第28講三角函數(shù)概念及誘導公式

知識梳理

知識點一：三角函數(shù)基本概念

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個

位置所成的圖形；

②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角．

（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是

Sk360，kZ．

（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的

終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬

于任何一個象限．

（4）象限角的集合表示方法：

2、弧度制

（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，

讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．

180

（2）角度制和弧度制的互化：180rad，1rad，1rad．

180

11

（3）扇形的弧長公式：lr，扇形的面積公式：Slrr2．

22

3、任意角的三角函數(shù)

（1）定義：任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，則siny，cosx，

y

tan(x0)．

x

（2）推廣：三角函數(shù)坐標法定義中，若取點PP(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一

yxy

點，設(shè)點P到原點O的距離為r，則sin，cos，tan(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號符號限符號限符號

sinR＋＋－－

cosR＋－－＋

tan{|k，kZ}＋－＋－

2

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

4、三角函數(shù)線

如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）

作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．

三角函數(shù)線

有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線

知識點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2cos21．

sin

（2）商數(shù)關(guān)系：tan(k)；

cos2

知識點三：三角函數(shù)誘導公式

公式一二三四五六

角2k(kZ)

22

正弦sinsinsinsincoscos

余弦coscoscoscossinsin

正切tantantantan

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫

作n；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷n所處的象限，并判斷題設(shè)三

22

角函數(shù)在該象限的正負；（3）當n為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當n為偶數(shù)時，

“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．

【解題方法總結(jié)】

sin

1、利用sin2cos21可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用tan可以實

cos

現(xiàn)角的弦切互化．

2、“sincos，sincos，sincos”方程思想知一求二．

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2(sincos)22

必考題型全歸納

題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別

4π4π

例1．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）已知角的終邊上一點的坐標為sin,cos，則的

55

最小正值為（）

π3π4π17π

A．B．C．D．

510510

【答案】D

4ππ3π4ππ3π3π

【解析】因為，所以sinsin=cos，

5210521010

4ππ3π3π

而coscos=sin，

521010

3π3π

所以角的終邊上點的坐標可寫為：cos,sin，

1010

3π3π17π

所以=-+2kπ,k?Z，因此的最小正值為2π.

101010

故選：D

9π

例2．（2024·全國·高三專題練習）下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（）

4

9π

A．2kπ45kZB．k360kZ

4

5π

C．k360315kZD．kπkZ

4

【答案】C

9π

【解析】對于A，B，2kπ45kZ，k360kZ中角度和弧度混用，不正確；

4

9ππ

對于C，因為2π與315是終邊相同的角，

44

9π

故與角的終邊相同的角可表示為k360315kZ，C正確；

4

5π5π9π

對于D，kπkZ，不妨取k0，則表示的角與終邊不相同，D錯誤，

444

故選：C

例3．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列各角中與437角的終邊相同的是（）

A．67B．77C．107D．137

【答案】B

【解析】與437角的終邊相同的角為437360k,kZ，

當k1時，43736077，B正確；

經(jīng)驗證，其他三個選項均不合要求.

故選：B

變式1．（2024·北京·高三北大附中?？茧A段練習）已知角的終邊為射線yx(x0)，

則下列正確的是（）

52

A．B．cosC．tan1D．sin1

4224

【答案】C

【解析】因為角的終邊為射線yx(x0)，

5

所以，角0,2時，，

4

5

所以，角的集合為=+2k,kZ，故A選項錯誤；

4

52

所以，coscos2k，故B選項錯誤；

42

53

tantan2ktan1，故C選項正確；

2424

53

sinsin2ksin1，故D選項錯誤.

4442

故選：C

【解題方法總結(jié)】

（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．

（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是

坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．

題型二：等分角的象限問題

例4．（2024·全國·高三專題練習）已知是銳角，那么2是（）．

A．第一象限角B．第二象限角

C．小于180°的正角D．第一或第二象限角

【答案】C

【解析】因為是銳角,所以0,,所以20,,滿足小于180°的正角.

2

其中D選項不包括90，故錯誤.

故選：C

例5．（2024·全國·高三專題練習）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限

【答案】A

【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.

∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.

∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、

二象限.

故選A.

2k

例6．（2024·浙江·高三專題練習）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()

36

A．第一象限或第二象限或第三象限

B．第一象限或第二象限或第四象限

C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上

D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上

【答案】D

【解析】當k0時，，終邊位于第一象限

6

5

當k1時，，終邊位于第二象限

6

3

當k2時，，終邊位于y軸的非正半軸上

2

當k3時，2，終邊位于第一象限

6

綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或y軸的非正半軸上

故選D

變式2．（1990·上?！じ呖颊骖}）設(shè)角屬于第二象限，且coscos，則角屬于（）

222

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

【解析】Q為第二象限角，90k360180k360kZ，

45k18090k180kZ；

2

當k2nnZ時，為第一象限角；當k2n1nZ時，為第三象限角；

22

為第一或第三象限角；

2

coscos，cos0，為第三象限角.

2222

故選：C.

5π

變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可

33

能在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

π

【解析】因為角的終邊與5的終邊重合，

3

552

所以2k，kZ，所以k，kZ，

3393

5

令k3n(nZ)，則2n(nZ)，此時的終邊位于第二象限；

393

11

令k3n1(nZ)，則2n(nZ)，此時的終邊位于第三象限；

393

17

令k3n2(nZ)，則2n(nZ)，此時的終邊位于第四象限．

393

所以的終邊不可能在第一象限，

3

故選：A．

變式4．（2024·全國·高三專題練習）若角是第一象限角，則是（）

2

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角

【答案】C

【解析】因為是第三象限角，所以k360k36090,kZ，

所以k180k18045,kZ，

2

當k為偶數(shù)時，是第一象限角，

2

當k為奇數(shù)時，是第三象限角.

2

故選：C．

【解題方法總結(jié)】

先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限

n

分布圖示．

題型三：弧長與扇形面積公式的計算

2

例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習）已知扇形的圓心角為π，扇

3

形的面積為3π，則該扇形的周長為__________.

【答案】62π

122

【解析】設(shè)扇形的半徑為R，利用扇形面積計算公式SπR3π，

23

可得R3；

2

所以該扇形的弧長為lπ32π，

3

所以周長為l2R62π.

故答案為：62π

例8．（2024·上海徐匯·上海市南洋模范中學校考三模）已知扇形圓心角60,所對的

弧長l6π，則該扇形面積為__________.

【答案】54π

π11

【解析】由弧長公式可得l6π=rr=18，所以扇形面積為Slr6π18=54π，

322

故答案為：54π

例9．（2024·全國·高三專題練習）在東方設(shè)計中存在著一個名為“白銀比例”的理念，這

個比例為2:1，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出

一種獨特的東方審美觀.如圖，假設(shè)扇子是從一個圓面剪下的，扇形的面積為S1，圓面剩余

S

2

部分的面積為S2，當2時，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時，扇子圓心角

S1

的弧度數(shù)為____________.

【答案】221π

【解析】設(shè)扇子圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為2π，圓的半徑為r，

11

則Sr2，S2πr2，

1222

1

2πr2

S22

因為2，即2，即2π2，

S12

1r

2

2π

所以221π.

21

故答案為：221π

變式5．（2024·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學名著，其對扇形田面積

給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形

田，下周長（弧長）為20米，徑長（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為_____

平方米.

【答案】100

【解析】因為徑長為20米，下周長為20米，

所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，

1

該扇形菜田的面積S=創(chuàng)2020=100平方米。

4

故答案為：100.

變式6．（2024·福建廈門·高三福建省廈門第六中學校考階段練習）若一個扇形的周長是4

為定值，則當該扇形面積最大時，其圓心角的弧度數(shù)是__.

【答案】2

【解析】設(shè)扇形的圓心角弧度數(shù)為，半徑為r，

4

則42rr，2，

r

114r2r

Sr2r2(2)2rr2r(2r)()21

22r2

當且僅當2rr，解得r1時，扇形面積最大.

此時2.

故答案為：2.

變式7．（2024·江西鷹潭·高三鷹潭一中?？茧A段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為

r，弧長為l，若扇形周長為20，當這個扇形的面積最大時，則圓心角______弧度．

【答案】2.

【解析】由題意，扇形的圓心角為，半徑為r，弧長為l，且扇形周長為20，

可得l2r20，即l202r，

11

則扇形的面積Slr(202r)r(10r)rr210r(r5)225，

22

l10

當r=5時，扇形面積取得最大值，此時2.

r5

故答案為：2.

【解題方法總結(jié)】

應(yīng)用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．

（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．

（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．

題型四：三角函數(shù)定義題

例10．（2024·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知P3,4是角終邊上的一點，則sin

（）

3434

A．B．C．D．

5547

【答案】B

44

【解析】由三角函數(shù)的定義可知sin，

32425

故選：B

2

例11．（2024·全國·高三對口高考）如果點P在角π的終邊上，且|OP|2，則點P的坐

3

標是（）

A．(1,3)B．(1,3)C．(3,1)D．(3,1)

【答案】B

2xP12y3

【解析】由三角函數(shù)定義知：cosπ，sinπP，

3|OP|23|OP|2

所以xP1，yP3，即P的坐標是(1,3).

故選：B

例12．（2024·北京豐臺·北京豐臺二中?？既＃┮阎cA的坐標為1,3，將OA繞坐標

π

原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至OB，則點B的縱坐標為（）

2

A．3B．1C．3D．1

【答案】D

31

【解析】設(shè)射線OA與x軸非負半軸所成夾角為，則sin，cos，

22

π

射線OB與x軸非負半軸所成夾角為，則，

2

π1yB1

所以sinsincos，又OB2，sin，所以y21.

22OBB2

故選：D

變式8．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)a<0，角的終邊與圓x2y21的交點為P(3a，4a)，

那么sin2cos（）

2112

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【解析】畫圖，角的終邊與圓x2y21的交點為P(3a，4a)，

設(shè)P(x，y)，則x3a，y4a，代入得(3a)2(4a)21，

1

解得a2，

25

∵a<0，

1

∴a，

5

34

∴P(，)，

55

又∵在單位圓中，cosx，siny，

34

∴cos，sin，

55

2

∴sin2cos，

5

故選：D

變式9．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，動點P，Q

從點A(1,0)出發(fā)在單位圓上運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點Q按順時針方向

6

11

每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則P，Q兩點在第2019次相遇時，點P的坐標為________.

6

【答案】(0,1)

【解析】由題意求得，P，Q兩點每一秒鐘相遇一次，則P，Q兩點在第2019次相遇時，經(jīng)

過了2019秒，求得點P轉(zhuǎn)過的周數(shù)，可得點P的坐標．因為點P按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)

6

11

弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，所以兩點相遇1次的路程是單位圓的周長，

6

即2，所以兩點相遇一次用了1秒，因此當兩點相遇2019次時，共用了2019秒，所以此

20196732019

時點P所轉(zhuǎn)過的弧度為336，由終邊相同的角的概念可知，與

6226

的終邊相同，所以此時點P位于y軸上，故點P的坐標為(0,1).

2

故答案為：(0,1).

【解題方法總結(jié)】

（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數(shù)值；已知角

α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．

（2）判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值

在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情

況．

題型五：象限符號與坐標軸角的三角函數(shù)值

13π

例13．（2024·全國·高三對口高考）若，則（）

7

A．sin0且cos0B．sin0且cos0

C．sin0且cos0D．sin0且cos0

【答案】C

13ππ

【解析】由2π，即為第四象限角，

77

所以sin0且cos0.

故選：C

例14．（2024·全國·高三專題練習）已知點Asin23,cos23是角終邊上一點，若

0360，則（）

A．113B．157C．293D．337

【答案】C

【解析】sin230,cos230，則點A在第四象限，

cos23sin67

由tantan67tan293，故293.

sin23cos67

故選：C.

例15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是第二象限角，則點(cos(sin),sin(cos))所

在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】D

【解析】因為是第二象限角，所以0sin1，1cos0，

進而硧定cos(sin)0，sin(cos)0.

所以點(cos(sin),sin(cos))在第四象限.

故選：D

變式10．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是第二象限角，則點（cos()，sin()）

所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

【解析】由題意知：cos0，sin0，進而得到coscos0，sinsin0，

所以點（cos()，sin()）位于第三象限.

故選：C

變式11．（2024·河南許昌·高三?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點Psin2023，tan2023

位于第（）象限

A．一B．二C．三D．四

【答案】B

【解析】因為sin2023sin5360223sin223sin430，

tan2023tan5360223tan223tan430，

所以點Psin2023，tan2023位于第二象限.

故選：B

變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知點Pcos,tan是第二象限的點，則的終邊

位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】C

【解析】∵點Pcos,tan是第二象限的點，

∴cos0，tan0，

由cos0可得，的終邊位于第二象限或第三象限或x軸的非正半軸；

由tan0可得，的終邊位于第一象限或第三象限，

綜上所述，的終邊位于第三象限.

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．

余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．

正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．

題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的

例16．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知是三角形的一個內(nèi)角，

5

且滿足sincos，則tan（）

5

1

A．2B．1C．3D．

2

【答案】A

514

【解析】將sincos兩邊同時平方可得12sincos，即2sincos；

555

9

所以(sincos)212sincos

5

35525

若sin+cos，解得sin,cos，這與是三角形的一個內(nèi)角矛盾，

555

35255

所以sin+cos，解得sin=,cos=，此時求得tan2.

555

故選：A.

6

例17．（2024·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知sincos，0π，則sincos

3

（）

232333

A．B．C．D．

3333

【答案】B

622222

【解析】因為sincos，所以sincos，即sin2sincoscos，

333

1

所以2sincos.

3

因為0π，所以cos0sin，所以sincos0.

214

因為sincossin22sincoscos21，

33

23

所以sincos.

3

故選：B.

1

例18．（2024·全國·高三專題練習）已知sincos，且0,π，sincos（）

5

77749

A．B．C．D．

55525

【答案】C

121

【解析】因為sincos，兩邊平方得sincos12sincos，

525

24

故2sincos0，所以sin與cos導號，

25

又因為0π，所以sin0，cos0，

2247

所以sincossincos12sincos1.

255

故選：C.

π

變式13．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知sinsin2，則tan（）

2

A．2B．1C．1D．2

【答案】B

π

【解析】因為sinsinsincos2，

2

2

sin

sincos2

由題意可得，解得2，

22

sincos12

cos

2

sin

因此，tan1.

cos

故選：B.

變式14．（2024·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）已知sin?cos是關(guān)于x的方

程3x22xa0的兩根，則a__________.

5

【答案】

6

Δ412a0

21

【解析】由題意：sincos，所以a，

33

a

sincos

3

22a45

所以sincos12sincos1，即6a50，解得a.

396

5

故答案為：.

6

2

變式15．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎猻incos，則

3

sin2________．

7

【答案】

9

2

【解析】sincos兩邊平方得：

3

22

sincos12sincos1sin2，

9

7

解得：sin2.

9

7

故答案為：

9

7

變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知sincos0π，則tan______．

13

12

【答案】

5

7249

【解析】已知sincos①，則sincos12sincos，

13169

60

sincos0，

169

0π，sin0，則cos0，sincos0，

228917

sincossincos12sincos②，

16913

125

聯(lián)立①②，得sin，cos

1313

12

tan，

5

12

故答案為：.

5

π1

變式17．（2024·全國·高三專題練習）若0,,tan，則sincos________．

22

5

【答案】

5

π

【解析】因為0,，則sin0,cos0，

2

sin1

又因為tan，則，

cos2cos2sin

55

且cos2sin24sin2sin25sin21，解得sin或sin（舍去），

55

5

所以sincossin2sinsin.

5

5

故答案為：.

5

1

變式18．（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知tan2，則的值是__________．

sin2cos2

【答案】5

【解析】因為tan2，

11

所以

sin2cos22sincoscos2sin2

cos2sin2

2sincoscos2sin2

1tan2

2tan1tan2

122

5，

22122

故答案為：5.

變式19．（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學校考二模）已知tanx3，則

3sin2x2sinxcosx__________.

【答案】923

4

【解析】因為tanx3，

2

3sin2x2sinxcosx3tan2x2tanx3323923

所以2、

3sinx2sinxcosx2222.

sinxcosx1tanx134

故答案為：923

4

sinxcosx

變式20．（2024·全國·高三對口高考）若2，求sinxcosx的值為__________.

sinxcosx

3

【答案】/0.3

10

sinxcosx

【解析】由2可得sinxcosx2(sinxcosx),sinx3cosx，

sinxcosx

sinxcosx

因為cosx0不適合2，故cosx0，

sinxcosx

所以tanx3，

sinxcosxtanx33

故sinxcosx，

sin2xcos2xtan2x19110

3

故答案為：

10

【解題方法總結(jié)】

（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義

求未知三角函數(shù)值．

（2）若無象限條件，一般“弦化切”．

題型七：誘導求值與變形

π3ππ

例19．（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知sin，且,，則

6344

π

sin_______．

3

61

【答案】/6

33

ππππ5ππ

【解析】因為,，所以,，故cos0，

44612126

2

所以π36

cos1.

633

ππππ6

sinsincos。

32663

故答案為：6

3

π3

例20．