知識梳理一、一元二次方程及其解的概念一元二次方程的概念1.一元二次方程：等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.2.一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）是整式方程；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【注意】對于二次項(xiàng)的系數(shù)含有字母的方程，若字母的取值范圍不明確，則這個(gè)方程不一定是一元二次方程.例如，關(guān)于x的方程，當(dāng)時(shí)，該方程是一元一次方程.一元二次方程的一般形式1.一元二次方程的一般形式一般形式項(xiàng)及項(xiàng)的系數(shù)二次項(xiàng)為；二次項(xiàng)系數(shù)為.一次項(xiàng)為；一次項(xiàng)系數(shù)為.常數(shù)項(xiàng)為.特點(diǎn)方程左邊是關(guān)于未知數(shù)的二次整式，方程右邊為0.【注意】（1）“”是一元二次方程的重要組成部分，當(dāng)時(shí)，就成了一元一次方程，但如果明確了是一元二次方程，就隱含了這個(gè)條件.（2）確定一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)時(shí)，必須先將方程化成一般形式，習(xí)慣上把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).（3）指出一元二次方程的項(xiàng)和各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，一定要帶上系數(shù)前的符號.2.一元二次方程的特殊形式特殊形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)0000【注意】常將一元二次方程中的各項(xiàng)按未知數(shù)降冪的順序排列.一元二次方程的解（根）概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根將這個(gè)數(shù)代入一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，則該數(shù)是這個(gè)方程的根；若不相等，則該數(shù)不是這個(gè)方程的根.【注意】若一元二次方程有解，則解一定有兩個(gè).【拓展】關(guān)于一元二次方程根的三個(gè)重要結(jié)論（1）一元二次方程有一個(gè)根為.（2）一元二次方程有一個(gè)根為.（3）一元二次方程有一個(gè)根為.二、一元二次方程的解法直接開平方法解一元二次方程1.直接開平方法：利用平方根的意義直接開平方，求一元二次方程的解的方法叫作直接開平方法.2.方程的根（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有，所以方程無實(shí)數(shù)根.【注意】（1）直接開平方法只適用于能轉(zhuǎn)化為或形式的方程.（2）若，則x為p的平方根，即，切記不要漏掉負(fù)的平方根.（3）因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以關(guān)于x的一元二次方程有解的前提條件是p是非負(fù)數(shù)，即.配方法解一元二次方程1.配方法：把方程的左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式、右邊是一個(gè)常數(shù)的形式，進(jìn)而用直接開平方法求解，這種通過配成完全平方式來解一元二次方程的方法，叫作配方法.2.可化為的形式的一元二次方程的根（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x，都有，所以方程無實(shí)數(shù)根.3.用配方法解一元二次方程的一般步驟一般步驟方法示例一移移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號左邊.二化二次項(xiàng)系數(shù)化為1左右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)三配配方左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即四開開平方求根利用平方根的意義直接開平方【注意】配方法的依據(jù)是完全平方公式的逆用和直接開平方法，其實(shí)質(zhì)是對一元二次方程進(jìn)行變形，使其轉(zhuǎn)化為能夠直接開平方的方程形式，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解.公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式：當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根可寫為的形式，這個(gè)式子叫作一元二次方程的求根公式.2.公式法：解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫作公式法.3.用公式法解一元二次方程的步驟（1）整理方程：將方程整理為的形式，找到公式中的，要注意的符號.（2）計(jì)算根的判別式：將的值代入計(jì)算，并判斷的符號.（3）求根：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它適用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.因式分解法解一元二次方程1.因式分解法：先對方程的左邊因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫作因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）移項(xiàng)：將方程化為一般式；（2）分解：將方程的左邊分解為兩個(gè)一次式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令每個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）求解：解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.【注意】不能隨意在方程兩邊約去含未知數(shù)的代數(shù)式.如，若約去x，則會導(dǎo)致丟掉這個(gè)根.3.常見的可以用因式分解法求解的方程的類型常見類型因式分解為方程的解(a，b為常數(shù))三、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式：一般地，式子叫作一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母“”表示它，即.2.一元二次方程根的情況判斷方程的根的情況有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根無實(shí)數(shù)根上面結(jié)論反過來也成立，即當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，.【注意】一元二次方程有實(shí)數(shù)根包括一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根這兩種情況，此時(shí)，不要漏掉等號.【拓展】對于一元二次方程，當(dāng)異號時(shí)，方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程一定有一個(gè)根為0.3.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用（1）不解方程，判斷方程根的情況；（2）根據(jù)方程根的情況，確定方程系數(shù)中的字母的取值范圍；（3）應(yīng)用判別式證明方程根的情況.四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)語言若的兩個(gè)根為，則，文字語言一元二次方程的兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.使用條件（1）方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（2）方程有實(shí)數(shù)根，即.重要結(jié)論（1）若一元二次方程的兩根為，則，.（2）以實(shí)數(shù)為兩根的二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程是.【拓展】與一元二次方程的兩個(gè)根有關(guān)的幾個(gè)代數(shù)式的變形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.五、一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟列方程解應(yīng)用題，指的是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（即建立方程模型），然后通過解決數(shù)學(xué)問題來解決實(shí)際問題.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，也可歸納為：審、設(shè)、列、解、檢、答.步驟內(nèi)容摘要注意事項(xiàng)①審審清題意，明確已知和未知，找到它們之間的等量關(guān)系.等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中.②設(shè)設(shè)未知數(shù)，一種是直接設(shè)法，另一種是間接設(shè)法.一般要帶單位.③列用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示有關(guān)的量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程.方程兩邊單位要統(tǒng)一.④解根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)解法求出未知數(shù)的值.一般不必寫出解方程的過程.⑤檢檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否滿足所列方程，檢驗(yàn)該值在實(shí)際問題中是否有意義.一般兩個(gè)根中只有一個(gè)符合實(shí)際意義.⑥答寫出實(shí)際問題的答案.注意帶上單位.【注意】（1）一般情況下，題中問什么就設(shè)什么，即直接設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)元的方法叫直接設(shè)元法；如果直接設(shè)元列方程比較困難或列出的方程比較復(fù)雜，此時(shí)可以設(shè)其他相關(guān)的量為未知數(shù)，把問題中所求的量用含未知數(shù)的代數(shù)式表示，這種設(shè)元的方法叫間接設(shè)元法.某些問題中，為了便于列方程，還可以設(shè)輔助未知數(shù).（2）利用方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.分析等量關(guān)系時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，聯(lián)想基本關(guān)系式，刪除實(shí)際背景的文字描述，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)化的形式，列出方程.常見實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系及表示方法常見問題公式注意平均增長率（降低率）問題為起始量，為終止量，為增長（或降低）的次數(shù)，平均增長率公式：（為平均增長率）；平均降低率公式：（為平均降低率）.傳播問題、復(fù)息存款問題的本質(zhì)與平均增長率問題相同.在傳播問題中，為傳染數(shù)，在復(fù)息存款問題中，利率相當(dāng)于增長率.幾何圖形面積問題涉及的常見計(jì)算與證明有三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、勾股定理、各種規(guī)則圖形的面積、體積或周長公式.圖形問題常將數(shù)量關(guān)系隱含在圖形中，審題時(shí)需要結(jié)合圖形分析，當(dāng)所涉及的圖形是不規(guī)則圖形時(shí)，需割補(bǔ)成規(guī)則圖形或用“求補(bǔ)”（即“總體－多余”）的方法來處理.存款利息問題本息和=本金+利息；利息=本金×利率×期數(shù).如果存在利息稅，利息的計(jì)算要扣除繳稅的部分，本算法是“單息存款”的算法.“復(fù)息”即“利滾利”的算法同增長率.數(shù)字問題（1）兩位數(shù)=十位上的數(shù)字×10+個(gè)位上的數(shù)字（2）三位數(shù)=百位上的數(shù)字×100+十位上的數(shù)字×10+個(gè)位上的數(shù)字.用數(shù)位上的數(shù)字乘以它的計(jì)數(shù)單位，就可以將這個(gè)數(shù)表示出來.審題時(shí)一定要注意數(shù)與數(shù)字之間的聯(lián)合與區(qū)別.商品銷售問題；；；.在理解的基礎(chǔ)上記憶公式，針對實(shí)際問題理清各個(gè)量之間的關(guān)系.方法點(diǎn)撥1.解一元二次方程的識別問題等號兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，一般是先把這個(gè)方程化簡為一般形式，再看是否符合一元二次方程的定義，即是否符合一元二次方程的三要素：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【方法總結(jié)】判斷方程是不是一元二次方程，首先要化簡整理，使方程的右邊為0，左邊合并同類項(xiàng)，然后觀察是否滿足一元二次方程的定義.特別注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.2.解一元二次方程根的問題利用一元二次方程的根求字母或代數(shù)式的值的方法解題步驟解題注意事項(xiàng)第一步：將方程的根代入原方程.按目標(biāo)要求將方程適當(dāng)變形第二步：找未知和已知之間的聯(lián)系，將未知化為已知運(yùn)用整體代入的方法【技巧點(diǎn)撥】整體代入法求代數(shù)式的值已知含字母的方程的根求代數(shù)式的值時(shí)，如果所求代數(shù)式中涉及的字母的值不能直接求出，則常用整體代入法解答.即將所求代數(shù)式或其中一部分看成一個(gè)整體，通常這部分是已知條件或可利用已知條件求出的部分.3.解一元二次方程若一元二次方程可化為的形式，則宜選用直接開平方法；若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，則宜選用配方法；若一元二次方程整理后右邊為0，且左邊能進(jìn)行因式分解，則宜選用因式分解法；若用直接開平方法、配方法、因式分解法都不簡便，宜選用公式法.（一）用直接開平方法解一元二次方程形如或的方程，可以利用平方根的定義，直接開平方得或.【注意】根據(jù)平方根的性質(zhì)可知，一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以不要丟掉負(fù)數(shù)的情況.（二）用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步驟：①將方程化為一般形式.②方程的兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.③移項(xiàng)：使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).④配方：方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，化原方程為的形式.⑤求解：如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，那么可利用直接開平方法求解；如果方程的右邊是負(fù)數(shù)，那么原方程無實(shí)數(shù)根.【方法總結(jié)】通過用配方法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)方程左邊配成了關(guān)于未知數(shù)的完全平方式后，如果方程右邊是正數(shù)，那么這個(gè)方程就有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果方程右邊是零，那么這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如果方程右邊是負(fù)數(shù)，那么這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根.（三）用公式法解一元二次方程一元二次方程的根為.用公式法解一元二次方程的步驟：①將方程化為一般形式；②確定的值；③求出的值；④當(dāng)時(shí)，將的值及的值代入求根公式即可，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.【注意】在一元二次方程中，當(dāng)時(shí)，方程的根可以寫成的形式，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，而不是一個(gè)實(shí)數(shù)根.（四）用因式分解法解一元二次方程如果一元二次方程可化為方程的左邊為兩個(gè)因式的積、右邊為0的形式，那么根據(jù)“兩個(gè)因式的積等于0，這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)為0”，原方程可化為兩個(gè)一元一次方程來解.用因式分解法解一元二次方程時(shí)，方程右邊必須為0，左邊能直接分解因式的直接分解因式，不能直接分解因式的要先化成一般形式再分解因式.若不能分解因式，則化為一般形式公式法或用配方法解.【方法點(diǎn)撥】用因式分解法解一元二次方程，常用的公式有：①；②；③.4.解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問題如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，那么.在求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值時(shí)，關(guān)鍵是把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含兩根的和與積的形式.幾種常見的變形如下：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.求與兩根有關(guān)的代數(shù)式值的步驟：①求出兩根之和與兩根之積；②將所求值的代數(shù)式變形，化成用兩根之和、兩根之積表示的形式；③把兩根之和與兩根之積整體代入.【注意】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求方程中字母系數(shù)的值時(shí)，千萬不要忘記將字母代回原方程驗(yàn)證.因?yàn)楦c系數(shù)的關(guān)系時(shí)在一元二次方程根的判別式大于或等于0的前提下使用的.5.列一元二次方程解決實(shí)際問題（一）解增長（或降低）率問題解決這類問題的關(guān)鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎(chǔ)上發(fā)生的.分析、歸納、解決問題的同時(shí)，務(wù)必要記住公式，其中為增長（或降低）的基礎(chǔ)數(shù)，為增長（或降低）率，為增長（或降低）的次數(shù)，為增長（或降低）后的數(shù)量.（二）解幾何圖形面積問題解決圖形面積問題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把實(shí)際問題中的已知量和未知量歸結(jié)到某一個(gè)幾何圖形中，然后利用幾何知識來尋找它們之間的關(guān)系，列出一元二次方程求解.求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，一般是將不規(guī)則圖形拼湊或分割成規(guī)則圖形