西南交大《工程數(shù)學(xué)Ⅰ》14次離線作業(yè)?摘要：本文檔圍繞西南交大《工程數(shù)學(xué)Ⅰ》的14次離線作業(yè)展開。首先闡述了工程數(shù)學(xué)Ⅰ課程的重要性及其在工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。接著對(duì)每次離線作業(yè)的知識(shí)點(diǎn)、題型進(jìn)行了詳細(xì)分析，包括線性代數(shù)部分的行列式、矩陣、向量空間、線性方程組等內(nèi)容，以及概率論部分的隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)字特征等。通過對(duì)作業(yè)題目的解答和思路剖析，展示了如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，強(qiáng)調(diào)了理解基本概念和掌握解題方法的關(guān)鍵作用。最后總結(jié)了完成作業(yè)過程中的收獲與體會(huì)，以及對(duì)該課程教學(xué)和學(xué)習(xí)的一些思考。

一、引言工程數(shù)學(xué)Ⅰ是西南交通大學(xué)一門重要的基礎(chǔ)課程，它融合了線性代數(shù)和概率論等多個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識(shí)，為工科學(xué)生后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)提供了必不可少的數(shù)學(xué)工具。通過完成14次離線作業(yè)，學(xué)生能夠加深對(duì)課程知識(shí)的理解，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際工程問題的能力。

二、線性代數(shù)部分

（一）行列式1.知識(shí)點(diǎn)回顧行列式的定義：由\(n^2\)個(gè)數(shù)排成\(n\)行\(zhòng)(n\)列的數(shù)表所確定的一個(gè)數(shù)，其計(jì)算方法根據(jù)階數(shù)不同有不同的公式。行列式的性質(zhì)：如換行（列）變號(hào)、數(shù)乘某行（列）、倍加行（列）等性質(zhì)，這些性質(zhì)可用于簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。2.作業(yè)題目分析例如計(jì)算一個(gè)三階行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)。解題思路：利用行列式的性質(zhì)，將其化為上三角行列式，即主對(duì)角線下方元素全為零的行列式，然后根據(jù)上三角行列式的值等于主對(duì)角線元素之積來計(jì)算。具體步驟：先通過倍加行（列）操作，使第一列除\(a_{11}\)外其余元素為零。再對(duì)第二列進(jìn)行類似操作，使第二列除\(a_{11}\)和\(a_{22}\)外其余元素為零。最終得到上三角行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&a_{22}&b_{23}\\0&0&a_{33}\end{vmatrix}\)，其值為\(a_{11}a_{22}a_{33}\)。

（二）矩陣1.知識(shí)點(diǎn)回顧矩陣的定義：由\(m\timesn\)個(gè)數(shù)排成的\(m\)行\(zhòng)(n\)列的矩形數(shù)表。矩陣的運(yùn)算：包括加法、減法、數(shù)乘、乘法等。矩陣加法和減法要求兩個(gè)矩陣行數(shù)和列數(shù)相同；數(shù)乘是用一個(gè)數(shù)乘以矩陣的每個(gè)元素；矩陣乘法要求前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)，其結(jié)果矩陣的元素是通過對(duì)應(yīng)行與列元素乘積之和得到。矩陣的逆：對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，若存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)（\(I\)為單位矩陣），則\(B\)是\(A\)的逆矩陣，記為\(A^{1}\)。2.作業(yè)題目分析題目：已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A^{1}\)。解題思路：先求矩陣\(A\)的行列式\(|A|\)，若\(|A|\neq0\)，則可通過公式\(A^{1}=\frac{1}{|A|}A^{*}\)來求逆矩陣，其中\(zhòng)(A^{*}\)是\(A\)的伴隨矩陣。具體步驟：計(jì)算\(|A|=1\times42\times3=2\)。求伴隨矩陣\(A^{*}\)，\(A^{*}=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)。則\(A^{1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。

（三）向量空間1.知識(shí)點(diǎn)回顧向量空間的定義：設(shè)\(V\)為\(n\)維向量的集合，如果集合\(V\)非空，且對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，則稱集合\(V\)為向量空間。向量組的線性相關(guān)性：向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)稱為線性相關(guān)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)；否則稱為線性無關(guān)。2.作業(yè)題目分析題目：判斷向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,3,4)\)，\(\alpha_3=(3,4,5)\)是否線性相關(guān)。解題思路：設(shè)存在一組數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)，得到一個(gè)齊次線性方程組，通過求解該方程組的系數(shù)行列式來判斷\(k_1,k_2,k_3\)是否有非零解。具體步驟：由\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)可得：\(\begin{cases}k_1+2k_2+3k_3=0\\2k_1+3k_2+4k_3=0\\3k_1+4k_2+5k_3=0\end{cases}\)計(jì)算系數(shù)行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}\)，通過行列式的計(jì)算方法可得其值為\(0\)。所以該齊次線性方程組有非零解，即向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)。

（四）線性方程組1.知識(shí)點(diǎn)回顧線性方程組的一般形式：\(A\mathbf{x}=\mathbf\)，其中\(zhòng)(A\)是系數(shù)矩陣，\(\mathbf{x}\)是未知數(shù)向量，\(\mathbf\)是常數(shù)向量。求解方法：包括克萊姆法則（適用于系數(shù)行列式不為零的\(n\)元線性方程組）、消元法等。對(duì)于非齊次線性方程組\(A\mathbf{x}=\mathbf\)，其解的情況由系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)和增廣矩陣\((A|\mathbf)\)的秩\(r(A|\mathbf)\)決定；對(duì)于齊次線性方程組\(A\mathbf{x}=0\)，其解空間的維數(shù)為\(nr(A)\)。2.作業(yè)題目分析題目：求解線性方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+3x_2+4x_3=2\\3x_1+4x_2+5x_3=3\end{cases}\)。解題思路：通過增廣矩陣\((A|\mathbf)\)進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，然后求解。具體步驟：增廣矩陣\((A|\mathbf)=\begin{pmatrix}1&2&3&1\\2&3&4&2\\3&4&5&3\end{pmatrix}\)。進(jìn)行初等行變換：\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)得到\(\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&1&2&0\\0&2&4&0\end{pmatrix}\)。\(r_32r_2\)得到\(\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&1&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。由此可得方程組的解為\(\begin{cases}x_1=1+x_3\\x_2=2x_3\end{cases}\)，其中\(zhòng)(x_3\)為自由未知量。

三、概率論部分

（一）隨機(jī)事件與概率1.知識(shí)點(diǎn)回顧隨機(jī)事件的定義：在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。概率的定義：事件\(A\)發(fā)生的可能性大小，記為\(P(A)\)。概率具有非負(fù)性、規(guī)范性（\(P(\Omega)=1\)，\(\Omega\)為樣本空間）、可列可加性等性質(zhì)。概率的計(jì)算方法：古典概型（樣本空間有限且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等）、幾何概型（樣本空間是一個(gè)幾何區(qū)域，事件發(fā)生的概率與區(qū)域的幾何度量成正比）、概率的加法公式（\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)\)）等。2.作業(yè)題目分析題目：從\(1\)到\(10\)這\(10\)個(gè)整數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，求取得偶數(shù)的概率。解題思路：這是一個(gè)古典概型問題，樣本空間\(n(\Omega)=10\)，取得偶數(shù)的基本事件個(gè)數(shù)\(n(A)=5\)，根據(jù)古典概型概率公式\(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}\)計(jì)算。具體步驟：直接代入公式可得\(P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)。

（二）隨機(jī)變量及其分布1.知識(shí)點(diǎn)回顧隨機(jī)變量的定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為\(\Omega\)，\(X=X(\omega)\)是定義在\(\Omega\)上的單值實(shí)函數(shù)，則稱\(X\)為隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量：其取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，用分布律\(P(X=x_k)=p_k\)，\(k=1,2,\cdots\)來描述其概率分布。連續(xù)型隨機(jī)變量：其取值充滿某個(gè)區(qū)間，用概率密度函數(shù)\(f(x)\)來描述其概率分布，且\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)。2.作業(yè)題目分析題目：已知離散型隨機(jī)變量\(X\)的分布律為\(P(X=0)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=2)=\frac{1}{4}\)，求\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)。解題思路：根據(jù)分布函數(shù)的定義\(F(x)=P(X\leqx)\)，分區(qū)間進(jìn)行討論。具體步驟：當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(F(x)=P(X\leqx)=0\)。當(dāng)\(0\leqx\lt1\)時(shí)，\(F(x)=P(X=0)=\frac{1}{4}\)。當(dāng)\(1\leqx\lt2\)時(shí)，\(F(x)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)。當(dāng)\(x\geq2\)時(shí)，\(F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1\)。所以\(F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{1}{4},0\leqx\lt1\\\frac{3}{4},1\leqx\lt2\\1,x\geq2\end{cases}\)。

（三）數(shù)字特征1.知識(shí)點(diǎn)回顧數(shù)學(xué)期望：對(duì)于離散型隨機(jī)變量\(X\)，\(E(X)=\sum_{k}x_kp_k\)；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)，\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平。方差：\(D(X)=E((XE(X))^2)\)，它衡量了隨機(jī)變量取值的離散程度。常見分布的數(shù)字特征：如二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)的數(shù)學(xué)期望\(E(X)=np\)，方差\(D(X)=np(1p)\)等。2.作業(yè)題目分析題目：已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。解題思路：根據(jù)正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的數(shù)字特征，直接得出\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)。具體步驟：因?yàn)閈(X\simN(1,4)\)，所以\(E(X)=1\)，\(D(X)=4\)。

四、作業(yè)收獲與體會(huì)通過完成這14次離線作業(yè)，我對(duì)工程數(shù)學(xué)Ⅰ這門課程有了更深入的理解。在線性代數(shù)部分，行列式的計(jì)算讓我熟練掌握了行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用，能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算各種階數(shù)的行列式。矩陣的運(yùn)算和逆矩陣的求解，使我明白了矩陣在數(shù)學(xué)和工程中的重要作用，以及如何通過運(yùn)算來解決實(shí)際問題。向量空間和線性方程組的學(xué)習(xí)，讓我能夠運(yùn)用相關(guān)知識(shí)判斷向量組的線性相關(guān)性，求解線性方程組，這對(duì)于后續(xù)處理工程中的線性模型至關(guān)重要。

在概率論部分，隨機(jī)事件與概率的計(jì)算讓我理解了概率的本質(zhì)和計(jì)算方法，能夠根據(jù)不同的模型解決概率問題。隨機(jī)變量及其分布的學(xué)習(xí)，使我學(xué)會(huì)了用分布律和分布函數(shù)來描述隨機(jī)變量的概率特征，以及如何根據(jù)這些特征進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。數(shù)字特征的掌握讓我能夠從平均水平和離散程度等方面來刻畫隨機(jī)變量，為分析實(shí)際問題提供了有力的工具。

在完成作業(yè)過程中，我也體會(huì)到了扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)的重要性。每一道題目都需要準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)的概念和定理，只有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解透徹，才能順利解題。同時(shí)，通過不斷地練習(xí)和總結(jié)，我提高了解題能力和邏輯思維能力。遇到難題時(shí)，我學(xué)會(huì)了仔細(xì)分析題目條件，尋找解題思路，逐步推導(dǎo)答案。

五、對(duì)課程教學(xué)和學(xué)習(xí)的思考對(duì)于課程教學(xué)，希望老師在講解知識(shí)點(diǎn)時(shí)，能夠結(jié)合更多實(shí)際工程案例，讓我們更直觀地感受到工程數(shù)學(xué)Ⅰ在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值，提