專題01線段中雙（多）中點(diǎn)模型

線段是初中幾何的入門知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發(fā)，先

由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫

出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。

目錄導(dǎo)航］

目錄

模型1.線段中的雙中點(diǎn)模型

模型解讀

線段雙中點(diǎn)模型：兩線段在同一直線上且有一個(gè)共同的端點(diǎn)，求這兩條線段的中點(diǎn)距離的模型我們稱之為

線段的雙中點(diǎn)模型。

模型證明

條件：點(diǎn)M、N分別為線段A3、的中點(diǎn)，結(jié)論：MN=-AC.

2

證明：①當(dāng)點(diǎn)5在線段AC上，如圖1,

AMBNC

圖1

N分別為A3、的中點(diǎn),

BN=LBC；

22

■:MN=BM+BN,

②當(dāng)點(diǎn)5在線段AC的延長(zhǎng)線上，如圖2,

AMCNB

圖2

N分別為48、BC的中點(diǎn)，

?'-BN,BC;

22

"：MN=BM-BN,

1111

???MN=-AB——BC=-(AB-BC}=-AC^

222V72

③當(dāng)點(diǎn)B在線段CA的延長(zhǎng)線上

BMAN

圖3

?；M、N分別為43、3C的中點(diǎn),

ABM=-AB;BN=-BC;

22

":MN=BN-BM,

模型運(yùn)用

例1.（23-24七年級(jí)上?江蘇徐州?期末）線段AB=10cm,點(diǎn)C在線段48上，點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC

的中點(diǎn)，則=.

【答案】5cm/5厘米

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的運(yùn)算，根據(jù)線段中點(diǎn)得到MC=gAC,NC=；BC,結(jié)合MN=MC+NC

求解即可.

【詳解】解：如圖,

AMCNB

回點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是線段AC、3c的中點(diǎn)，

SMC=-AC,NC=-BC,

22

回線段A5=10cm,

^\MN=MC+NC=^（AC+BC）=^AB=5cm,

故答案為：5cm.

例2.已知點(diǎn)A,民C都在同一條直線上，AB=3BC,D,E分別為AC,8C的中點(diǎn).若￡>E=6,則AC的長(zhǎng)為

【答案】8或16/16或8

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查與中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，分兩種情況：點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)8的右

邊時(shí)，再根據(jù)相應(yīng)線段的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)2的左邊時(shí)，如圖所示.

IIIII

ADCEB

團(tuán)3E分別為AC,3C的中點(diǎn)，

^DC=AD^AC,CE=BE=^BC,

團(tuán)DE=DC+CE,DE=6,

^\-AC+-BC=6,

22

0AC+BC=12,即AB=12.

團(tuán)AB=3BC,

團(tuán)5C=4,

BAC=AB-BC=8；

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)2的右邊時(shí)，如圖所示.

IIIII

ADBEC

0D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，

^DC=AD=-AC,CE=BE=-BC.

22

團(tuán)DE=DC—CE,DE=6,

^\-AC--BC=6,

22

^AC-BC=n.

團(tuán)AB=AC—BC,

團(tuán)AB=12.

團(tuán)AB=3BC,

團(tuán)3C=4,

^AC=AB-hBC=16.

綜上所述，AC的長(zhǎng)為8或16,

故答案為：8或16.

例3.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，C,。是線段4B上的兩點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，尸是8。的中點(diǎn)，

若￡F=10,CD=6,求4B的長(zhǎng).

IIIIII

AECDFB

【答案】14

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段之間的數(shù)量關(guān)系

［分析】本題主要考查了線段上兩點(diǎn)間的距離，解答此題時(shí)利用中點(diǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

由題意，得￡1。+皿=所一8=10-6=4,因?yàn)椤晔?。的中點(diǎn)，歹是BD的中點(diǎn)，所以AE=EC,FB=FD,

所以AE+FB=EC+FD=4,所以AB=AE+FB+EF=4+10=14.

【詳解】解：由題意得EC+FD=E^—CD=10-6=4,

團(tuán)E是AC的中點(diǎn)，歹是BO的中點(diǎn)，

^AE=EC,FB=FD,

^\AE+FB=EC+FD=4,

0AB=A￡+FB+EF=4+1O=14.

例4.如圖，A,B,C,。是直線/上的四個(gè)點(diǎn)，M,N分別是AB,8的中點(diǎn).

MN

I_________I_____I1_____________I」」___________

ABCD

⑴如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,則4。的長(zhǎng)為cm；

⑵如果MN=10cm,BC=6cm,則AD的長(zhǎng)為cm；

（3）如果MN=a,BC=b,求AD的長(zhǎng)，并說明理由.

【答案】⑴12.6；

⑵14；

（3）2。-6,見解析.

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】（1）根據(jù)線段的和，可得（M8+CN）的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得A3與MB的關(guān)系，CD與CN

的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；

（2）先根據(jù)線段的和與差，計(jì)算出3M+CN的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得A8與MB的關(guān)系，CD與

CN的關(guān)系，根據(jù)線段的和，可得答案；

（3）根據(jù)（2）的解題過程，即可解答；

此題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的計(jì)算，理解線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握線段的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：SMB=2cm,NC=L8cm,

0Affi+NC=3.8（cm）,

0M,N分別是48,8的中點(diǎn)，

^AB^2BM,CD=2CN,

團(tuán)AB+CD=2BM+2CN=2（BW+CN）=7.6（cm）,

|?]AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6（cm）,

故答案為：12.6；

（2）解：EIACV=10cm,BC=6cm,

SBM+CN^MN-BC=10-6=4（cm）,

0M,N分別是48,8的中點(diǎn)，

^AB^2BM,CD=2CN,

ElAB+CD=23"+2C7V=2（BM+C7V）=8（cm）,

0AD=AB+CD+BC=8+6=14（cm）,

故答案為：14；

（3）解：?MN=a,BC=b,

0BM+CN=a—b,

0M,N分別是48,8的中點(diǎn)，

^AB=2BM,CD=2CN,

@AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）,

0AB+CD=2（a—/＞）,

0AD=AS+CD+SC,

^AD=2^a—b^+b=2a—2b+b=2a—b.

模型2.線段中的多中點(diǎn)模型

模型解讀

條件：如圖，點(diǎn)/在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MV=2a,第1次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)、

華；第2次操作：分別取線段4%和AM的中點(diǎn)加2，生；第3次操作：分別取線段AM2和ANz的中點(diǎn)M3，

N”…連續(xù)這樣操作”次，結(jié)論：MnN?=^'-a.

IIIIIIIII

AN3M3N2M2N\M[NM

模型證明

證明：?.?"］、V是和AN的中點(diǎn)，

/.AM.=-AM,AN.=-AN,

22

MtNt=^AM-^AN=^MN=a,

,:M?生是4叫和AM的中點(diǎn)，

AM2,AN2=1■訓(xùn)，

/.M2N2=3啊=1a,

???必，M是A弧和4%的中點(diǎn)，

AM3=^AM2,AN3=^AN2,

M3N3=；刈乂=；〃=口"，...發(fā)現(xiàn)規(guī)律：s,

模型運(yùn)用

例1.若線段44=2,在線段44的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)A3,使人是44的中點(diǎn)；在線段AA的延長(zhǎng)線上取一

點(diǎn)4,使4是44的中點(diǎn)；在線段44的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)4,使人是AA的中點(diǎn)；…這樣操作下去，則線

段&H4&J25的長(zhǎng)度為（）

A.22021B.22022C.22023D.22024

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，找出題目中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，找出題目

中的規(guī)律求出44=2"T,因此44。25=223,進(jìn)而中點(diǎn)的定義即可解答.

【詳解】解：回44=2,4是44的中點(diǎn)，

0A4=24A,=4=22.

1344=22,&是44的中點(diǎn)，

3

04A4=244=8=2.

0AA=23>4是AA的中點(diǎn)，

4

0A】4=2A,A4=16=2,

國(guó)44=2"、

回44。25=2的.

團(tuán)&024是A-^2025的中點(diǎn),

回434。25=）44。25=gx223=2皿3.

故選：C.

例2.線段AB=1,G是AB的中點(diǎn)，是G5的中點(diǎn)，G是G3的中點(diǎn)，。4是。3呂的中點(diǎn)：依此類推……,

線段4。2必的長(zhǎng)為.

|||||

AC\CiC3B

［答案］1-^-

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、求兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出

規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

先分別求出Cf、C°B、CR的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)榫€段AB=1,G是相的中點(diǎn)，

所以=彳AB=-xl=—；

因?yàn)镚是G8的中點(diǎn)，

所以3=［八99/

因?yàn)镚是c/的中點(diǎn)，

所以

***,

所以C2024fi=產(chǎn)7，

所以AC2024=AB-C202AB=1-22024，

故答案為：1-22024,

例3.學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件G"G劭也做了w次取線段中點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段。4=1,

第1次，取。凡的中點(diǎn)1；第2次，取玲，的中點(diǎn)打；第3次，取4鳥的中點(diǎn)鳥，第4次，取乙乙的中點(diǎn)巴；…

?I一14草?

OP,P3P5Po

⑴請(qǐng)完成下列表格數(shù)據(jù).

次數(shù)匕出線段。4的長(zhǎng)

OP=OP-PP=\-^

第1次叱；X00X

。△=。6+片4=1一g+J

第2次尸退耳

OP=OP-PP=l-^^-^

第3次3223+

OP=OP+PP=1；+；

第4次4334

第5次①______②________

(2)小明對(duì)線段。舄的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡(jiǎn)：

因?yàn)椤?/p>

所以2。舄=2儲(chǔ)+：一：+升2一1+9：+:，

兩式相加，得30勺=2+亍"，

71

所以圖—.

請(qǐng)你參考小明的化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)。4的表達(dá)式.

(3)類比猜想：2=,OPn=,隨著取中點(diǎn)次數(shù)"的不斷增大，。匕的長(zhǎng)最終接近的值是

【答案】(1)①舄4=:；②3一乙心=1一;

(2)0/?=-二

';33x25

【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找到規(guī)律并會(huì)表現(xiàn)出來是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)表中的規(guī)律可求出EA，根據(jù)。4=。乙-乙乙可得出答案；

(2)參照小明對(duì)線段。片的表達(dá)式的化簡(jiǎn)可得。心的表達(dá)式；

(3)根據(jù)類比猜想可得答案.

【詳解】⑴解：與月=攝，0公=°乙-乙4=1一：+:-J+；

故答案為:R舄4,OP5=OP,-P4P5=1-1+±_1+±_1;

(2)因?yàn)閮?yōu)=1_,+/一5+/_*,

所以2。己=2(11?11,11…1111

2+27-2?+2421=2-1H--------yH---7-----7?

2222324

兩式相加，得3OR=2-

21

所以優(yōu)有一藪百；

2

(3)PnP=-,OPn=-+^~隨著取中點(diǎn)次數(shù)〃的不斷增大。匕的長(zhǎng)最終接近的值是：.

〃T〃2〃〃33x2"

故工…答案上生為：一1,一2+」(—1)-〃,—2?

T33x2〃3

習(xí)題練模型］

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)A、C、。在同一直線上，AC=5cm,CZ）=4cm,點(diǎn)氏E分別是AC、AO的中點(diǎn)，則BE的

長(zhǎng)是（）

______I_______________________I__________________I____I_____________________________________I____________

ABECD

A.0.5cmB.1.5cmC.2cmD.3cm

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離

【分析】本題考查了求兩點(diǎn)之間的距離，線段中點(diǎn)的計(jì)算，先求出AO,再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得AE、AB

的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段的和差，可得答案.

【詳解】解：???AC=5cm,CD=4cm,

:.AD=AC+CD=5+4=9（cm）,

,:點(diǎn)、B、E分別是AC,AD的中點(diǎn)，

1519

AB=—AC=—cm,Afi1=—AD=—cm,

2222

o5

:.BE=AE-AB=---=2（cm）,

故選：C

2.已知線段AB=12cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，3c=4cm,點(diǎn)M是線段48的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的

中點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度是（）

A.4cmB.6cmC.5cm或8cmD.4cm或8cm

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離

【分析】本題需要分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)

線段中點(diǎn)的定義，計(jì)算即可.

本題考查了兩點(diǎn)間的距離，主要利用了線段中點(diǎn)的定義，難點(diǎn)在于要分情況討論.

【詳解】解：回M是A3的中點(diǎn)，N是2C的中點(diǎn)，

EIAM=BM=1AB=6（cm）,CN=NB=；BC=2（cm）,

①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，

I1111

AMCNR

0W=MB-CB=6-2=4（cm）；

②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，

??ill

AMRNC

ElMZV=Affi+3N=6+2=8（cm）.

綜上所述，線段MN的長(zhǎng)度是4cm或8cm.

故選：D.

3.如圖，數(shù)軸上。，A兩點(diǎn)的距離為12,一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到A0的中

點(diǎn)A處，第2次從A點(diǎn)跳動(dòng)到4。的中點(diǎn)4處，第3次從4點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)4處.按照這樣的規(guī)律繼

續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A"A，（n>3,W是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2024次跳動(dòng)后的點(diǎn)上。24與AA的中點(diǎn)的距

離是（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、圖形類規(guī)律探索、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離.熟練掌握各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律，是解題關(guān)鍵.

根據(jù)題意，第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)A處，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為12xg=6,第二次從A處跳動(dòng)到人處，離原點(diǎn)的

長(zhǎng)度為12X(￡|=3,可推出跳動(dòng)w次距離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為12x(g],即點(diǎn)4表示的數(shù)為12x(g],則點(diǎn)4?！?/p>

門、2。24

表示的數(shù)為12x；,再推出4A的中點(diǎn)表示的數(shù)為9,即可解答.

【詳解】回?cái)?shù)軸上O,A兩點(diǎn)的距離為12,

團(tuán)點(diǎn)A表示的數(shù)為12,

A表示的數(shù)為12X；=6,

4表示的數(shù)為=3,

A表示的數(shù)為12x5

4

4表示的數(shù)為12x

4表示的數(shù)為12x

門、2024

國(guó)經(jīng)過這樣2024次跳動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為12x(,

團(tuán)點(diǎn)A表示的數(shù)為12,4表示的數(shù)為6,

團(tuán)AA的中點(diǎn)表示的數(shù)為"芋=9,

團(tuán)經(jīng)過這樣2024次跳動(dòng)后的點(diǎn)與AA的中點(diǎn)的距離為，

(1V02411

9一12x匕J=9-3x4x產(chǎn)=9-3x產(chǎn),

故選:B.

4.如圖，已知AB(8在A的左側(cè))是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)12,且AB=18,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，M,N始終為AP,尸3的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為/。＞0)秒，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是-6；

②點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，t=9；

③3尸=2時(shí)，f=8；

④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化.

<——

BNPMA

_______II111A

A.①②B.①②③C,①③④D.①②③④

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可判斷①；利用路程除以速度即可判斷②；分兩種

情況，點(diǎn)尸在點(diǎn)B的右邊，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊，由題意求出AP的長(zhǎng)，再利用路程除以速度即可判斷③；分

兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)8的右邊，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可判斷④；根據(jù)題目

的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團(tuán)已知A3（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為12,且AB=18,

團(tuán)3對(duì)應(yīng)的數(shù)為12-18=-6,故①正確；

0184-2=9,

回點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，t=9,故②是正確的；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)B右邊時(shí)，

國(guó)8尸=2,

0AP=16,

國(guó)力=16+2=8；

當(dāng)點(diǎn)夕在點(diǎn)3左邊時(shí)，

⑦BP=2,

團(tuán)AP=18+2=20,

國(guó)￡=20+2=10,

回族=2時(shí)，，=8或10,故③錯(cuò)誤；

在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)3右邊時(shí)，

MN=PM+PN=-AP+-PB=-（AP+PB]=-AB=9；

222V72

在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)3左邊時(shí),

MN=PM-PN=-AP--PB=-（AP-PB）=-AB=9；

222V72

團(tuán)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段"N的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，故④錯(cuò)誤;

團(tuán)正確結(jié)論有①②，

故選：A.

二、填空題

5.如圖，B、C是線段AD上兩點(diǎn)，且AB:5C:CD=2:3:4,點(diǎn)E、F、G分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，則

EF

而------------

IIIIIII

AF.RFCGD

【答案】|

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段之間的數(shù)量關(guān)系

【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)題目設(shè)出AB、BC、CD的值是解題的關(guān)鍵.

設(shè)AB=2x,BC=3x,CD=4x,根據(jù)B、C是線段4。上兩點(diǎn)，且AB:3C:CD=2:3:4,點(diǎn)E、F、G分別

是AB、BC、CD的中點(diǎn)，得至l]EP=2.5x,FG=3.5x即可解答.

【詳解】設(shè)AB=2x,BC=3x,CD=4x,

FF25

貝|跖=2.5尤，F(xiàn)G=3.5x,—=^=-.

FG3.5x7

故答案為：y.

6.如圖，已知，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MV=2023,第一次操作：分別取線段A〃和AN的

中點(diǎn)%；第二次操作：分別取線段AM1和AM的中點(diǎn)N2.第三次操作：分別取線段可巴和AN?

的中點(diǎn)M3,悵；...連續(xù)這樣操作2024次，則加2必"23=.

A_N3M3N2M2~就NM

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離

2023

【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得出是解題關(guān)鍵.根據(jù)線段中點(diǎn)定義先

求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出加2%的長(zhǎng)度，從而找到”的規(guī)律，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：0線段肱V=2023,線段AM和4V的中點(diǎn)Mi,乂，

iiii2023

^\MN=AM-AN=-AM——AN=—（AM-AN）=—MN=------,

XXXX22222

回線段AM和AM的中點(diǎn)〃2，生；

iiii2023

^\MN=AM-AN=-AM--AN、=-[AM-AN）=-MN=——

22222X22xi2xi2

2023

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：MnNn=竽,

_2023

回何2024°2024=22。24,

工乙生士生2023

故答案為：亍兩?

7.如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段肱V=2,第一次操作：分別取線段40和AN的中點(diǎn)N、

；第二次操作：分別取線段AM和AM的中點(diǎn)A/?,N2；第三次操作：分別取線段AM?和AN?的中點(diǎn)AG，

N3；...連續(xù)這樣操作2024次,則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和陷M+/2悵+…+/2。24'2。24=

IIIIIIIII

AN3M3N2M2NIM[NM

【答案】2-

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段規(guī)律性問題，準(zhǔn)確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，比較有難度.根據(jù)線段

中點(diǎn)定義先求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出M2M的長(zhǎng)度，從而找到”的規(guī)律，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：回M]、M是川0和AN的中點(diǎn)，

BAM.=-AM,AN,=-AN,

22

團(tuán)陷乂=^AM-^AN=^MN=1,

團(tuán)也、悵是A陷和AM的中點(diǎn)，

0AM2=1^1-AN?=；AN],

13%,%是AM?和AN?的中點(diǎn)，

^AM}=1^2>趙=g必，

0M3N3=1AM2~^AN2=^M2N2=I=[I]，

發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

2023

網(wǎng)N+MQL+M四N*=l+g+...+I

，、1門丫°22

回2（舷畫+M2M+---+M2024Af2024）=2+l+-+---+^-J

,q,fiY0231

兩式相減，得M|N|+M2M+…+朋2024g24=2-=2-萍7，

故答案為：2-

8.如圖，線段48的長(zhǎng)為1.G為AB的中點(diǎn)；C2為GB的中點(diǎn)；…G,為C"_|B的中點(diǎn)（”是正整數(shù)）.觀察

思考：AC,=1,換個(gè)角度有AC|=AB-C/=1-!；AC=!+J,換個(gè)角度有

2224

462=48-。#=1一；］..4￡1=1+；+—+，，換個(gè)角度有4￡1=43-￡/=（用含〃的代數(shù)式表示）

由此我們得到9+…+5的計(jì)算方法.

242"

III1I

AGGGB

【答案】1-：

【知識(shí)點(diǎn)】圖形類規(guī)律探索、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】

本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，從此題學(xué)會(huì)（+；++5的計(jì)算方法.根據(jù)C“為CaB的中點(diǎn),

則C“B=：,所以+；++1，換個(gè)角度AC“=AB-CM=1-』

【詳解】

解：???a為48的中點(diǎn)，G為GB的中點(diǎn)，L,C“為CNTB的中點(diǎn)（〃是大于1的正整數(shù)）,

CB=—

"2"

.?.AC“=AB-C“B=T，

故答案為：1。

三、解答題

9.如圖，已知點(diǎn)C為線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段CB上一點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AE的中點(diǎn).

I1111

ADCEB

⑴若線段AB=15,CE=45,求線段BE的長(zhǎng)；

⑵若線段AB=19,BE=5,求線段的長(zhǎng).

【答案】⑴3

(2)2.5

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】(1)中點(diǎn)，求出8c的長(zhǎng)，用BC-CE即可求出BE的長(zhǎng)；

(2)鉆-班求出AE的長(zhǎng)，中點(diǎn)求出AC,/⑦的長(zhǎng)，利用CD=AC-AO,計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)锳B=15,點(diǎn)C為線段A5的中點(diǎn)，

所以BC」AB=7.5.

2

因?yàn)镃E=4.5,

所以BE=BC—CE=7.5—4.5=3.

(2)因?yàn)锳B=19,2E=5,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

所以AE=14,AC=-AB=9.5.

2

因?yàn)辄c(diǎn)。為線段AE的中點(diǎn)，

所以AD'AE=7,

2

所以8=4?-4)=9.5-7=2.5.

【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算.正確的識(shí)圖，理清線段之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

10.已知線段48上，順次有三個(gè)點(diǎn)C,D,E,把線段A5成2:3:4:5四部分，且A3=28cm.

III]I

ACDEB

⑴求線段。3的長(zhǎng)；

(2)若M,N分別是DE,EB的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

【答案】⑴18cm

(2)9cm

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段之間的數(shù)量關(guān)系

【分析】(1)先設(shè)AC=2xcm,CD-3ACHI,DE-4xcm,BE-5xcm,根據(jù)AB=AC+CD+￡>E+8E=28cm,

列出方程，求出X,進(jìn)而求出￡>￡■和BE,從而求出30的長(zhǎng)；

(2)先根據(jù)已知條件，求出ME和EN的值，然后根據(jù)MN=ME+E7V,求出跖V即可.

【詳解】(1)解：由題意設(shè)AC=2xcm,CD-3xcm,DE-4xcm,BE-5xcm,

0AB=AC+CD+DE+BE=28cm

02x+3x+4x+5x=28,

解之得：x=2,

回DE=4x=8cm,BE=5x=10cm,

^BD=DE+BE=8-blO=18cm；

(2)0M,N分別是OE,項(xiàng)的中點(diǎn)，

ACDMENB

0ME=—DE=4cm,EN=2BE=5cm,

22

ElMN=ME+EN=4+5=9cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是識(shí)別圖形，找出線段與線段

之間的數(shù)量關(guān)系.

11.已知線段A8上有一點(diǎn)C,AC,的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N.

AMCNB

圖1

AMCNB

圖2

⑴如圖1,若點(diǎn)C為48的中點(diǎn)，AB=20,求線段"N的長(zhǎng)度；

⑵如圖2,若點(diǎn)C為上任意一點(diǎn)，求MN:A3的值.

【答案】⑴10

*

【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差，熟練掌握線段中點(diǎn)的定義及線段的和差的推理計(jì)算是

解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)c,M,N分別為A5,AC,BC的中點(diǎn)，可得點(diǎn)C,M,N是線段的四等分點(diǎn)，可求

得CM=CN=5,即可得到答案；

(2)根據(jù)點(diǎn)"，N分別為AC,8C的中點(diǎn)，可推得即得答案.

2

【詳解】(1),?,點(diǎn)C,M,N分別為A3,AC,BC的中點(diǎn)，

團(tuán)點(diǎn)C,M,N是線段的四等分點(diǎn)，

.-.CM=CN=-AB=-x20=5,

44

：.MN=2CM=2X5=K)；

(2),點(diǎn)N分別為AC,BC的中點(diǎn)，

:.MN=CM+CN=^AC+^BC=^AC+BC)=^AB,

:.MN:AB=-.

2

12.如果一點(diǎn)在由有兩條公共端點(diǎn)的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長(zhǎng)度相等的兩部分，這點(diǎn)叫

做這條折線的"折中點(diǎn)”.如圖，點(diǎn)。是折線A-C-3的"折中點(diǎn)"，請(qǐng)解答以下問題：

(1)當(dāng)AC>3C時(shí)，點(diǎn)。在線段_________上；當(dāng)AC=3C時(shí)，點(diǎn)。與___________重合；當(dāng)ACOC時(shí)，點(diǎn)

。在線段上；

(2)若線段AC和線段CB組成一條折線，點(diǎn)。是折線A-C-3的"折中點(diǎn)"，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，EC=8cm,

CD=6cm,求線段CB的長(zhǎng)度.

【答案】⑴AC,點(diǎn)C,BC

⑵BC=4cm或28cm

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算

【分析】(1)根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；

(2)分兩種情況：點(diǎn)O在線段AC上和點(diǎn)O在線段BC上，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：當(dāng)AC>BC時(shí)，點(diǎn)。在線段AC上；

當(dāng)AC=3C時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合；

當(dāng)AC<3C時(shí)，點(diǎn)O在線段2C上.

故答案為：AC,點(diǎn)C,BC；

(2)解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上，

a

E

團(tuán)石為線段AC中點(diǎn)，EC=8cm,

團(tuán)AC=2CE=16cm,

回CD=6cm,

團(tuán)AD=AC—CD=10cm,

團(tuán)折線3—C—O=AT)=10cm,

=10-6=4cm；

②當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上，

SE為線段AC中點(diǎn)，EC=8cm,

團(tuán)AC=2CE=16cm,

團(tuán)CD=6cm,

團(tuán)折線A—C—O=AC+CD=22cm,

團(tuán)BD=22cm,

團(tuán)BC=22+6=28cm,

所以BC=4cm或28cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，正確理解新概念“折中點(diǎn)〃是解題的關(guān)鍵.

13.如圖①，已知點(diǎn)C在線段4B上，線段AC=10厘米，3c=6厘米，點(diǎn)M,N分別是AC,3C的中點(diǎn).

II111III

AMCNBACB

圖①圖②

⑴求線段MN的長(zhǎng)度；

⑵根據(jù)第(1)題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC+BC=a,其他條件不變，求的長(zhǎng)度；

(3)動(dòng)點(diǎn)尸、。分別從A、8同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度沿2B向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B,點(diǎn)。以1厘米/

秒的速度沿54向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為4當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)：

①點(diǎn)P恰好為線段CQ的中點(diǎn)？

②直接寫出C、P、。三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？(除①外)

【答案】⑴肱V=8厘米

Q)MN=ga

(3)①f=g②r=4或?

【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題

【分析】本題考查了線段的中點(diǎn)和計(jì)算，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論,

以防遺漏.

(1)根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；

(2)根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；

(3)①分為。為線段尸C的中點(diǎn)和C為線段PQ的中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)的定義，可得方程，根據(jù)解方程，

可得答案；

②分為C為線段PQ的中點(diǎn)和點(diǎn)。為線段CP的中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得

答案.

【詳解】(1)解：回線段AC=10厘米，3C=6厘米，點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn)，

CM」AC=5厘米，