專(zhuān)題07平面向量

易措點(diǎn)：注意零向量書(shū)寫(xiě)及三角形

^題型一：平面向量線性運(yùn)算

與平行四邊形適用前提

題型二：平面向星的基本定理

又易錯(cuò)點(diǎn)：忽略基底選取原則

平面向量及坐標(biāo)表示

題型三：平面向量的數(shù)量積及

又易錯(cuò)點(diǎn)：忽視數(shù)品枳不滿(mǎn)足結(jié)合律

易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書(shū)寫(xiě)及三角形與平行四邊形適用前提（平面向

量線性運(yùn)算）

1.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量A8的長(zhǎng)度，記作|/記|.

（3）特殊向量：

①零向量：長(zhǎng)度為。的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：0與任一向量平行.

④相等向量：長(zhǎng)度相等巨方向相同的向量.

⑤相反向量：長(zhǎng)度相等巨方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個(gè)向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a-②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+(b+c)

求。與〃的

相反向量-〃的

減法a-b=ci+(-b)

和的運(yùn)算叫做aa

與b的差三角形法則

(1)U?|=|2||a|

九(〃4)=(切)4

求實(shí)數(shù)4與

(2)當(dāng)2>0時(shí)，/la與。的方向相同；

數(shù)乘向量a的積的運(yùn)(Z+=而+pa

當(dāng)aV。時(shí)，4a與4的方向相同；

算A(a+b)=Aa+Ab

當(dāng)2=0時(shí)，Aa=O

共線向量定理

向量〃(4W0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得〃=々/.

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量，，b，若存在實(shí)數(shù)3使〃=乂，則〃與〃共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使4B=/IAC，則A，B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、

相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái).

(2)向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提

取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個(gè)基本向量表示其個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：

①觀察各向量的位置：

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡(jiǎn)結(jié)果.

解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必

是相等向量.

（5）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混

為一談.

（6）非零向量〃與，二的關(guān)系：7^;是a方向上的單位向量.

（7）向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較

大小

易錯(cuò)提醒：（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成0,而不能寫(xiě)成0.

（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿(mǎn)足的條件是：兩個(gè)向量所在直線

平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起

點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩

個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：6A-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA<=>OA-OB=CA<^BA-CA=BA+AC=BC-

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

maiiitiuiiiaimiu

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA-^DA=0

【詳解】而于A,根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，^AB±AD-AC>故A正確;

對(duì)于B,在平仃四邊形A8CQ中，CD=-AB?則AB+CO+OO=OOwOA，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,AB+AD+CD=AC^-CD=AD故C正確；

uuuuu

對(duì)于D,在平行四邊形A8CZ）中，CD=BA，

uuuuuuuuuiuuuwuuuumuui

AC+BA+DA=DA+AC+BA=DC+=故DlE確.故選：ACD.

變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（）

33

所以AO:AM====一

1411

變式3：如圖所示，在矩形48co中，忸4=4＞萬(wàn)，AB=8,設(shè)8C=b，AB=a，BD=c，求卜-

【詳解】解：在矩形A8co中，,*的=46,k,=8,

則,4==潤(rùn)+(4百『=4日,

因?yàn)?C%，AB=a，BD=c，

則a-b-c=AB-BC-BD=AB-AD-BD=DB+DB=2DB，

因此，|?-/?-C|=2|DB|=2X4X/7=8V7.

uim,rr、

1.已知a、〃為不共線的向量，AB=a+5b^BC=-2a+85，CD=3^-/?j,則（）

A.AB,C三點(diǎn)共線B.AC,。三點(diǎn)共線

C.AB,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析［根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤?、〃為不共線的向量，所以a、〃可以作為一組基底，

對(duì)于A：AB=a+5b^BC=-2a+8〃，若存在實(shí)數(shù)/使得AB=/8C，

.21—］

則。+5力=4-24+84，所以［二，方程組無(wú)解，所以A6與8c不共線，故A、B、C三點(diǎn)不共

線，即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)锳B=a+5》，5C=—2a+8Z?，所以AC=A8+8C=。+5〃+（-2。+8〃）=一〃+13/?,

同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)/,使得AC=/C。，即AC與。。不共線，故A、C、。三點(diǎn)不共線，即

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)?c=-2。+魴，8=3（〃-〃），

所以4。=8。+8=—2〃+86+3（々—力）=4+5人，

又AB=a+5b=BD，所以AB//BD，故A、3、￡＞三點(diǎn)共線，叩C正確;

uuu/rr、

對(duì)于D：8c=-2。+助，CD=3^-bj,

同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)/，及得8C=/C￡＞，即8c與。。不共線，故3、C、。三點(diǎn)不共線，即D

錯(cuò)誤：

故選：C

2.如圖，在平行四邊形A8CZ）中，E是BC的中點(diǎn)，尸是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則0尸等

于（）

B.-AB--AD

33

C.D.-AB--AD

3634

【答案】c

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】解：。尸=4尸一AO=』AE—A。，

3

=g（AB+閣一AO,

=-\ABA--AD\-AD,

312J

=-AB--AD,

36

故選：C

3.在四邊形A8C。中，若4C=A8+AO，則（）

A.四邊形A8CO是平行四邊形B.四邊形AECQ是矩形

C.四邊形AAC。是菱形D.四邊形/WCD是正方形

【答案】A

【分析】由AC=AK+A/）推出AC=AO,再根據(jù)向量相等的定義得8C=A。且8C//AO,從而可

得答案.

【詳解】因?yàn)锳C=A8+A。，故AC-AB=AO，即BC="＞，

故8C=A。且BC//AD,故匹邊形A8CO一定是平行四邊形，

不一定是菱形、止方形和矩形，故A正確；BCD不止確.

故選：A.

4.已知4。,8E分別為A8C的邊ACAC上的中線，設(shè)AU=〃，BE=〃,則8C=（）

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】AD8E分別為的邊BCAC卜的中線，

2

8￡=8A+AE=3A+gAC=8A+；（AB+BCj=g（8A+8C）,

由于AZ）=a，BE=b?所以。=58?！?A,Z?=58/1+55。，

2-4-

故解得80=彳。+彳及

33

故選：B

5.如果斗色是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）

①a=2q+"2（%,〃wR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；

②對(duì)于平面a內(nèi)任一向量a,使。="+22（4〃€口）的實(shí)數(shù)對(duì)（無(wú)〃）有無(wú)窮多個(gè)；

③若向量4q+〃1e；與46+外為共線，則，=今

④若實(shí)數(shù)7、〃使得40+〃華=。，則2="=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判斷①?②，由共線向量定理判斷③.

【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確.

對(duì)于②，由平面向量基本定埋可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底卜的實(shí)

數(shù)對(duì)是唯一的，故錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)力方=0或"/"2=0時(shí)不一定成立，應(yīng)為入用2T砂=0,故錯(cuò)誤.

故選：B.

6.給出下列各式：①A8+CA+8C，②AB-CD+BO—AC，③AO-OQ+OA，④

NQ-MQ+QP+MN,對(duì)這些式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，則其化簡(jiǎn)結(jié)果為0的式子的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2D.I

【答案】A

【分析】利用向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，"+C4+BC=A8+BC+CA=AC+CA=0，

對(duì)于②，AI3-CD+13D-AC=^AB+I3D)-^AC+CD)=AD-AD=(),

對(duì)于③，AD-OD+OA=^AD+DO)+OA=AO+OA=0,

對(duì)于④，NQ-MP+QP+MN=(NQ+QP)+(PM+MN)=NP+PN=0,

所以其化簡(jiǎn)結(jié)果為0的式子的個(gè)數(shù)是4,

故選：A

7.已知平面向量a，b,c，下列結(jié)論中正確的是()

A.若4〃〃,則4=hB.若卜卜W，則

C.若〃〃力，/>〃c，則a〃cD.若卜+/,=忖+忖，則

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.

【詳解】A：若〃為非零向量，〃為零向量時(shí)，有。力但不成立，錯(cuò)誤；

B：忖=忖時(shí)，〃，方不一定相等，錯(cuò)誤：

C：若Z?為零向量時(shí)，a。b,〃〃。不一定有“〃-，錯(cuò)誤；

D：,+0="+忖說(shuō)明a，〃同向或至少有一個(gè)零向量，故〃b,正確.

故選：D.

8.設(shè)e；與色是兩個(gè)不共線的向量，AB=M\+2e；,CB=kq+e?,CD=3e「2ke；,若A,B,。三點(diǎn)

共線，則上的值為()

37

A.-?8

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

UUDIlinUlfITlT\/iriT\IILT

【詳解】由題意可得：3/)=8—8=(34—23)-(何+ej=(3-母「(22+1).,

若人，B,。三點(diǎn)共線，所有必存在一個(gè)實(shí)數(shù)人使得44=480,

ITITrITIT-iITIT

即3q+2/=，[(3-3-"+l)c卜,

4(3-6=37

可得，(/)4解得

k-

4

故選：B.

9.在aOAB中，已知|。3卜2,|。$=4,尸是AB的垂直平分線/上的任一點(diǎn)，則OP?AB=（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】B

【分析】設(shè)M為的中點(diǎn)，結(jié)合P為線段人8垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則有OP./W=OW./W，

再將OM,AZT都用OAO4表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.

【詳解】設(shè)“為A4的中點(diǎn),

則OPAB=[OM+MP\AB=OMAB+MPAB,

因?yàn)镻為線段A8垂直平分線上的任意一點(diǎn),

所以MP.48=0,

則0P4B=0MAB=:(04+QA)(08-0A)=3(OB，-6M]=—6.

故選：B.

10.已知拋物線C），2=4x的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,點(diǎn)Aw/,線段Ab交拋物線。于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)8

作/的垂線，垂足為〃，若/<4=3五4，則（）

A.|喇=5B.卜耳=4

3

c.網(wǎng)=3砌D.|AF|=4|BH

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.

【詳解】拋物線C）*=4x的焦點(diǎn)產(chǎn)（1,0）,準(zhǔn)線/為4—1,

由一與相似得:

VFA=3FBfA8HAMM\MF\~\AF\~3

24—4

?.?|M尸|=2,：.\BH|=-x2=-,g[Jm=-,故A錯(cuò)誤;

333

由拋物線定義得.?.|4邛=3|5臼=3|8H|=4,

即卜尸卜4,卜F卜3,”|,故BC正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC-^BO+CO

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)锳8+MB+8O+OM=A8+（8O+OM+M8）=A8,所以選項(xiàng)A不符合題意;

因?yàn)锳8+BC+C4=0，所以選項(xiàng)B符合題意；

因?yàn)锳B-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD=O,

所以選項(xiàng)C符合題意；

因?yàn)镼A+OC+3O+CO=（3O+0A）+（OC+CO）=6A+O=6A,

所以選項(xiàng)D不符合題意，

故選：BC

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果。=則q/必；反之，如果且人工0，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)4,使

〃=勸.（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果《和與是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量〃，都存在唯一

的一對(duì)實(shí)數(shù)4,4，使得〃我們把不共線向量6,與叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的

一組基底，記為｛%6｝，4"+4c2叫做向量。關(guān)于基底,修｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量“與與不共線，平面內(nèi)的任一向量。都可以分解

成形如+41的形式,并且這樣的分解是唯一的.幺出+2,ez叫做“，e,的一個(gè)線性組合.平

面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的

基礎(chǔ).

推論1：若〃=4弓+44=44+乙6，則4=4,4=4.

推論2：若。=4°]+4?2=0，則4=4=0.

（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△4BC中，若點(diǎn)。是邊8c上的點(diǎn)，且8Q=/l￡>C（彳工一1），則向量

在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐

AD=AB+ZAC

1+A

朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

BC

(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)4〃，使OC=〃M+〃OB,其中2-〃=1,

O為平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

4、B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù)；I,使得人C=/l/W;

o存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得OC=OA+；MB：

o存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得2)04+208；

=存在2I〃=1,使得0c=MA十/JOB.

(5)中線向量定理

如圖所示，在△A8C中，若點(diǎn)。走邊8C的中點(diǎn)，則中線向量AO=g(A3+AC),反之亦正

確.

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量?作為基底，那么

由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)工，)'使。="+“，我們

把有序?qū)崝?shù)對(duì)(乂y)叫做向量。的坐標(biāo)，記作。=(乂y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是'-對(duì)應(yīng)的，即有

向量。,對(duì).句量Q4一=^=?點(diǎn)4”).

(3)設(shè)。=(否,)1),b=(x2,y2),則a+l=(4+電，M+%)，a-b=(xi-x2,yi-y2),即兩個(gè)

向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若a=(x,y),%為實(shí)數(shù)，則4a=(/lx,/ly),即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向

量的相應(yīng)電標(biāo).

（4）設(shè)A（x”x）,8（占,為），則=—。4=（%-匕，Y-力），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向

量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

①己知點(diǎn)A（X］，y）,僅士，為），則48=（占-$，必-y），IA8|=—內(nèi)）2+（%—）’1）2

②己知〃=（.￡,X）,b={x2,y2）,則〃±力=（.￡±々?X土）\），2d=（2xt,Ayt）,

ab=x^+y.y,,|止J"+y；?

=%兒一&X=°，aJLOo%占+乂％=°

向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)」知向量。共線的向量時(shí)，可設(shè)

所求向量為加（/IwR）,然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于義的方程，求出2的值后代入而即可得到所

求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a=U，y）,

方=（/,左），則a〃8的充要條件是=WX”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問(wèn)題.A,B,。三點(diǎn)共線等價(jià)于A8與AC共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利

用三角恒等變換求解.

用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路

（I）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，

再進(jìn)行向量的運(yùn)算.

（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)用線段

中點(diǎn)的向量表達(dá)式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.

兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯(cuò)提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量.

（2）選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基

底表示出來(lái).

（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平

行、相似等。

三蘭

例.已知向量〃=(2,1),b=(-3,l),則()

A.若c=q，-半，則aleB.向量。在向量〃上的投影向量為一3〃

\Z

C.〃與的夾角余弦值為平D.(a+b)//a

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若。二冬一半,則〃c=2x半+lx-割=。，所以a_Lc,A正確；

對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)向量a在向量￡上的投影向量為動(dòng)，則%片，即2、(-3)+12=]()/1,解得％=一；，

故向量a在向量〃上的投影向量為-g。，B選項(xiàng)正確；

a-(a-b]io2加

對(duì)于C選項(xiàng)，〃-匕=(5,0),cos<?,a-/>>=?(-；----r=—f=—=—T—?C選項(xiàng)正確；

6T-a-h\45x55

對(duì)于D選項(xiàng)，。+〃=(-1,2),-Ixlw2x2,所以〃+/?與a不共線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

變式1.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為()

A.已知：J=(I,2),力=(i,i)且白與〃+勸的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是(一5,+8

(13、

B.向量q二(2,-3),e=不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

24/

C.非零向量a，b>滿(mǎn)足。<力且a與。同向，則a>/>

D.非零向量〃和〃，滿(mǎn)足,卜力=|。一6,則a與a+8的夾角為30

【詳解】對(duì)于A,Q?=(1.2),Z?=(1J),且a與〃+勸的夾角為銳角，

.1.?-(?+2/?)=(1,2).(1+2,2+l)=l+Z+4+22=3/1+5>0,且力工0(2=0時(shí)，?與a+焉的夾角為

0)，所以且丸￥0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,向量q=4e；，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；

對(duì)于C,向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤:

對(duì)于D,因?yàn)镸卜口一4,兩邊平方得，又向二%，

則4?4+b）=忖,a+b=J（a+b）=\la+2ab+b=6忖，

\a\a+b\||?|

故cos(〃M+b)=」——L=-^~r

/aa+ba.《3

而向量的夾角范圍為[（），180],所以〃和〃+〃的夾角為30,故D正確.

故選：AC.

變式2.（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若：=（“）"=（3），且消了共線，則;;

人2）2

B.若a=（X],yJ工=伍,）,2）,且內(nèi)外"NX，則：與/；不共線

C.若A,B,。三點(diǎn)共線.則向量/，選，&都是共線向量

D.若向量;=（|,2）/=（-2,〃），旦房則〃=一4

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,1=?；蜓?=。時(shí),比例式無(wú)意義,故錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)B,若“=（用,y）.力=（“2』），a與/?共線，則一定有/丫2="2乂，故正確;

對(duì)選項(xiàng)C,若A,B,C三點(diǎn)共線，則篇,靛,3在一條直線上.，則我，麗,&都是共線向量，故

正確；

對(duì)選項(xiàng)D,若向量〃=0,2）/=（-2,〃），且7"，則lx〃=-2x2,即〃二一4,故正確：

故選：BCD

變式3.已知華色是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若實(shí)數(shù)/〃，〃使〃+〃6=0，則〃?=〃=0

B.平面內(nèi)任意一個(gè)向量a都可以表示成。=〃匕+〃&2,其中〃?，〃為實(shí)數(shù)

C.對(duì)于〃?，〃eR,+ne2不一定在該平面內(nèi)

D.對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量。，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)〃?，〃，使4=〃?q+〃%

【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；

對(duì)于C,對(duì)于m,〃eR,/g+//在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,切，72是唯一的，故D錯(cuò)誤.

故選:AB.

1.在梯形A8CO中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是A8,的中點(diǎn)，AC與8。交于

設(shè)=AD=b?則卜列結(jié)論止確的是()

A.AC=—a+bB.BC=—a+b

22

12—|

C.BM=——a+—bD.EF=——a+b

334

【答案】ABD

【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即

可.

由題意可得，AC=AD+DC=b+^at故A正確；

——-I-I

BC=BA+AC=—a+b-\—a=b—a,故B正確；

22

2——2-19-9

BM=BA+AM=-a+-AC=-a+—b+ax-=-b——a,故C錯(cuò)誤；

33333

——一11.1

EF=EA+AD+DF=一一a+b+-a=b一一a故D正確.

244t

故選：ABD.

2.已知點(diǎn)4(1,2),5(3,x),向量〃=(2-工,-1),則()

A.冢=2+五時(shí)48與。方向相同

B.x=2-&時(shí)，八8與a方向相同

C.x=2—a時(shí)A8與a方向相反

D.戶(hù)2+&時(shí)，AB與a方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出x,再I(mǎi)可代驗(yàn)證方向相同或相反.

【詳解】A(l,2),8(3/)，可得A8=(2,x—2),

又a=(2-x,-l),AB/S，

可得(2-x)(x-2)=-2,解得％=2土及，

當(dāng)x=2+&時(shí)，而=Q&)與。=卜"-1)方向相反,當(dāng)工=2-&時(shí)，A8=(2,-及)與

。=(&，-1)方向相同.

故選：BD

3.已知點(diǎn)A(l,2),8(3,x),向量a=(2-x,-l),A8〃凡則()

A.x=3時(shí)與a方向相同

B.x=2-也時(shí)4?與4方向相同

c.x=3時(shí)A8與a方向相反

D.x=2+&,時(shí)A8與〃方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】A(l,2),8(3,。可得48=(2/-2),

又〃=(2-x,-1),AB//4,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2士立，

當(dāng)x=2+&,時(shí)，A5=(2,&),。=(一點(diǎn),一1)則48=—血〃，

所以與。方向相反，

當(dāng)工=2-&,時(shí)，AB=Q「垃),〃=(&,一1),則A8=&。，

AB與。方向相同.

故選:BD.

4.如果不⑸是平面。內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中正確的是()

A.陽(yáng)&(4〃eR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對(duì)于平面。內(nèi)任一向量a,使〃=〃0的實(shí)數(shù)對(duì)(九〃)有無(wú)窮個(gè)

C.若向量+M/與4耳+〃26共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)義，使得+乂6二義(44+14G)

D.若存在實(shí)數(shù)Z〃使得2q+〃/=°，則丸=〃=0

【答案】AD

【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯(cuò)誤；通過(guò)反例可說(shuō)明C錯(cuò)誤.

【詳解】4,是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，.??用e2可以作為平面a的一組基底；

對(duì)FA,由平面向量基本定理可知：可以表示平面。內(nèi)的所有向最，A正確；

對(duì)于B,對(duì)于平面。內(nèi)任意向量。，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（九〃），使得。=24+〃/，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,當(dāng)4=M=4=〃2=。時(shí)，4弓+〃品與+〃用均為零向量，滿(mǎn)足兩向量共線，此時(shí)使

得44+〃?="4烏+/6）成立的/1有無(wú)數(shù)個(gè)，c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由得：狷=一“2，又6"2不共線，，2=-〃=0,即4=〃=0,D正確.

故選：AD.

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)2,1）,4（T3）,C（3,4）,則第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

【答案】ABC

【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為4BCR,即AC為一條對(duì)角線，設(shè)A（x。），則由4c中點(diǎn)也是BQ

中點(diǎn)，利用線段的中點(diǎn)公式求得R.

同理可求得，構(gòu)成以48為對(duì)角線的平行四邊形A8CQ,和以8C為對(duì)■角線的平行四邊形ACQ5,

對(duì)應(yīng)的。的坐標(biāo).

【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為A8cA,即AC為一條對(duì)角線，

-2+31

.、99[%=2

設(shè)A,則由AC中點(diǎn)也是8R中點(diǎn)，可得；，解得.

所以A（2,2）：

同理可得，若構(gòu)成以A4為對(duì)角線的平行四邊形48C2,則。式-6,0）；

以為AC對(duì)角線的平行四邊形，則D、（4,6）；

所以第四個(gè)頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為可以為：（-2,2）或（-6,0）或（4,6）.

故選：ABC.

2

6.已知橢圓E、+)，2=l的左、右焦點(diǎn)分別為6，5，過(guò)下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)尸2的直線與E交于另

一點(diǎn)以36與y軸交于點(diǎn)p,則()

A.AF11AF2B.?陽(yáng)

C.△A8G的內(nèi)切圓半徑為立

D.4居P-3尸B=0

2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)及下頂點(diǎn)坐標(biāo)，而出圖形，再逐項(xiàng)分析計(jì)算、判斷作答.

2

【詳解】依題意，橢圓E:二+),2=1的焦點(diǎn)耳(一］,0),鳥(niǎo)(1,0),下頂點(diǎn)4(0,T),如圖，

對(duì)于A,||=|。5|=|OA|,因此A正確;

y=x-141

對(duì)于B,直線A用：)，=4-1,由，…。消去y得：3X2-4A=0,則點(diǎn)8(；.),

x+2y=233

于是?叫|=/一方+鏟=￥,B正確；

對(duì)于C,的周長(zhǎng)為4vL令其內(nèi)切圓半徑為「，54flA；=1/*F2|.||-(-l)=^,

因此:乂4血「二:，解得,?=①，C錯(cuò)誤；

233

4I41一__4

對(duì)于D,B(-,-),設(shè)點(diǎn)P(0,y0)，則4P=(l,)b),PB=(4G—%),而F、P//PB,即有wKP=P8,

因此4月尸一3P8=0,D正確.

故選：ABD

7.設(shè)0＜。＜兀，非零向量a=(sin20,cos0),〃=(cos0,l),貝lj().

1..371

A.若tan0=彳，則〃〃。B.若8=—,則aA-b

24

C.存在6,使2a=bD.若〃〃人則tan〃=；

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證COS26=sin2/9即可；

B選項(xiàng)，驗(yàn)證ad=O；

C選項(xiàng)，由題可得2sin2e=cos6,cos^=-,據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；

2

D選項(xiàng)，由題可得cos?0=sin20，據(jù)此可判斷選項(xiàng)

【詳解】A選巧］,tan=—=>S'n^=—=>cos6^=2sin=>cos?0=2sin0co^,0=sin20,

2cos^2

則〃〃h，故A正確；

B選項(xiàng)，6^=—=>sin2^=-l.cos^=--^?則。-~~力=_~~>,

42I2jI2J

故a?力=0=>aJ./?，故B正確；

c選項(xiàng)，假設(shè)存在e,使2a=〃，則2sin%=cos。，cos0=g,則可得

4sin0cos0=cos3=>2sin0=—=>sin0=—,故可得

24

sin20+cos2Owl,則假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，Ba//bf則sin2。=cos'。，又由題可得COSIHO,則

sin2^=cos?^=>2sin<9cos<9=cos:2sin^=cos^=>Uin^=^,故D正確.

故選：ABD

8.已知向量〃=(2,-。力=(〃1,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若a〃〃，則〃?=-4B.若a_L/?,則〃?=I

C.^\2a-b\=\a+b\,則帆=1D.若卜+4=忖，則機(jī)=Y

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B,根據(jù)向量的模的坐標(biāo)

表示判斷C,D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤ā?九所以2x2=(-l)x〃z,所以用=T,A正確；

對(duì)于B,因?yàn)樗?x〃?+(—l)x2=0,所以加=1,B正確；

,9

對(duì)于C,因?yàn)閨2。-〃|=|〃+切，所以3(a)--6a力=0,所以，〃=1,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?+4=忖，所以?xún)H+24/=0,所以〃?=()或〃?=Y,D錯(cuò)誤；

故選：AB.

9.如圖，在,A5C中，8C=12,QE是8C的三等分點(diǎn)，則()

A

33

2—

B.若/WAC=O，則AE在48上的投影向量為

C.若A8AC=9，則4OAE=40

D.AL)AE=4,AB2+AC2=SS

【答案】AD

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判

斷即可.

【詳解】對(duì)于A,AE=AC+CE=AC+-CB=AC+-(AB-AC}=-AB+-AC,故A正確；

33、733

對(duì)于B,因?yàn)锳8AC=0,所以A8XAC,

由題意得E為的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠。點(diǎn)更近)，所以AE在4“上的投影向量為故B不正

確；

■■■■2.■2/■2-1.

對(duì)于C,AD=AC+CO=AC+—C8=AC+—=—48+—AC,

33VJ33

AE=-AB+-AC,

33

2,22，S2222

Ol,ADAE=-AB~+-AC+-ABAC=-AB'+-AC~+5,

99999

又C8=A8-AC=CB2=AB'+AC2-2AB4c=144，

所以+AC=2ABAC+\44=162，

2c2-2

故=g4+5=41,故C錯(cuò)誤：

22'S

對(duì)于D,ADAE=-AB+-AC+-ABAC=4,

999

2-21/22\

而A8+AC-2ABAC=\M=>ABAC=^AB+AC)-72,

代入得，+AC)=44nAB?+AC?=88,故選項(xiàng)D正確，

故選：AD

10.已知ci=(l,2)力=(4j),則下列敘述正確的是()

A.若4b,貝Ijf=8B.^alb，則，=2

C.1一M的最小值為5D.若向量a與向量〃的夾角為鈍角，則/<-2

【答案】AD

【分析】由向量平行和垂直的坐標(biāo)表示可得AB正誤；利用向量模長(zhǎng)運(yùn)算可知『=（/-2『+9,

由二次函數(shù)性質(zhì)可求得卜-”.=3,知C錯(cuò)誤；利用向量夾角為鈍角，則數(shù)量積必定小于0,可判

IImin

斷D.

【詳解】對(duì)于A,若出/b，則lxf-2x4=0,解得：r=8,A正確：

對(duì)于B,若G_￡b，則4+2/=0,解得：/=-2,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)榉?（_3,2—f）,所以,_〃『=（_3）2+（2_，）2=（，_2）2+9,則當(dāng)/=2時(shí)，,_可二二9,

???卜-4.=3,C錯(cuò)誤；

i1mm

對(duì)于D,若向量”與向量力的夾角為鈍角，則〃/=4+2，<Q，解得，<-2,由上可知，此時(shí)兩向量

不共線，D正確.

故選：AD.

11.已知空間向量〃=（1,-1,2）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.p|=>/6

B.向量o與向量》=（2,2,—4）共線

C.向量a關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的向量為（1,I,-2）

D.向量a關(guān)于yOz平面對(duì)稱(chēng)的向量為（一1,1,-2）

【答案】AC

【分析】根據(jù)空間向量的模、共線、對(duì)稱(chēng)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】4=（1,-1,2）,忖="+（-1）2+22=6A選項(xiàng)正確.

/?=（2,2,-4）=所以：,力不共線，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

向量“關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的向量，尤不變，丁和z變?yōu)橄喾磾?shù)，

即向量a關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的向量為（LL-2）,C選項(xiàng)正確.

向量a關(guān)于）0z平面對(duì)稱(chēng)的向量，丁和z不變，工變?yōu)橄喾磾?shù)，

即向量〃關(guān)于yOz平面對(duì)稱(chēng)的向量為（-D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）

1.平面向量的數(shù)量積。

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量與量我們把數(shù)量個(gè)ISIcosO叫做?與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），

記作a.兒即ab=|a|IWcos。,規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：lalcos〃叫做向量，在》方向上的投影數(shù)量，當(dāng)夕為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)。為

鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)