2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知是夾角為的單位向量，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．若直線的傾斜角為，則直線的一個法向量是（

）A． B． C． D．5．下列四個函數(shù)中,以為最小正周期,且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．6．冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷7．一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．8．已知點是直線上的動點，由點向圓引切線，切點分別為且，若滿足以上條件的點有且只有一個，則（

）A． B． C．2 D．二、多選題（本大題共3小題）9．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則不可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，10．銳角三角形中，角，，所對應(yīng)的邊分別是，，，下列結(jié)論一定成立的有（

）.A． B．C．若，則 D．若，則11．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法中正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是對立事件C． D．與是相互獨立事件三、填空題（本大題共3小題）12．某校在高一、高二、高三三個年級中招募志愿者50人，現(xiàn)用分層抽樣的方法分配三個年級的志愿者人數(shù)，已知高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為4:3:3，則應(yīng)從高三年級抽取名志愿者．13．從、、、任取兩個不同的數(shù)字，分別記為、，則為整數(shù)的概率是14．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，平面平面ABCD，中BC邊上的高，則該幾何體的體積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知，，．(1)求與的夾角；(2)求與．16．2024年5月15日是第15個全國公安機關(guān)打擊和防范經(jīng)濟犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進社區(qū)，走進群眾，開展主題為“與民同心，為您守護”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機選擇了200位市民進行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：

(1)請估計這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.17．甲，乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響．(1)求甲，乙各射擊一次，至少擊中目標一次的概率；(2)若乙在射擊中出現(xiàn)連續(xù)2次未擊中目標就會被終止射擊，求乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．18．在以下三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個記分）問題：在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求面積的最大值；(3)在（2）的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.19．如圖，在矩形中，，，是線段AD上的一動點，將沿著BM折起，使點到達點的位置，滿足點平面且點在平面內(nèi)的射影落在線段BC上．

(1)當點M與點重合時，①證明：平面；②求二面角的余弦值；(2)設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值．

參考答案1．【答案】B【分析】先求解兩個集合，再結(jié)合兩集合交集定義求解答案；【詳解】因為，所以．故選B.2．【答案】C【分析】運用復(fù)數(shù)的除法運算法則進行求解即可.【詳解】∵，∴.故選C.3．【答案】B【分析】直接利用投影向量定義及數(shù)量積的幾何意義進行求解即可．【詳解】因為．故選B．4．【答案】B【分析】先求直線斜率，得到方向向量，再取到法向量.【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率，直線的一個方向向量為，則直線的一個法向量為．故選B.5．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分析周期性和單調(diào)性選出答案即可.【詳解】由題知關(guān)于選項A,最小正周期為,所以選項A錯誤;關(guān)于選項B,畫函數(shù)圖象如下:根據(jù)圖象可知選項B正確;關(guān)于選項C,畫函數(shù)圖象如下:根據(jù)圖象可知周期為,選項C錯誤;關(guān)于選項D,畫函數(shù)圖象如下:根據(jù)圖象可知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),選項D錯誤.故選B.6．【答案】A【分析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性求出m的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性即可判斷．【詳解】冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2，∴，∴在R上為奇函數(shù)，由，得，∵在R上為單調(diào)增函數(shù)，∴，∴恒成立．故選A．7．【答案】B【分析】結(jié)合圖形可得，則可得四邊形面積，后可得四邊形的面積.【詳解】設(shè)軸與交點為D，因軸，軸，則，又軸，則四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合A′B′⊥x′軸，則，故.則四邊形面積為，因四邊形面積是四邊形的面積的倍，則四邊形OABC的面積為.故選B.8．【答案】D【分析】連接，結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點在以點為圓心，為半徑的圓上，再由題意可知該圓與直線相切，利用點到直線的距離公式，即可求得答案.【詳解】連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點在以點為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點有且只有一個，則圓與直線相切，所以點到直線的距離，解得.故選D.9．【答案】ABC【分析】由題意得只需即可，然后逐個分析判斷.【詳解】若，則需，即，對于A，，所以A正確，對于B，，所以B正確，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D錯誤.故選ABC.10．【答案】BCD【分析】由為銳角三角形，正弦定理及余弦定理即可判斷A；由誘導(dǎo)公式即可判斷B；由為銳角三角形及三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由為銳角三角形及列出不等式組求解即可判斷D．【詳解】對于A，因為為銳角三角形，所以，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為為銳角三角形，且，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對于D，由得，，由為銳角三角形得，，即，解得，故D正確；故選BCD．11．【答案】CD【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概念以及事件的概率求法判斷即可.【詳解】由事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，可知兩事件互不影響，即M與N相互獨立，易得，，所以,且，綜上，選項C和選項D正確.故選CD.12．【答案】15【分析】根據(jù)分層抽樣的特征可知，抽取人數(shù)等于樣本容量乘以抽樣比，即可求出．【詳解】高三年級抽取的人數(shù)為．故答案為：15．13．【答案】【分析】由利用列舉法先求出基本事件總數(shù)，再判斷為整數(shù)滿足的基本事件個數(shù)，由此能求出為整數(shù)的概率．【詳解】從、、、中任取兩個數(shù)記為，作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)：，共12個不同的基本事件，其中為整數(shù)的只有兩個基本事件，所以其概率．故答案為：.14．【答案】【分析】先補全多面體ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱錐的體積，從而求解．【詳解】在多面體中，由，平面，平面，得平面，延長FE到G，使得，連接DG、AG，如圖：顯然，，幾何體為三棱柱，由平面平面，平面平面，平面，得平面，則三棱柱為直三棱柱，于是三棱錐的體積為：，所以原幾何體的體積為：.故答案為：.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運算律展開已知條件，將，代入求解可得；（2）利用向量平方等于模的平方，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）由，得，即，求得，再由，可得．（2）；．16．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算規(guī)則計算可得；(2)首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結(jié)果，最后由古典概型的概率公式計算可得.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；(2)樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，則年齡在區(qū)間抽?。ㄈ耍?，分別記作，，，，年齡在區(qū)間抽取（人），分別記作，，從這6人中隨機抽取2人進行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、、、、、、、、、共個，其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.17．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.(2)根據(jù)“第次擊中，后兩次未擊中”求得乙恰好射擊4次后被終止射擊的概率．【詳解】(1)甲，乙各射擊一次，至少擊中目標一次的概率為：.(2)乙恰好射擊4次后被終止射擊，則“第次擊中，后兩次未擊中”，故所求概率為：.18．【答案】(1)答案見解析(2)3(3)【分析】（1）選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡得到求解；選②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；選③利用三角形面積公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解題；（3）由正弦定理得到，從而有求解.【詳解】（1）若選①：由正弦定理得，則，，，．若選②：，切化弦，得到，則由正弦定理得，，即，，，若選③：，則，由正弦定理得，，.（2）由余弦定理得，，則，當且僅當“”時，取“＝”號，即．，則，當且僅當“”時取得最大值．（3）由正弦定理得，則，，由于為銳角三角形，則，..19．【答案】(1)①證明見詳解；②(2)【詳解】（1）①

當點M與端點D重合時，由可知，由題意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，平面，所以平面；②

過E作于點O，連接.因為平面，平面，所以，因為，，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角,且在四邊形ABCD中，A,O,E三點共線.因為所以，所以，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值為；（2）

過點做交于，所以直線與平面所成的角,即為直線與平面所成的角，過E作于點O，連接.由②同理可得平面，平面，所以平面平面，作，垂足為，平面平面，平面，所以平面，連接，是直線與平面所成的角，即，因為平面，平面，所以,則,易得，有，設(shè)，所以，所以，所以，，因為在中，斜邊大于直角邊，即，所以，所以，，在中由等面積，由,有則，，因為，，所以是二面角平面角，即，，，當且僅當時“＝”成立，故的最大值.2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．已知平面向量，，.若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位),則（

）A． B． C． D．3．在平行四邊形中，，且，若將其沿折起使平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知邊長為2的正方體，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．5．我市對上、下班交通情況作抽樣調(diào)查，上、下班時間各抽取12輛機動車測其行駛速度（單位：）如下表：上班時間182021262728303233353640下班時間161719222527283030323637則上、下班時間行駛時速的中位數(shù)分別為（

）A．28與28.5 B．29與28.5 C．28與27.5 D．29與27.56．已知個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A．， B．， C．， D．，7．正方形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，、分別是線段、的中點，則與所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．在△ABC中，D為AC的中點，E為線段CB上靠近B的三等分點，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點是的重心B．若，則點在邊的延長線上C．若在所在的平面內(nèi)，角所對的邊分別是，滿足以下條件，則D．若，且，則的面積是面積的10．如圖，在正六邊形中，點為其中心，則下列判斷正確的是（

）

A． B．C． D．11．（多選）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線統(tǒng)計圖．根據(jù)該折線統(tǒng)計圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期大致都在8月C．2017年1月至12月月接待游客量逐月增加D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)向量，且，則.13．在ΔABC中,角所對的邊分別為,角等于，若，則的長為.14．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來.若正四棱柱的高為，底面正方形的邊長為，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為.（容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留）四、解答題（本大題共5小題）15．已知，，.(1)求與的夾角；(2)當為何值時，向量的模長為？16．已知復(fù)數(shù)z=3+bi（bR），且（1+3i）·z純虛數(shù)（1）求復(fù)數(shù)z（2）若w=z·(2+i)，求復(fù)數(shù)w的模|w|17．為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)舉行了一次環(huán)保知識競賽，共有900名學(xué)生參加了這次競賽．為了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計．請根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻數(shù)分布直方圖，解答下列問題．分組頻數(shù)頻率40.080.160.2016合計501.00(1)填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內(nèi)）；(2)補全頻數(shù)分布直方圖；(3)若成績在75.5~85.5分的學(xué)生獲得二等獎，問獲得二等獎的學(xué)生約為多少人？18．如圖，在四棱錐中，面面，且，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．已知△ABC的角A，B，C對邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，求△ABC的面積S的值．

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，結(jié)合向量平行的坐標表示運算求解.【詳解】因為，，，則，又因為，則，解得.故選B.2．【答案】D【詳解】∵∴===故選D．3．【答案】D【詳解】在平行四邊形中，，若將其沿BD折起使平面平面，可得如圖所示的三棱錐：其中，三棱錐鑲嵌在長方體中，即三棱錐的外接球與長方體的外接球相同.∵∴外接球的半徑為∴三棱錐的外接球的表面積為故選D.【方法總結(jié)】本題主要考查三棱錐外接球的表面積的求法.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常用方法有：①若三棱棱兩兩垂直，則用（為三條棱的長）；②若平面（），則（為ΔABC外接圓的半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.4．【答案】A【詳解】連接交于,連接,由于,所以平面,所以角為所求線面角,其正切值為.故選.5．【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，由中位數(shù)的定義求上、下班時間行駛時速的中位數(shù)即可.【詳解】上班時間行駛速度的中位數(shù)是，下班時間行駛速度的中位數(shù)是.故選D.6．【答案】D【分析】利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為的平均數(shù)為，方差為，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選D.7．【答案】C【分析】連接，證明出平面，可得出，計算出、，利用異面直線所成角的定義可知，與所成的角為或其補角，計算出即可.【詳解】連接，如下圖所示：

四邊形為正方形，則，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，在ΔABC中，，，、分別是線段、的中點，，，，，所以，與所成的角為，且.故選C.【方法總結(jié)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．8．【答案】D【分析】利用向量減法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為和即可．【詳解】=﹣=+﹣=+﹣=+（﹣）﹣=﹣，故選D．【關(guān)鍵點撥】本題考查利用基底表示向量，解題關(guān)鍵理解向量加法、減法、數(shù)乘的幾何意義.9．【答案】ACD【分析】對于A，只需證明即可；對于B，我們只需證明，進而說明點并不在射線上；對于C，我們先設(shè)的內(nèi)心為，然后證明和重合；對于D，我們只需求出兩個三角形面積對比即可.【詳解】對于A，，即，則，所以點是的重心；對于B，若，則，所以點在邊的反向延長線上，故B錯誤；如圖對于C，延長到，使，同理，因為，所以，以為鄰邊作平行四邊形，所以，則，即，因為，同理，，所以，故C正確；如圖對于D，設(shè)為中點，，所以，即，由，所以，所以三點共線，所以.故D正確.故選ACD.【關(guān)鍵點撥】向量之間的加減法運算和內(nèi)積運算，以及內(nèi)積關(guān)于加法的分配律及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.10．【答案】ABC【分析】利用平行向量和相等向量的定義求解．【詳解】由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征可知，與方向相同，長度相等，，故選項A正確，與方向相反，，故選項B正確，由正六邊形的性質(zhì)可知，，故選項C正確，與不共線，∴不會相等，故選項D錯誤，故選ABC．11．【答案】ABD【分析】利用折線統(tǒng)計圖中的信息逐一判斷即可.【詳解】對A，接待游客量雖然逐月波動，但總體上逐年增加，故A正確；對B，折線統(tǒng)計圖可知，各年的月接待游客量高峰期大致都在8月，故B正確；對C，2017年8月至9月月接待游客量呈下降趨勢，故C錯誤；對D，折線統(tǒng)計圖可知，各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選ABD.12．【答案】27【分析】由向量共線的坐標表示可直接得答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．【答案】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】因為角等于，，所以由余弦定理可得，所以.故答案為：.【方法總結(jié)】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14．【答案】【分析】由題若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，求出半徑長再求表面積．【詳解】若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內(nèi)接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即所以球形容器的表面積故答案為：.15．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的運算律，求得，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案;（2）根據(jù)向量的模長為，結(jié)合模的計算以及數(shù)量積的運算律，可得到，求得答案.【詳解】（1）由題意得，則，得，由于，所以；（2）由于，解得或，即x的值為或.16．【答案】（1）z=3+i（2）【分析】（1）計算得到，得到答案.（2），再計算模長得到答案.【詳解】（1），則為純虛數(shù)，故，解得，故.（2），故.17．【答案】(1)填表見解析；(2)作圖見解析；(3)234人.【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和頻率的求解公式求解即可.（2）由（1）中表格中的數(shù)據(jù)完成頻數(shù)分布直方圖.（3）根據(jù)頻率分布表可求出成績在75.5～80.5分的學(xué)生頻率為0.10，成績在80.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.16，從而可得成績在75.5～85.5分的學(xué)生頻率為0.26，進而可求得獲得二等獎的人數(shù).【詳解】（1）補全頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率40.0880.