大招3常用的導(dǎo)數(shù)放縮技巧大招總結(jié)第一組:對數(shù)放縮(放縮成一次函數(shù));(放縮成雙次函數(shù));(放縮成二次函數(shù));(放縮成類反比例函數(shù)).第二組:指數(shù)放縮(放縮成一次函數(shù));(放縮成類反比例函數(shù));(放縮成二次函數(shù)).第三組:以直線為切線的函數(shù).以上公式較多且繁雜,我們記住基礎(chǔ)的、最常見的即可,其他可以根據(jù)最基礎(chǔ)的不等式推導(dǎo).常用不等式.這個是本書封面公式,導(dǎo)數(shù)放縮精華之所在.常用不等式(非常具有對稱美感)證明:構(gòu)造單調(diào)遞減單調(diào)遞加∴∴證明:構(gòu)造單調(diào)遞減單調(diào)遞加∴證明:構(gòu)造單調(diào)遞減單調(diào)遞加證明:構(gòu)造單調(diào)遞減單調(diào)遞加∴證明:構(gòu)造單調(diào)遞減單調(diào)遞加∴典型例題例1.已知函數(shù),若對于任意的恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.解：方法1:對任意的,要使恒成立,可設(shè),則要恒成立.當(dāng)時,恒成立,故滿足題意;當(dāng)時,;若,則恒成立,單調(diào)遞減,當(dāng)趨近于正無窮時,趨近于負無窮,不滿足題意;若,由于,解得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取得極小值即最小值,要使恒成立,即恒成立,解得此時.綜上所述,的取值范圍是.故答案選.方法2:函數(shù),即恒成立,設(shè)函數(shù),同時令不等式右邊為,如圖所示:由于存在過原點的切線,故此時該切線為,故,則.故選C.例2.已知對于任意的,有不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍？解：方法1:由于要對于任意的有恒成立,即,由于1時,,故只需,令,令,即此時,即,此時.當(dāng)時,函數(shù),此時函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù),此時函數(shù)單調(diào)遞減,故函數(shù)在時取得極大值,即最大值,故函數(shù),即此時得到,故實數(shù)的取值范圍為,.方法2:若保證恒成立,即保證恒成立,此時令,即恒成立,由基本不等式,,故得到.例3.已知函數(shù).(1)設(shè)是的極值點,求并討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,證明：.解：(1)∵是的極值點,∴,解得.所以函數(shù),其定義域為.設(shè),則,所以在上為增函數(shù),又∵,所以當(dāng)時,,即;當(dāng)時,.所以在上為減函數(shù);在上為增函數(shù).(2)證明:方法1:當(dāng)時,,故只需證明當(dāng)時.當(dāng)時,函數(shù)在上為增函數(shù),且.故在上有唯一實數(shù)根,且.當(dāng)時,,當(dāng)時,,從而當(dāng)時,取得最小值.由,得.故.綜上,當(dāng)時,.方法2:當(dāng)時,,故只需證明當(dāng).即證明,由于,即證明,顯然成立.例4.已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點,求的值,并求的單調(diào)區(qū)間;（2）證明:當(dāng)時,.解(1)∵函數(shù)是的極值點,∴,解得,當(dāng)時,;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.（2）證明:方法1:當(dāng)時,,設(shè),則,由,得,當(dāng)時,,當(dāng)時,是的最小值點,故當(dāng)時,當(dāng)時,.方法2:當(dāng)時,,由于或者,所以證明即可,顯然成立.自我檢測1.已知函數(shù).(1)設(shè)是函數(shù)的極值點,求的值并討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,證明:.解：(1)是函數(shù)的極值點,即,所以.于是函數(shù)數(shù),由,可得,因此，當(dāng)時,;當(dāng),時,,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)證明:當(dāng)時,對于任意恒成立,又恒成立,時,時,,原式得證,即.2.設(shè)函數(shù),曲線在點處得切線方程為.(1)求、;(2)證明:.解:(1)函數(shù)的定義域為,由題意可得,故;(2)證明:由(1)知,若,有,即等價于,設(shè)函數(shù),則當(dāng)時,;當(dāng)時,.故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù),則.當(dāng)時,;當(dāng)時,,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而在上的最大值為.綜上,當(dāng)時,,即成套的課