廣東省廣州市廣雅中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)模擬精編試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.某品牌的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動程序：開機(jī)加熱到水溫100℃,停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫（°C）與

開機(jī)后用時(shí)（加加）成反比例關(guān)系，直至水溫降至30C,飲水機(jī)關(guān)機(jī).飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動開機(jī)，重復(fù)上述自動程

序.若在水溫為30c時(shí)，接通電源后，水溫y（C）和時(shí)間x（min）的關(guān)系如圖所示，水溫從100C降到35c所用的

時(shí)間是（）

Q儂

07(minj

A.27分鐘B.20分鐘C.13分鐘D.7分鐘

2.(2017啷州)如圖四邊形ABC。中,AD〃BCtNbCD=900,A3=5C+AD,NOAC=45o,￡為CD上一點(diǎn)，且N5AE=45。.若

CD=4,則△ABE的面積為()

/

AD

A.HB*c.2D.a

3.已知正比例函數(shù)y=kx(k30)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-3),則此正比例函數(shù)的關(guān)系式為（）.

1

A.y=-3xB.y=3xC.y=D.y=~3X

4.如圖，QABCD的對角線AC,BD用交于點(diǎn)O,E是AB中點(diǎn)，且AE+EO=4,貝gABCD的周長為（）

5.已知M,N,P,Q四點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是()

B.NNOP=132。

C.NPON比大D.NMO。與NMO尸互補(bǔ)

6.對于下列調(diào)查：①對從某國進(jìn)口的香蕉進(jìn)行檢驗(yàn)檢疫；②審查某教科書稿；③中央電視臺“雞年春晚”收視率.其中

適合抽樣調(diào)查的是()

A.①?B.①?C.②③D.①②③

7.利用運(yùn)算律簡便計(jì)算52x(-999)+49x(-999)+999正確的是

A.-999x(52+49)=-999x101=-100899

B.-999x(52+49-1)=-999x100=-99900

C.-999x(52+49+1)=-999x102=701898

D.999x(52+4999)=999x2=1998

8.如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,-4),頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)y='(x<0)

x

的圖象經(jīng)過菱形OABC中心E點(diǎn)，則k的值為()

A.6B.8C.10D.12

9.某圓錐的主視圖是一個(gè)邊長為3cm的等邊三角形，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是()

A.4.5ncm2B.3cm2C.47rcm2D.37tcm2

10.下列命題是假命題的是()

A.有一個(gè)外角是120。的等腰三角形是等邊三角形

B.等邊三角形有3條對稱軸

C.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

D.有一邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等

11.如圖在△ABC中，AC=BCt過點(diǎn)。作a）_LA3,垂足為點(diǎn)&,過&作O￡〃3C交AC于點(diǎn)E,若AD=6,AE

=5,貝］sinNEOC的值為（）

12.如圖，已知E,B,F,C四點(diǎn)在一條直線上，EB=CF,/A=ND,添加以下條件之一,仍不能證明一ABCMDEF

的是（）

A.4=/ABCB.AB=DEC.AB//DED.DF//AC

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖是一位同學(xué)設(shè)計(jì)的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖.點(diǎn)尸處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)4出發(fā)經(jīng)平

面鏡反射后剛好到古城墻C&的頂端C處，已知人CD±BD,測得米，月尸=3米，P&=15米，那么

該古城墻的高度CD是米.

3

14.如圖，在菱形ABCD中，DE_LAB于點(diǎn)E,cosA=-,BE=4,貝JtanNDBE的值是___

15.正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長為3的正方形ABCD邊上，若AE=x,正方形EFGH的面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)

系式為.

圖2

20.（6分）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）.DE〃AB交AC于點(diǎn)F,CE/7AM,

連結(jié)AE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，求證：四邊形ABDE是平行四邊形;

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.

（3）如圖3,延長BD交AC于點(diǎn)H,若BH_LAC,且BH=AM.

①求/CAM的度數(shù):

②當(dāng)FH=百，DM=4時(shí)，求DH的長.

21.（6分）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：

如圖1,在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，ZBAO=30",ZOAC=75°,AO=3^，BO：CO=1：3,求AB的長.

經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD〃AC,交AO的延長線于點(diǎn)D,通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）.

請回答：ZADB=。，AB=.請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC±AD,AO=3^，ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：

3,求DC的長.

AAA

D

BOCB、、、；0c/

（圖i）D（圖2）

c（圖3）

22.（8分）問題提出

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD的中點(diǎn)，則NAEBZACB（填

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，NAPB最大？并說明理由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即AB=6米），下邊沿到地面的

距離BD=H.6米.如果小剛的睛睛距慎地面的高度EF為1.6米，他從遠(yuǎn)處正對廣告牌走近時(shí)，在P處看廣告效果」最

好（視角最大），請你在圖③中找到點(diǎn)P的位置,并計(jì)算此時(shí)小剛與大樓AD之間的距離.

23.（8分）一個(gè)不透明的袋子中，裝有標(biāo)號分別為1、?1、2的三個(gè)小球，他們除標(biāo)號不同外，其余都完全相同；

（1）攪勻后，從中任意取一個(gè)球，標(biāo)號為正數(shù)的概率是;

（2）攪勻后，從中任取一個(gè)球，標(biāo)號記為k,然后放回?cái)噭蛟偃∫粋€(gè)球，標(biāo)號記為b,求直線嚴(yán)自+力經(jīng)過一、二、

三象限的概率.

4a

24.（10分）如果a2+2a-l=0,求代數(shù)式5―？〉/一的值.

aa-2

25.（10分）如圖，正方形ABCD的邊長為2,BC邊在x軸上，BC的中點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，過定點(diǎn)M（-2,0）與動點(diǎn)

P（0,t）的直線MP記作1.

⑴若1的解析式為y=2x+4,判斷此時(shí)點(diǎn)A是否在直線【上，并說明理由；

⑵當(dāng)直線1與AD邊有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍.

26.（12分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE=AF.

連接AC交EF于點(diǎn)O,延長OC至點(diǎn)M,使OM=OA,連接EM、FM.判

斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論.

27.（12分）如圖，小巷左石兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離8c為0.7米，梯子

頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離4刃為

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、C

【解析】

先利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后將產(chǎn)35代入，從而求解.

【詳解】

解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=白，將(7,100)代入，得k=700,

X

700

??y=----,

x

33、700

將y=35代入y=------,

x

解得20；

，水溫從100℃降到35c所用的時(shí)間是：20-7=13,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

2、I)

【解析】解：如圖取CD的中點(diǎn)F,連接BF延長BF交AD的延長線于G,作FHA.AB于H,EK1.AB于K.作BTLAD

干7:":RC〃AG,：.ZRCF=ZFDG,VZBFC=ZDFG.FC=DF.：./\RCF^/^GDF.:?RC=DG.RF二FG.

*：AB=BC+ADfAG=AD+DG=AD+BCf：.AB=AGf*：BF=FGt：.BFA.BG,NABF=NG=NCBF,?:FH工BA,FC±BC,

：.FH=FCf易證AFB8AFBH,bFA啥MAD,:?BC=BH,AD=ABf由題意AD=OC=4,設(shè)BC=TD=BH=x,在

222

中，(x+4)=4+(4-x),：.x=l,:.BC=BH=TD=1,AI3=5t設(shè)AA=￡K=y,DE=zr

*：AE^AI^+EK^AD^DE2,8/^^"心+猿杼二月8+石。，，42+z2=)，2①，(5-y)2+j2=12+(4-z)2@,由①②可得y=^,

.,.SA4?￡=^x5xi?,故選D.

.

點(diǎn)睛：本題考查直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、勾股定理、二元二次方程組等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

3、A

【解析】

根據(jù)待定系數(shù)法即可求得.

【詳解】

解：:正比例函數(shù)尸Ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-3）,

:.-3=k,即k=-3,

，該正比例函數(shù)的解析式為：y=-3x.

故選A.

【點(diǎn)睛】

此類題目需靈活運(yùn)用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，利用方程解決問題.

4、B

【解析】

首先證明：OEWBC,由AE+EO=4,推出AB+BC=8即可解決問題；

.

【詳解】

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AOA=OC,

VAE=EB,

AOE=^BC,

VAE+E0=4,

A2AE+2EO=8,

/.AB+BC=8,

???平行四邊形ABCD的周長=2x8=16,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

三角形的中位線定理，屬于中考?？碱}型.

5、C

【解析】

試題分析：如圖所示：ZNOQ=138°,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；ZNOP=48°,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；如圖可得NPON=48。，ZMOQ=42°,

所以NPON比NMOQ大，選項(xiàng)C正確；由以上可得，NMOQ與NMOP不互補(bǔ)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案選C.

考點(diǎn)：角的度量.

6、B

【解析】

根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答.

【詳解】

①對從某國進(jìn)口的香蕉進(jìn)行檢驗(yàn)檢疫適合抽樣調(diào)查；

②審查某教科書稿適合全面調(diào)查；

③中央電視臺“雞年春晚”收視率適合抽樣調(diào)查.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，

對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)

重大的調(diào)查往往選用普查.

7、B

【解析】

根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的混合運(yùn)算法則可以解答本題.

【詳解】

原式=-999x(52+49-1)=-999x100=-1.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法.

8、B

【解析】

根據(jù)勾股定理得到+4?=5,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到A8=Q4=5,Ab〃x軸，求得8(?8,?4),得到￡(?4,?2),

于是得到結(jié)論.

【詳解】

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為(?3,-4),

OA=^324-42=5,

???四邊形4OCB是菱形，

：.AB=OA=5f"〃x軸，

：.B(-8,-4),

V點(diǎn)E是菱形AOCB的中心，

：.E(-4,-2),

??.A=-4x(-2)=8,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

9、A

【解析】

根據(jù)己知得出圓錐的底面半徑及母線長，那么利用圓錐的側(cè)面積=底面周長x母線長乜求出即可.

【詳解】

:圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為3cm的等邊三角形，

工底面半徑=1.5cm,底面周長=37tcm,

，圓錐的側(cè)面積=93型3=4.5酸!112,

■

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了圓錐的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是利用圓錐的側(cè)面積;底面周長x母線長+2得出.

10、C

【解析】

解：A.外角為120。，則相鄰的內(nèi)角為60。，根據(jù)有一個(gè)角為60。的等腰三角形是等邊三角形可以判斷，故A選項(xiàng)正

確；

B.等邊三角形有3條對稱軸，故B選項(xiàng)正確；

C.當(dāng)兩個(gè)三角形中兩邊及一角對應(yīng)相等時(shí)，其中如果角是這兩邊的夾角時(shí)，可用SAS來判定兩個(gè)三角形全等，如果

角是其中一邊的對角時(shí)，則可不能判定這兩個(gè)三角形全等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.利用SSS.可以判定三角形全等.故D選項(xiàng)正確；

故選C.

11、A

【解析】

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根據(jù)正弦函數(shù)的概念求解可得.

【詳解】

:△ABC中，AC=BCt過點(diǎn)。作

：.AD=DB=6fZBDC=ZADC=9O°t

*：AE=5,DE//BC,

，AC=24E=10,NEDC=NBCD,

BD63

AsinZ￡DC=sinZBCD=——=—=-,

BC105

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)

等知識點(diǎn).

12、B

【解析】

由EB=CF,可得出EF=BC,又有NA=ND,本題具備了一組邊、一組角對應(yīng)相等，為了再添一個(gè)條件仍不能證明

△ABC^ADEF,那么添加的條件與原來的條件可形成SSA,就不能證明△ABC^ADEF了.

【詳解】

A.添加/E=/ABC,根據(jù)AAS能證明-ABCg/DEF,故A選項(xiàng)不符合題意.

B.添加DE=AB與原條件滿足SSA,不能證明ABC^DEF,故B選項(xiàng)符合題意；

C.添加AB〃DE,可得NE=/ABC,根據(jù)AAS能證明jABCg’.DEF,故C選項(xiàng)不符合題意；

D.添加DF//AC,可得/DFE=/ACB,根據(jù)AAS能證明，一ABC烏/DEF,故D選項(xiàng)不符合題意，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、

SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊

的夾角.

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、10

【解析】

首先證明△ABPs^CDP,可得卷=需，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得答案.

【詳解】

如圖，

C

PD

由題意可得：NAPE=NCPE,

AZAPB=ZCPD,

VAB±BD,CD±BD,

AZABP=ZCDP=90°,

/.△ABP^ACDP,

ABCD

??=?

BPPD

???AB=2米，BP=3米，PD=15米，

.2CD

..—=-----，

315

解得：CD=10米.

故答案為10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似二角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似二角形的應(yīng)用.

14、1.

【解析】

求出AD=AB,設(shè)AD=AB=5x,AE=3x,則5x-3x=4,求出x,得出AD=10,AE=6,在R3ADE中，由勾股定理求

DE

出DE=8,在RSBDE中得出tan/O3E=——，代入求出即可，

BE

【詳解】

解：???四邊形ABCD是菱形，

AAD=AB,

3,

Vcos?!=—,BE=4,DE±AB,

5

?,?設(shè)AD=AB=5x,AE=3x,

則5x-3x=4,

x=l,

BPAD=10,AE=6,

在R3ADE中，由勾股定理得：DE=V102-62=8,

DE8

在RtABDE中，tan/DBE=——=-=2,

BE4

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE的長.

15、y=2x2-6x+2

【解析】

由AAS證明△DHEgZXAEF,得出DE=AF=x,DH=AE=l-x,再根據(jù)勾股定理，求出EHz,即可得到y(tǒng)與x之間的函

數(shù)關(guān)系式.

【詳解】

如圖所示：

丁四邊形ABCD是邊長為1的正方形，

AZA=ZD=20°,AD=1.

AZ1+22=20°,

???四邊形EFGH為正方形，

/.ZHEF=20°,EH=EF.

AZ1+21=20°,

AZ2=Z1,

在4AHE與4BEF中

ZANA

?Z2=Z3,

EH=EF

AADHE^AAEF(AAS),

.\DE=AF=x,DH=AE=l-x,

在RtAAHE中，由勾股定理得：

EH2=DE2+DH2=x2+(1-x)2=2x2-6x+2；

即y=2x2-6x+2(0<x<l),

故答案為y=2x2?6x+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，本題難度適中，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解

題的關(guān)鍵.

16、1.4

【解析】

由概率估計(jì)圖案在整副畫中所占比例，再求出圖案的面積.

【詳解】

估計(jì)宣傳畫上世界杯圖案的面積約為3xlx0.4=1.4i/.

故答案為1.4

【點(diǎn)睛】

本題考核知識點(diǎn)：幾何概率.解題關(guān)鍵點(diǎn)：由幾何概率估計(jì)圖案在整副畫中所占比例.

17、4

【解析】

連接。只08把兩部分的面積均可轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，不難發(fā)現(xiàn)兩部分面積之差的絕對值即為△BOP的面積的

2倍.

【詳解】

解：連接OP、OB,

V圖形BAP的面積=△AOB的面積+△BOP的面積+扇形OAP的面積，

圖形BCP的面積=△BOC的面積+扇形OCP的面積-△BOP的面積，

又丁點(diǎn)尸是半圓弧AC的中點(diǎn)，Q4=OC,

，扇形0AP的面積:扇形OCP的面積，△AOB的面積=△HOC的面積,

???兩部分面積之差的絕對值是2sHOP=OPOC=4.

點(diǎn)睛：考查扇形面積和三角形的面積，把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

2

18、-

3

【解析】

畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到能兩次摸到的球上數(shù)之和是負(fù)數(shù)的結(jié)果，根據(jù)概率公式計(jì)算可得.

【詳解】

解：畫樹狀圖如下：

-2-11

4AA

-2-11-2-11-2-11

由樹狀圖可知共有9種等可能結(jié)果，其中兩次摸到的球上數(shù)之和是負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，

所以兩次摸到的球上數(shù)之和是負(fù)數(shù)的概率為號二|,

2

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】

本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于

兩步完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)BG=AE.(2)①成立BG=AE.證明見解析.②AF=2舊.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADE^ABDG就可以得出結(jié)論；

(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出△ADEgZkBDG就可以得出結(jié)論；

②由①可知BG=AE,當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結(jié)論.

【詳解】

(1)BG=AE.

理由：如圖1,???2XABC是等腰直角三角形,NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

AAD±BC,BD=CI),

/.ZADB=ZADC=90°.

???四邊形DEFG是正方形，

ADE=DG.

在^BDGWAADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

.,.△ADE^ABDG(SAS),

/.BG=AE.

故答案為BG=AE；

⑵①成立BG=AE.

理由：如圖2,連接AD,

G

Y：\7尼

I/\t

I/\l

BDc

圖2

???在RSBAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，

AAD=BD,AD1BC,

，NADG+NGDB=90。.

???四邊形EFGD為正方形，

:.DE=DG且NGDE=90。,

/.ZADG+ZADE=90°,

AZBDG=ZADE.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

.,.△BDG^AAI)E(SAS),

.\BG=AE；

@VBG=AE,

，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值.

如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270。時(shí)，BG=AE.

VBC=DE=4,

ABG=2+4=6.

AAE=6.

在RSAEF中，由勾股定理，得

AF=J八爐+石產(chǎn)=.36+16，

???AF=2而,

本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練的掌

握全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理以及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形.

20、(1)證明見解析；(2)結(jié)論：成立.理由見解析；(3)①30。，②1+逐.

【解析】

(1)只要證明AB=ED,AB〃ED即可解決問題；(2)成立.如圖2中，過點(diǎn)M作MG〃DE交CE于G.由四邊形

DMGE是平行四邊形，推出ED=GM,且ED〃GM,由(1)可知AB=GM,AB/7GM,可知AB〃DE,AB=DE,即

可推出四邊形ABDE是平行四邊形；

(3)①如圖3中，取線段HC的中點(diǎn)I,連接ML只要證明MI±AC,即可解決問題；②設(shè)DH=x,則

2

HFHD

AH=V3x,AD=2x,推出AM=4+2x,BH=4+2x,由四邊形ABDE是平行四邊形，推出DF〃AB,推出——=——,

HAHB

可得解方程即可；

yJ3x4+2x

【詳解】

(1)證明：如圖1中，

VDE/7AB,

/.ZEDC=ZABM,

VCE/7AM,

AZECD=ZADB,

??,AM是AABC的中線，且D與M重合，

ABD=DC,

/.△ABD^AEDC,

AAB=ED,VAB/7ED,

，四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)結(jié)論：成立.理由如下：

如圖2中，過點(diǎn)M作MG〃DE交CE于G.

VCE/7AM,

???四邊形DMGE是平行四邊形，

AED=GM,且ED〃GM,

由(1)可知AB=GM,AB/7GM,

???AB〃DE,AB=DE,

:.四邊形ABDE是平行四邊形.

(3)①如圖3中，取線段HC的中點(diǎn)I,連接ML

VBM=MC,

???MI是ABHC的中位線,

/.MI//BH,MI=1BH,

2

VBHXA-C,且BH=AM.

AMI=-AM,MI±AC,

2

AZCAM=30°.

②設(shè)DH=x,貝！JAH=6X,AD=2X,

AAM=4+2x,

ABH=4+2x,

???四邊形ABDE是平行四邊形，

ADF/7AB,

.HFHD

HAHB

.5/3x

,,后

解得x=l+&或1?6(舍棄)，

/.DH=1+V5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的判定、平行線分線成比例定理、三角形的

中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵能正確添加輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題.

21、(1)75；4G(2)CD=4Vi3.

【解析】

(D根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出NADB=NOAC=75。，結(jié)合NBOD:NCOA可得出ABODs/XcOA,利用相似三角形

的性質(zhì)可求出OD的值，進(jìn)而可得出AD的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出NABD=75o=NADB,由等角對等邊可得

出AB=AD=4后，此題得解；

(2)過點(diǎn)B作BE〃AD交AC于點(diǎn)E,同(1)可得出AE=4百，在RtAAER中，利用勾股定理可求出RE的長度,

再在RSCAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解.

【詳解】

解：⑴VBD//AC,

AZADB=ZOAC=75O.

VZBOD=ZCOA,

AABOD^ACOA,

.ODOB_\

，，-5A-0C-3,

又..,AO=3G，

r.OD=-AO=V3,

3

.?.AD=AO+OD=4V3.

VZBAD=30°,ZADB=75°,

/.ZABD=1800-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

/.AB=AD=473.

(2)過點(diǎn)B作BE〃AD交AC于點(diǎn)E,如圖所示.

VAC±AD,BE〃AD,

.\ZDAC=ZBEA=90°.

VZAOD=ZEOB,

AAAOD^AEOB,

.BOEOBE

99~DO~~^O~~DA'

VBO：OD=1：3,

?EOBE_\

??茄一說一于

VAO=3x/3,

：.EO=yjjt

，AE=46.

VZABC=ZACB=75°,

AZBAC=30°,AB=AC,

AAB=2BE.

在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(473)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

A/kB=zkC=8,AD=1.

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,BP82+l2=CD2,

解得：CD=4V13.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)利用相

似三角形的性質(zhì)求出OD的值；(2)利用勾股定理求出BE、CD的長度.

22、(1)>；(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，NAPB最大，理由見解析；(3)4加米.

【解析】

(1)過點(diǎn)E作E尸于點(diǎn)尸，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定得到：AAEF是等腰直角三角形，易證NAEb=90。,

而NACBV90。，由此可以比較NAE3與NAC8的大小

(2)假設(shè)尸為CO的中點(diǎn)，作AAPB的外接圓。O,則此時(shí)CO切0。于P,在C&上取任意異于尸點(diǎn)的點(diǎn)E,連接

AE.與G)O交千點(diǎn)尸.連接BE、BFt由是△B尸B的夕卜角.^ZAFB>ZAEB,且/A尸B與NAPB均為G)O

中弧AB所對的角，則N4尸氏即可判斷乙4PB與NAEB的大小關(guān)系，即可得點(diǎn)P位于何處時(shí)，N4PB最大;

(3)過點(diǎn)E作CE〃。凡交AO于點(diǎn)C,作AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)。，并在垂直平分線上取點(diǎn)0,使O4=C0,

以點(diǎn)。為圓心，08為半徑作圓，則。。切CE于點(diǎn)G,連接0G,并延長交D尸于點(diǎn)P,連接QL再利用勾股定理

以及長度關(guān)系即可得解.

【詳解】

如圖1,過點(diǎn)E作EF1.AB于點(diǎn)F,

;在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD中點(diǎn),

???四邊形ADEF是正方形，

/.ZAEF=45°,

同理，NBEF=45。，

:.ZAEB=90°.

而在直角△ABC中，ZABC=90°,

r.ZACB<90°,

AZAEB>ZACB.

故答案為：>;

(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，NAPB最大，理由如下：

假設(shè)P為CD的中點(diǎn)，如圖2,作AAPB的外接圓。O,則此時(shí)CD切。O于點(diǎn)P,

在CD上取任意異于P點(diǎn)的點(diǎn)E,連接AE,與。O交于點(diǎn)F,連接BE,BF,

TNAFB是^EFB的外角，

，NAFB>NAEB,

VZAFB=ZAPB,

AZAPB>ZAEB,

故點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，NAPB最大：

(3)如圖3,過點(diǎn)E作CE〃DF交AD于點(diǎn)C,作線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)Q,并在垂直平分線上取點(diǎn)O,

以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓，則。O切CE于點(diǎn)G,連接OG,并延長交DF于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P即為小剛所站的

位置，

由題意知DP=OQ={0A2-AQ'

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+^AB-CD,

BD=11.6米，2AB=3米，CD=EF=1.6米，

AOA=11.6+3-1.6=13米，

???DP=7132-32=

即小剛與大樓AD之間的距離為冰時(shí)看廣告牌效果最好.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的推論，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾

股定理等知識，難度較大，熟練掌握各知識點(diǎn)并正確作出輔助圓是解答本題的關(guān)鍵.

23>(1)—：(2)—

39

【解析】

【分析】(1)直接運(yùn)用概率的定義求解；(2)根據(jù)題意確定k>0,b>0,再通過列表計(jì)算概率.

【詳解】解：(1)因?yàn)?、-1、2三個(gè)數(shù)中由兩個(gè)正數(shù)，

所以從中任意取一個(gè)球，標(biāo)號為正數(shù)的概率是|.

(2)因?yàn)橹本€8經(jīng)過一、二、三象限，

所以k>0,b>0,

又因?yàn)槿∏闆r：

kb1-12

11,11,11,2

-1-1,1-1,-1-1.2

22,12,-12,2

共9種情況，符合條件的有4種，

4

所以直線廠履+力經(jīng)過一、二、三象限的概率是

【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：求規(guī)概率.解題關(guān)鍵：把所有的情況列出，求出要