學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學(xué)一、兩角和的余弦公式學(xué)法一得這種以-β代β的變換角的方式在三角函數(shù)的恒等變形中有著重要應(yīng)用，同時也啟發(fā)我們要辯證地看待和角與差角.在公式C(α-β）中，因為角α、β是任意角，所以在C(α+β）中,角α、β也是任意角。2.用兩點間的距離公式推導(dǎo)C（α+β）.圖3—1-5如圖3—1-5，在直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)為頂點，以x軸的非負半軸為始邊,作出角α、-β，使角α、-β的終邊分別交單位圓于點P2、P4,再以O(shè)P2為始邊，作角β,使它的終邊交單位圓于點P3，這樣就出現(xiàn)了α、β、α+β這樣的角，設(shè)角α、—β的始邊交單位圓于點P1，則P1(1，0).設(shè)P2（x，y），根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有sinα=y，cosα=x，即P2（cosα,sinα）；同理，可得P3（cos（α+β），sin（α+β)),P4(cos(—β），sin(-β））.由整個作圖過程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以｜P1P3|=｜P2P4｜.|P1P3｜2=｜P2P4|2，即［cos(α+β）—1］2+sin2(α+β)=［cos（—β）—cosα］2+[sin（—β）-sinα］2.根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，整理得2-2cos(α+β）=2-2（cosαcosβ—sinαsinβ）,即cos（α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ。3。利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)C(α+β）。圖3如圖3—顯然，=（cosα,sinα）,=（cos（—β)，sin(-β)).根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有·=（cosα,sinα)·（cos(-β），sin(—β)）=cosαcos（-β）+sinαsin(-β)=cosαcosβ—sinαsinβ。于是cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ.學(xué)法一得①在處理問題的過程中，把有待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解，這種思想方法叫做化歸思想。②以任意角的三角函數(shù)的定義為載體,我們推導(dǎo)了同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式。熟記公式中角、函數(shù)的排列順序及式中的正負號是正確使用公式的關(guān)鍵。記憶要訣公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)之積,連接符號與左邊的連接符號相反.二、兩角和與差的正弦1.公式的推導(dǎo)sin（α-β）=cos［-(α—β)］=cos［（-α)+β]=cos(-α)cosβ-sin（—α）sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β,即可得到sin(α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.2。和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例.如sin(2π—α）=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα—1×sinα=—sinα。當α或β中有一個角是的整數(shù)倍時,通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；上面公式中的α、β均為任意角.誤區(qū)警示公式對分配律不成立，即sin(α±β）≠sinα±sinβ，學(xué)習(xí)時一定要注意這一點。學(xué)法一得公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，如化簡sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要將sin（α+β)和cos(α+β）展開，而應(yīng)當整體考察，進行如下變形:sin（α+β）cosβ—cos（α+β)sinβ=sin[(α+β)—β］=sinα，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則.記憶要訣記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的正弦公式的右端的兩部分為異名三角函數(shù)之積,連接符號與左邊的連接符號相同。三、兩角和與差的正切1.公式的推導(dǎo)利用兩角和的正弦、余弦公式，可以推導(dǎo)出兩角和的正切公式：tan（α+β)=，當cosαcosβ≠0時，我們可以將上式的分子、分母同時除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式:tan（α+β)=，在上面的公式中，以-β代β，可得兩角差的正切公式:tan(α-β)=。2。公式成立的條件要能應(yīng)用公式，首先要使公式本身有意義，即tanα、tanβ存在。并且1+tanαtanβ的值不為零，所以可得α、β需滿足的條件：α≠kπ+,β≠kπ+，α+β≠kπ+或α-β≠kπ+，以上k∈Z。當tanα、tanβ、tan（α±β）不存在時，可以改用誘導(dǎo)公式或其他方法解決.學(xué)法一得兩角和與差的正切同樣不僅可以正用，而且可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段,如tanα+tanβ=tan（α+β)(1—tanαtanβ)就可以解決諸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的問題。所以在處理問題時要注意考察式子的特征，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了。典題?熱題知識點一所求角可表示成兩個特殊角的和、差例1求sin75°，tan15°的值。解：sin75°=sin（45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=；tan15°=tan（60°—45°）=,或tan15°=tan(45°-30°）=.例2求的值.思路分析：觀察被求式的函數(shù)名稱的特點和角的特點，其中7°=15°—8°,15°=8°+7°,8°=15°-7°.無論采取哪種代換方式,都可減少角的個數(shù).利用和角或差角公式展開，進行約分、化簡、求值.若用7°=15°—8°代換，分子、分母是二次齊次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代換，分子、分母將會出現(xiàn)三次式，顯然選擇后者更好，不妨比較一下。答案：原式=.巧解提示:原式==tan15°=tan（45°-30°).方法歸納三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)一般由角、三角函數(shù)符號及運算符號三部分組成。因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當公式，這是三角恒等變換的重要特點。無論是化簡、求值，還是證明，其結(jié)果應(yīng)遵循以下幾個原則：①能求值的要求值；②三角函數(shù)的種類盡可能少；③角的種類盡可能少；④次數(shù)盡可能低；⑤盡可能不含根號和分母。知識點二已知α、β的三角函數(shù)值，求α±β的三角函數(shù)值例3已知sinα=，求cos(+α)的值。思路分析:因為是個特殊角，所以根據(jù)C（α+β）的展開式，只需求出cosα的值即可.由于條件只告訴了sinα=，沒有明確角α所在的象限，所以應(yīng)分類討論,先求cosα的值，再代入展開式確定cos(+α)的值.解：∵sinα=〉0，∴α位于第一、二象限。當α是第一象限角時，cosα=，∴cos（+α）=coscosα—sinsinα=；同理，當α是第二象限角時,cosα=，∴cos（+α)=。方法歸納解這類給值求值問題的關(guān)鍵是先分清S(α±β)、C(α±β）、T（α±β）的展開式中所需要的條件，結(jié)合題設(shè)，明確誰是已知的，誰是待求的。其中在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值時，應(yīng)先解決與已知具有平方關(guān)系的三角函數(shù)值.但是，對于cos（π+α)、cos（+α）這樣的函數(shù)求值，由于它們的角與的整數(shù)倍有關(guān),所以無需按它們的展開式求值,直接利用誘導(dǎo)公式可能更簡單.例4已知cos(α-)=，sin（—β）=，并且＜α＜π，0＜β＜,求的值。思路分析：觀察給出的角，結(jié)合公式C（α-β)展開式的特點，只需利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算出sin(α—）、cos(-β）的值即可。解：∵＜α＜π,0＜β＜,∴＜＜，0＜＜?！啵鸡痢鸡?，—＜—β＜。又∵cos(α-）=＜0，∴?！?。同理,∵sin（-β）=〉0，∴?！?。故=cos（α—)cos（-β）+sin(α-)sin（—β)。例5在△ABC中，sinA=，cosB=，求cosC.思路分析：本題主要考查三角形中的三角函數(shù)問題。若不注意“△ABC”這個條件，就會產(chǎn)生多解,所以解這類問題時一定要注意盡量壓縮角的范圍，避開分類討論，同時要注意結(jié)論是否符合題意.解：∵cosB=，∴B∈（,）且sinB=?！遱inA=，∴A∈（0，)∪（,π).若A∈(,π),B∈(,),則A+B∈（π,）與A+B+C=π矛盾,∴A(,π)。因此A∈（0，)且cosA=。從而cosC=cos［π—(A+B)］=-cos（A+B)=—cosAcosB+sinAsinB=.例6如圖3—1-圖3思路分析：本題相當于已知角α的三角函數(shù)值，求α+45°的三角函數(shù)值.解：設(shè)∠xOP=α。因為|OP｜=，所以cosα=,sinα=。因為x′=5cos(α+45°）=5(cosαcos45°—sinαsin45°）,同理,可求得y′=5sin(α+45°）=，所以P′(，)。方法歸納①已知角α的某一三角函數(shù)值和角α所在的象限，則角α的其他三角函數(shù)值唯一;已知角α的某一三角函數(shù)值，不知角α所在的象限，應(yīng)先分類討論，再求α的其他三角函數(shù)值。②一般地,90°±α,270°±α的三角函數(shù)值,等于α的余名函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，它的證明也可通過兩角和、差的三角函數(shù)式進行.③在給值求值的題型中,要靈活處理已知與未知的關(guān)系，合理進行角的變換，使所求角能用已知角表示出來,所求角的三角函數(shù)值能用已知角的三角函數(shù)值表示出來。知識點三已知三角函數(shù)值求角例7已知sinα=，sinβ=,且α、β都是銳角，求α+β的值.思路分析:(1)根據(jù)已知條件可先求出α+β的某個三角函數(shù)值，如cos(α+β)。(2）由兩角和的余弦公式及題設(shè)條件知只需求出cosα、cosβ即可.(3)由于α、β都是銳角，所以0＜α+β＜π,y=cosx在(0,π）上是減函數(shù)，從而根據(jù)cos(α+β）的值即可求出α+β的值。解:∵sinα=，sinβ=，且α、β都是銳角,∴cosα=，cosβ=.∴cos(α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ=。又∵0＜α+β＜π，∴α+β=.方法歸納給值求角的一般步驟是：①確定所求角的范圍；②找到該范圍內(nèi)具有單調(diào)性的某一三角函數(shù)值；③先找到一個與之相關(guān)的銳角，再由誘導(dǎo)公式導(dǎo)出所求角的值。知識點四利用兩角和、差的三角函數(shù)公式證明恒等式例8已知3sinβ=sin(2α+β）,求證:tan（α+β)=2tanα。思路分析：觀察條件等式和結(jié)論等式中的角，條件中含有β、2α+β,結(jié)論中含有α+β、α，若從條件入手，可采用角的變換，β=（α+β)—α，2α+β=(α+β）+α，展開后轉(zhuǎn)化成齊次整式，約分得出結(jié)論.證明：∵3sinβ=3sin［(α+β）-α]=3sin（α+β）cosα-3cos(α+β）sinα，sin(2α+β）=sin［（α+β）+α］=sin（α+β)cosα+cos（α+β）sinα，又3sinβ=sin（2α+β），∴3sin（α+β）cosα-3cos(α+β）sinα=sin(α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴2sin（α+β）cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan（α+β)=2tanα。方法歸納對條件恒等式的證明，若條件復(fù)雜，可從化簡條件入手得出結(jié)論；若結(jié)論復(fù)雜，可化簡結(jié)論得出條件；若條件和結(jié)論都較為復(fù)雜,可同時化簡它們,直到找到它們間的聯(lián)系。知識點五變用兩角和差的三角函數(shù)公式化簡求值例9用和、差公式證明tan12°+tan18°+tan12°·tan18°=。解：∵=tan(12°+18°)=tan30°=，∴tan12°+tan18°=(1—tan12°·tan18°)，即左邊=(1—tan12°tan18°)+tan12°tan18°==右邊?！鄑an12°+tan18°+tan12°·tan18°=.方法歸納三角公式通過等價變形，可正用，可逆用，也可變用，主要是通過對函數(shù)結(jié)構(gòu)式的變形與對角的分、拆、組合來實現(xiàn)的。例10求（1+tan1°)（1+tan2°）（1+tan3°）……(1+tan45°）的值。解：因為α+β=45°時，tan（α+β）==1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即（1+tanα)（1+tanβ）=2.于是（1+tan1°)（1+tan44°）=(1+tan2°)（1+tan43°）=……=（1+tan22°)(1+tan23°）=2。又因為1+tan45°=2，所以原式=223。方法歸納當α+β=kπ+,k∈Z時，(1+tanα)（1+tanβ）=2；當α+β=kπ—，k∈Z時,（1+tanα）(1+tanβ）=2tanαtanβ。問題?探究思想方法探究問題1在三角恒等變換中，三角公式眾多，公式變換也是解決問題的有效手段，在應(yīng)用這些公式時要注意些什么問題?探究過程:使用任何一個公式都要注意它的逆向變換、多向變換，這是靈活使用公式所必須的，尤其是面對那么多三角公式，把這些公式變活，顯得更加重要,這也是學(xué)好三角函數(shù)的基本功.如：cos（α-β）cosβ-sin(α—β）sinβ化簡為__________。將α-β看作一個角，β看作另一個角，則cos(α-β）cosβ-sin（α-β)sinβ=cos［(α-β）+β]=cosα.解答本題時不僅利用角的變換：α=（α-β）+β，同時運用了公式的逆向變換。探究結(jié)論：兩角和的正切公式tan（α+β)=.除了掌握其正向使用之外,還需