立.

[(1-2。、

(ii)若20-1>0即時(shí)，由"'(x)=0可得x=e罷>1，所以當(dāng)工已l，e"一時(shí)，p'(x)>0,

(l-2aA(1-2a\

于是，2(x)在1,一二單調(diào)遞增，所以對(duì)任意xel,e"時(shí)，p(x)>p⑴=0,所以"(x)>0,

\7\7

(l-2a\Cl-2aA

所以o(x)在1,/二單調(diào)遞增，所以對(duì)任意l,e^時(shí)，e(x)>9⑴=0恒成立.

\7\7

綜上所述：。的取值范圍是1-84

2.(2024?廣西?三模)已知函數(shù)/(x)=e'-x.

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若對(duì)任意x>0,/(x)>|ax2+l,求。的取值范圍.

【答案】(1)/(力的極小值為1,無(wú)極大值.

(2)?<1

【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù)/'(X)的零點(diǎn)，即為〃x)的極值點(diǎn)，然后解不等式/'(x)>0,確定極

大值和極小值；

(2)構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，在求最值過(guò)程中，注意對(duì)參數(shù)a的分類討論.

【詳解】(1)/'(x)=e^-l=O,得x=0,

當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，r(x)>o,函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以的極小值為〃0)=1,無(wú)極大值.

(2)意x>0,/(x)>+1,即e*-x-/ax~-1>0,

設(shè)g(x)=e"一1-萬(wàn)爾-l,x>0,gf(x)=ex-1-ax,x>0,

①當(dāng)a?0時(shí),g'(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，g1O)=O,g，(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

g(x)>g(O)=O,成立；

②當(dāng)0<。VI時(shí)，令"(。=8,0〃(彳)=、-。>0便卜)在(0,+00)單調(diào)遞增,

g'(O)=0,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

g(x)>g(O)=O,成立；

③當(dāng)0>1時(shí)，當(dāng)0<x<lna時(shí)，=e*-a<O,g[x)單調(diào)遞減，

g，(O)=O,g")<O,g(x)單調(diào)遞減,

g(x)<g(O)=O,不成立.

綜上可知

3.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=alnx-x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，-1.

【答案】⑴答案見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對(duì)。進(jìn)行和。>0的分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)即

可得單調(diào)性.

（2）證-lo/（x）max一1，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證alna-a4（巴）-l（a>0）

oln]￡|-+1<0,接著構(gòu)造函數(shù)8（苫）=111一+1口>0）研究其單調(diào)性和最值即可得證.

【詳解】（1）由題函數(shù)定義域?yàn)椋?,+功，/岸）=q-1=",

XX

故當(dāng)a<0時(shí)，/'（“<0恒成立，所以函數(shù)/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/'（X）在（0,+<?）上單調(diào)遞減，令—（x）=0nx="，

則xe（0,a）時(shí),/,（x）>0；xe（a,+8）時(shí)，/,（x）<0,

所以函數(shù)〃x）在（0,a）上單調(diào)遞增，在（見+動(dòng)上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)〃x）在（0,+功上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃x）在（0,。）上單調(diào)遞增，在（凡+⑹

上單調(diào)遞減.

（2）由（1）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/