單元評估驗(yàn)收（一）

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項中，.只有一項是符合題目要求的）

.1.在△A3。中，a=k,b=\[3k（k>0）,A=45°,則滿足條件的

三角形有（）

A.0個B.1個

C.2個D.無數(shù)個

解析：由正弦定理得急=癮，

所以01>3=姆必=*>1,即sinb>l,這是不成立的.所以沒

（L/

有滿足此條件的三角形.

答案：A

2.在△A3。中，已知°=g，b=2,3=45。，則角4=（）

A.30。或150°B.60°或120°

C.60°D.30°

解析：由正弦定理方得，sinA=^sinB=^sin45°=1,

oijn/A.sinIJu乙乙

又因?yàn)椤?gt;a,故4=30°.

答案：D

3.已知三角形三邊之比為5：7：8,則最大角與最小角的和為

（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

解析：設(shè)最小邊為5,則三角形的三邊分別為5,7,8,設(shè)邊長

為7的邊對應(yīng)的角為0,則由余弦定理可得49=25+64—80cos0,

解得cos夕=；,所以。=60。.則最大角與最小角的和為180°-60°=

120°.

答案：B

4.在△A3。中，a=15,b=20,A=30°,貝！)cos5=()

A.袋B4

JJ

C.TD.害

JJ

解析，因?yàn)橐籢=—^―

常忻.N7jsinAsin5，

圻比15_20

所以sin30°—sin"

2

解得sinB=~.

J

因?yàn)椤?gt;a,所以5>A,故3有兩解，

所以cos5=±六-.

答案：A

5.在△A3。中，已知cosAcos5>sinAsin貝!|△AbC是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

解析：由cosAcosB>sinAsinB,得

cosA-cosB—sinAsin5=cos(A+b)>0,

所以A+bV90°,所以。>90。，。為鈍角.

答案：C

6.如圖所示，海.平面上的甲船位于中心。的南偏西30。，與。

相距15海里的C處.現(xiàn)甲船以35海里/時的速度沿直線CB去營救

位于中心O正東方向25海里的B處的乙船,則甲船到達(dá)B處需要的

時間為（）

AJ小時B.1小時

3

小時D.2小時

解析：在△03。中，由余弦定理，得CB2=CO2+OB2-

222=35

2COOBcos120°=15+25+15X25=35,因此CB3591(小

時），因此甲船到達(dá)3處需要的時間為1小時.

答案：B

7.已知△A3C中，sinA：sin：sinC=k:優(yōu)+1)：2k,則k

的取值范圍是()

A.(2,+°°)B.(一8,0)

C2,D.&+8

解析：由正弦定理得：a=mk,b=tn(k+l),c=2mk(m>0),

a+b>c,\m(24+1)>2mk,

因?yàn)椤醇?、

[a+c>Z>,[3mk>m(k+1),

所以

答案：D

8.△A5C的兩邊長分別為2,3,其夾角的余弦值為:，則其外

接圓的直徑為（）

9啦4

A.

12B.4

9啦

18

解析：設(shè)另一條邊為x,貝1】一=22+32—2義2><3><；,

所以好=9,所以*=3.

12\l2

設(shè)cos8=3,貝"sin

JJ

339A/2

所以2R=

sin02啦4?

3

答案：B

9.已知△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對邊長分別為a,b,c,若

A=-r,b=2acosB,c=l,則△ABC的面積等于（）

A.坐B壽

C.乎D.*

解析：由正弦定理得sin3=2sinAcos3,故tan3=2sin4=2sin

甘木,又b￡（0,n）,所以3=々，又4=3=三，則△ABC是正三

JJJ

角形，所以S^ABc=50csinA=]X1X1

答案：B

10.在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且sin2]

則△A3C的形狀為（）

/C

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

-,一，=1-cosA1b

解析：由已知可得一一=不一二，

即cosA=~,b=ccosA.

法一由余弦定理得

Z>2+c2-?2

COSA=T7,

Z>2+c2—a2

貝ijb=c-

2bc

所以c2=q2+",由此知△Ab。為直角三角形.

法二由正弦定理，得sinB=sinCeosA.

在△ABC中，sinB=sin(A+Q,

從而有sinAcosC+cosAsinC=sinCeosA,

即sinAcosC=0.

在△ABC中，sinA#=0,

元

所以cosC=0.由此得C=刀,

故△ABC為直角三角形.

答案：B

11.一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，如圖，到A處

時測得公路北側(cè)一鐵塔底部。在西偏北30。的方向上，行駛200m后

到達(dá)B處，測得此鐵塔底部C在西偏北75。的方向上，塔頂D的仰

角為30。，則此鐵塔的高度為（）

1一二甲、.

A.10皿B.50\/6m

C.100*mD.100\/2m

解析：設(shè)此鐵塔高則BC=a,在△45。中，NA4C=

30°,ZCBA=105°,ZBCA=45°,AB=200.

根據(jù)正弦定理得舒=端條，解得/

答案：A

12.在△A3。中，AB=7,AC=6,M是3。的中點(diǎn)，AM=4,

則BC等于（）

A.亞B.V106

C.^69D.V154

解析：設(shè)bC=a,則bM=MC=g..

在△A5M中，AB2=BM1+AM1-2BM?AM-cosZAMB,

即72=；“2+42—2XTX4XCOSNAM5,①

在△4CM中，AC2=AM2+CM2-2AM-CM-COSZAMC,

即62=42+ja2+2X4X^XcosZAM5,②

①+②得72+62=42+42+；〃，所以豕.

答案：B

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填

在題中橫線上）

13.已知△ABC中，3。2—2而+3"—3。2=0,則cosC=.

解析：由3層一2而+3"—3c?=0,

得c2=a2-\~b2—^ab.

根據(jù)余弦定理，得

?2+Z>2-c2

COSC=Zl_a7b

2

〃2+。2—〃2一左+王必

J

lab

=1

一3，

所以COSC=T.

J

1

答案：Q

J

14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。所對邊的.長分別為a,b,c.若辦

+c=2a,3sinA=5sinB,則角。=.

解析：由已知條件和正弦定理得：3a=5b,且。+c=2a,

n,5b一，=7b

貝4a=q,c=2a-b9

a2+Z>2—c21

cosC=lab=~T

2元

又OVCV兀，因此角。=大■.

J

答案：v

J

15.在△A3。中，4滿足點(diǎn)sinA+cos4=LAB=2,BC=2小,

則△A3C的面積為.

\/3sinA+cosA=l,

解析：由?22241

Ism2A+cosA=l,

f.A至

sin

得‘

cosA=—

所以4=120°,

由正弦定理得彘

所以sinC=T.

因?yàn)锳B<BC,

所以。=30°,所以3=30°,

所以S=^ABXBCXsin5=；義2X24Xsin30°=小.

答案：小

16.太湖中有一小島C,沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽

車在公路A處測得小島在公路的南偏西15。的方向上，汽車行駛1km

到達(dá)3處后，又測得小島在南偏西75。的方向上，則小島到公路的距

離是km

解析：如圖所示，ZCAB=15°,ZCBA=180°-75°=105°,N

ACB=180°-105°-15°=60°,AB=lkm.

A

B

BCAB

由正弦.定理得

sinZCABsinNACb'

72

所..以5C=刖1唱K15。=A/6^—^(km).

設(shè)。到直線4b的距離為d,

貝1d=BCsin7.^f乖；P=興(km).

答案:平

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字

說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)設(shè)△A3C的內(nèi)角4、B、。所對的邊長分

別為“、b、c,且acosb=3,bsinA=4.

(1)求邊長a；

(2)若△ABC的面積S=10,求△A3。的周長/.

解：⑴由題意得：器!甘，

由正弦定理得：|=sinA

sin3'

cosB3

所以

sinB不

cos2.B=^sin2￡?=看(1—cos2.B),

即cos2B=^,

由題意知：a2cos2,B=9,

所以"=25,得a=5或a=—5(舍去).

所以a=5.

(2)因?yàn)镾=^bcsinA=2c,

所以，由S=10得c=5,

應(yīng)用余弦定理得：

b=Aja12+*c2-2accosB=2/.

故△ABC的周長，=a+)+c=2(5+d^).

18.(本小題滿分12分)在△A5C中，角4、B、。所對的邊分別

為。、b、c,且a=2,cosb=g.

(1)若b=4,求sinA的值;

(2)若△45。的面積S^BC=4,求從c的值.

3

解：.⑴因?yàn)閏os3=w>0,0<8<兀，

所以sinB=\I1—COS2B=~^.

由正弦定理得f=3，

smAsinB9

a2

所以B=~z.

sinA=Tbsin5

14

(2)因?yàn)镾^ABc=^acsinB=-c=49

所以c=5.

由余弦定理得b2=a2-\~c2—2?ccosB=

3

22+52-2X2X5X-=17,

所以行或》=一亞(舍去).

所以b=\[17.

19.(本小題滿分12分)設(shè)△45。的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為

a,b,c,(a-\-b~\-c)(a-b+c)=ac.

⑴求B；

木―1,

⑵右sinAsinC=-一,求vC.

解：(1)因?yàn)?a+0+c)(a—0+c)=ac,

所以a2+c2—b2=-ac,

層+，一萬2

由余弦定理得cos

又3￡(0°,180°),因此5=120°.

(2)由(1)知A+C=60。，①

所以cos(A—,C)=cosAcosC+sinAsinC

=cosAcosC—sinAsinC+2sinAsinC

=cos(A+C)+2sinAsinC

=1+2X小一1_小

4?2，

又因?yàn)橐?0°<4—。<60°,

故4一。=30。或4一。=一30°.②

由①②得。=15。或C=45。.

20.（本小題滿分12分）某觀測站在城4南偏西20。方向的。處,

由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°,在C處測得公路距C

處31千米的B處有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到達(dá)

O處，此時C、。間的距離為21千米，問這人還要走多少千米可到

達(dá)城4?

解：如圖所示，設(shè)NAC￡）=a,

ZCDB=fi.

在△03。中，由余弦定理得cos/?=

BD2+CD2-CB2

2BDCD

202+212~312_1

2X20X21=-7J

4小

所以sinfi=

7,

4\/31A/3

而優(yōu)

sina=sinQ?—60°)=sinos60°—sin60°cos///

yl=5^3

X7-14,

4人，21AD

在△AC0中，sin60o=^；,

?21Xsina,,

所以礦=15（千米）.

所以這人還要再走15千米可到達(dá)城A.

21.（本小題.滿分12分）在△A3C中，角A,B,。所對的邊分別

為a,b,c,cos2。+26cosc+2=0.

（1）求角。的大?。?/p>

⑵若b=^2a,/\ABC的面積為岸sinAsinB,求sin4及c的值.

解：（1）因?yàn)閏os2C+2啦cosC+2=0,

所以2COS2C+2^/2COSC+l=0,

即NicosC+1）2=0,

所以cosC=

37t

又。￡（0,兀），所以。=].