2025年湖南省長沙市雷鋒學校高考數(shù)學一模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.將函數(shù)/(%)=cos(3%+枳3>0)的圖象向右平移號個單位長度后得到函數(shù)g(%)的圖象，若函數(shù)g(%)在區(qū)

間《,令上單調遞減，則3的最大值為()

A.6B.5C.3D.2

2.已知正四棱錐底面邊長為2,且其側面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為()

3.設向量為=(%—1),b=(%,4),貝h=-2是五16的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設函數(shù)r(%)是函數(shù)/(%)(%ER)的導函數(shù)，若/(%)-/(一%)=2%3,且當％之0時，/'(x)>3%2,

則不等式/(%)-f(x+1)+3%2+3%+1>0的解集是()

11

A.(-co,--)B.(-00,-2)C.(--,+00)D.(-2,+8)

5.已知〃%)=后；：：。,則不等式〃％+3)</(/+3%)的解集是()

A.(-3,1)B.(0,1)

C.(-00,-3)U(l,+oo)D.(1,+8)

6.已知向量落3滿足：|句=1,|五+23|=2,且(另一2砌1萬,則㈤=()

A.|B.苧C.苧D.1

7.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=c,。為AC的中點，加出4=2sin^ABD,則BC=()

A.1B./2C.73D.2

8.已知集合A={x||x—1|W1},B={x\y=lg(x2+x-2)},則ACB=()

A.[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D.(1,2]

二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知幾>2,且neN*,下列關于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有()

A.若X?8(*),則E(2X+1)=我+1

B.若X?BO，》，則D(2X+l)=1n

第1頁，共13頁

C.若X?Bog),則P(X=1)=P(x=n-1)

D.當樣本總數(shù)遠大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

10.函數(shù)/'(久)=，丞in(o)x+9)(0<co<2,-^<(p<今的部分圖象如圖所示，則

下列說法正確的有()

AA.0=-71]

B.f(x)在或普)上單調遞減

Zo

C.f(x)的表達式可以寫成/'(%)=v~2cos(2x+y)

D.若關于X的方程f(x)=1在(0,機)上有且只有4個實數(shù)根，則機e(y,y]

11.已知函數(shù)f。)=2cos(3X+9)(3>0,\(p\<5)的部分圖象如圖所示,

則()

A.3=2

B./Q)的單調遞減區(qū)間為(而+雪水兀+S，kez

C./Xx)的圖象可由函數(shù)y=2cos2%的圖象向右平移匾個單位得到

D.滿足條件(/(%)—/(—十))(/(%)—/(9))>0的最小正整數(shù)%為2

43

12.已知。€R,雙曲線C：x2cosd+y2sin26=1,貝!]()

A.?？赡苁堑谝幌笙藿荁.?？赡苁堑谒南笙藿?/p>

C.點(1,0)可能在C上D.點(0,1)可能在C上

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

55432

13.已知(％+Z?)=a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,若<23=40,則b=.

14.三棱錐P-ABC中，AB=AC=y[2,ABLAC,平面P8C_L平面ABC,5.PB=PC.記P-ABC的體積為U,

內(nèi)切球半徑為r,則2—拗最小值為

15.已知數(shù)列出九｝的通項公式為g=Mcos等，〃是數(shù)列｛,｝的前幾項和，則73九=-

第2頁，共13頁

16.設函數(shù)/(%)=sin(o)x+￡)3>0).

4

①給出一個3的值，使得/(%)的圖像向右平移親后得到的函數(shù)9。)的圖像關于原點對稱，3=；

②若/'(X)在區(qū)間(0,兀)上有且僅有兩個零點，則3的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

設neN,數(shù)對(%,%)按如下方式生成：(的,瓦)=(。，0)，拋擲一枚均勻的硬幣，當硬幣的正面朝上時，若

an>5，則5+14+1)=(an+l,bn+1),否則(M+L+I)=(an+1也);當硬幣的反面朝上時，若匕>

an,貝!](即+1，%+1)=(即+1,g+1)，否則(％1+1，g+力=(a.％+1)?拋擲幾次硬幣后，記%的概率

為匕.

(1)寫出(。2，與)的所有可能情況，并求匕，P2；

(2)求己.

18.(本小題12分)

在概率統(tǒng)計中，我們常常通過觀測到的實驗結果應用極大似然估計法來估計某參數(shù)的取值.設X為其分布列與

未知參數(shù)加有關的離散型隨機變量，其中小的取值范圍為S.若對已知結果X=k,有Hi。GS且VrnieS,有

P(X=k\m=m0)>P(X=k\m=機力成立，則稱7no為m在X=k下的一個極大似然估計.

(l)(i)若X服從二項分布B(2,m),求血在X=1下的極大似然估計；

(譏)若X服從二項分布B(mJ),求m在X=3下的極大似然估計.

(2)若某臺抽獎機上有一個按鈕，參與者需要連續(xù)快速點擊按鈕來累積積分換取獎品.已知每次點擊按鈕后，

獲得1積分的概率為p(0<P<1)，不獲得積分的概率為1-p.小麗參加這個抽獎活動后總共獲得了k積分，

用極大似然估計的方法估計她點擊按鈕的總次數(shù)瓶的取值為加，證明：m<-,并指出等號成立的條件.

0P

19.(本小題12分)

若數(shù)列5｝的各項均為正數(shù)，且對任意的相鄰三項&T，at,at+1,都滿足W哈則稱該數(shù)列為“對

數(shù)性凸數(shù)列”，若對任意的相鄰三項at,at+1,都滿足仰_1+即+1W2%,則稱該數(shù)列為“凸數(shù)列”.

(1)已知正項數(shù)列｛5｝是一個“凸數(shù)列"，且an=e%,(其中e為自然常數(shù)，nGN*),證明：數(shù)列｛冊｝是一

個“對數(shù)性凸數(shù)列”，且有的的0<a5a6；

2

(2)若關于x的函數(shù)/(x)=瓦+b2x+b3x+九爐有三個零點，其中仇>0(i=1,2,3,4).證明:數(shù)列瓦，b2,

b3,九是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”；

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(3)設正項數(shù)列劭，的,…，曲是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”，求證：(擊￡20g)(去￡；戈叼)之

（2見）□"?）.

20.(本小題12分)

已知雙曲線C：胃―，=l(a>0">0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2,雙曲線C的虛軸長為2,有一條漸近線

方程為y=^x,如圖，點4是雙曲線C上位于第一象限內(nèi)的點，過點a作直線I與雙曲線的右支交于另外一

點B,連接4。并延長交雙曲線左支于點P,連接P&與P&，其中/垂直于N&PF2的平分線rn,垂足為D.

(I)求雙曲線C的標準方程;

(II)求證：直線M與直線。4的斜率之積為定值;

(M)求3的最小值.

^AAPD

21.(本小題12分)

設拋物線c：y2=2Px(p>0)的焦點為F,已知點F到圓E：(x+3)2+y2=1上一點的距離的最大值為6.

(1)求拋物線C的方程.

(2)設。是坐標原點，點設拋物線P(2,4),A,B是拋物線C上異于點P的兩點，直線PA,P8與y軸分別相交于

M,N兩點(異于點。)，且。是線段MN的中點，試判斷直線是否經(jīng)過定點若是，求出該定點坐標；若不

是，說明理由.

22.(本小題12分)

如圖(1)所示，在平面四邊形SBC。中，△SBD是邊長為2的等邊三角形，BDIBC,^BCD=30°,A為邊SD

的中點，將△SBD沿4B折成直二面角，得到如圖(2)所示的四棱錐S—4BCD.

(I)若M為棱SC的中點，證明：〃平面SAD；

第4頁，共13頁

(II)求二面角。-SB-C的正弦值.

S

第5頁，共13頁

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】BD

13.【答案】±2

14.【答案】<6+2

15.【答案】史要

16.【答案】|（答案不唯一）（?]

17.【答案】解：（1）當拋擲一次硬幣結果為正時，（的,瓦）=（1,0）；

當拋擲一次硬幣結果為反時，（的,瓦）=（0,1）；

當拋擲兩次硬幣結果為（正,正）時，（。2也）=（2,1）

當拋擲兩次硬幣結果為（正,反）時,（。2也）=（1,1）

當拋擲兩次硬幣結果為（反,正）時，&也）=（1,1）

當拋擲兩次硬幣結果為（反,反）時,@也）=（1,2）

一一71

所以，P1=0,^2=4=2;

（2）由題知,K-bnl<1,

當an>bn,貝！l(an+i，b7t+i)=(an+1,+1),否則(ai4+i)=(an+1也);

且擲出反面時,有@+1，%+1)=(an,bn+1),此時an+i=bn+1,

當<bn,則(an+i，bn+i)=(an+l,bn+1),否則@+1也+i)=(an,bn4-1).

且擲出正面時，有（an+i，bn+D=（a”+1,b”），此時a”+i=bn+1,

第6頁，共13頁

所以4+1=22(即>bn)+-P(an<.)=^[P(an>bn)+P{an<篇)]=萬(1—七),

111

所以Pn+i_§=_2(4一§)，

所以{匕-m是以&—弓=—，為首項，—2為公比的等比數(shù)列，

所以4_〉招X(—扔T,所以4=A,x(-扔T.

18.【答案】解：(1)⑴因為X?3(2,TH),

1

2+

所以P(X=1)=C，m(l—m)=2m—2m2=-2(m2-

故當m=，寸取最大值，其極大似然估計為最

(譏)由題得mGN*,且m>3,

因為X?B(m,全，

所以P(X=3)=C2義(1)m=血啜姬一2),

人_〃(一T)(6一2)

。租一談'

(m+l)m(m—1)

[T||[flm+1_6-2八+1——+1

人」am-"(…乂2)-2m-4’

6.2m

其中TH之3,2m—4>0,

當m<5時，m+1>2m-4,即——T>1,則%+!.>“；

2m—4

當=5時，m+1=2m—4,即丁+：=i,則。=

2m-4°a°

當26時，m+1<2m-4,即普3V1,則%+!.<%n，

2m-4"e

故a7n在血=5或7n=6時取得最大值，

則血在X=3下的極大似然估計為5或6；

(2)證明：顯然有血>匕設瓶次點擊后獲得的積分為隨機變量X,

由題可知X?B(zn,p),

則P(X=k)=瑞P氣1-p)m-k,

設

am=*pkQ_p)m-k,

|j||lam+l_4+l/(l_p)7n+1卜_P)_(1-P)m+l-p

、-C治kQ—p)m-k-m!-m-k+1，

第7頁，共13頁

當(1—p)m+1—p<m—fc+1,即zn>^—1時，am+1<am,

當加<，一1時，dm+i>am,當m=，-l時，am+1=am,

①若K-l為整數(shù)，則對爪的極大似然估計犯)為A-1和2滿足恤三與當月6N*時等號成立，

pupppp

②若X-1不為整數(shù)，記N為小于A—1的最大整數(shù)，則N+1>A—1,

ppP

當l時，cim+i>口小；當mNN+1>，-1時，am+1<am,

則小的極大似然估計如為N+1<-,

P

故加0<5

綜上可得：m0<~,等號能成立的條件為A6N*.

PP

19.【答案】解：(1)因為即=e%,所以&=Inc1n9n>0),因為正項數(shù)列｛0｝是一個“凸數(shù)列

所以。七一1+Q+i42q,

所以"4_1+lnat+1<2lnat,所以4_i4+i<嫌，

所以數(shù)列是一個“對數(shù)性凸數(shù)列"，"=上，

atat-i

所以￡12<^2<...<變形可得到。1的0<a2a9<a3a8<a4a7<aa,

。9a8a2al56

所以數(shù)列｛即｝是一個“對數(shù)性凸數(shù)列”，且有的的0Wa5a6-

(2)根據(jù)題意及三次函數(shù)的性質易知((x)=b2+2b3x+有兩個不等實數(shù)根，

所以&=463—4x3b2b4>0=>>3b2b4,

又仇>0(i=1,2,3,4),所以叢>3b2b4>b2b4,

顯然x=0nf(0)=瓦>0,即乂=0不是/(%)的零點，

又=瓦+①(3+為(；)2+%(；)3,

1

2

令t=p則f(t)=必+b2t+b3t+b4t3也有三個零點，

即/(工)=如出空虻&有三個零點，

XX6

2

令0(%)=瓦/+b2x+b3x+64?

2

則gQ)=瓦%3+b2x+b3x+84有三個零點，

所以g'(x)=3瓦%2+2b2x+匕3有兩個零點，

所以同上有4=4場—4X3瓦無>0=%>3瓦以>b1b3,

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故數(shù)列瓦，b2,b3,久為一個“對數(shù)性凸數(shù)列”；

1111

(3)記S=+a2-\---F。九一1.則欲證不等式(在［2憶0見)(^^岑工％)之("X^o七)(12；=1初，

2

可化歸為九2(S+劭+an)S>(n—1)(5+a0)(S+an),即(S+a0)(S+an)>712aoa九①，

由數(shù)列｛%J為對數(shù)性凸數(shù)列知四<^<….，BPaoan<叩X<a2an_2<…，

ala2an

故s=￡屋"+產(chǎn)>akan_k>(n-1)^aoan

再由a。+an>2yJaoan,

222a22

得(S+a0)(S+an)=S+(a0+an)S+aoan>S+2^aoanS+(^/aoan)=(S+a0n)Nna0an

故式①成立.從而，原不等式成立.

20.【答案】解：(I)因為雙曲線C的虛軸長為2,

所以2b=2,

解得6=1,

因為雙曲線C一條漸近線方程為y=導,

所以a=V-3,

2

則雙曲線C的標準方程為yr一V=1；

(II)證明：不妨設2(a/0)，

因為點4與點P關于原點對稱，

所以P(一%o，—yo),

易知直線m的斜率存在，

不妨設直線m的斜率為k,

記五=(1,k),

因為直線m為乙RPB的平分線，

所以唯=鷲，

1^11IP&I

因為4尸兩點均在雙曲線上，

2

所以v年—%=1,

此時久0><3,

22

貝1」|耐|=V(-2+x0)+7o=J(-2+x0)+y-1=容尤o—

同理得|巨豆|=亨通+，百，

第9頁，共13頁

因為尸F(xiàn)i=(%o—2,y。)，PF?=(%o+2,"),

PF^a_PFya

乂麗^=麗？

西]、|(%0-2,%>(1?)_(x0+2,y0)-(l,/c)

所以孚50-苧比+與，

整理得g=3奴0，

則3,k=}k=3,

%04

故直線。4與直線m的斜率之積為定值；

(III)由(II)知通=3ky0,

因為%o>0,y0>0,

所以k>0,

xo=3kyo

聯(lián)立k21,

晝-據(jù)=1

又Xo>

3fe

解得出=,,y0=i[=，

J3/C2-1J3/-1

所以~^^=)水>苧，k屋,

J3k2-1J3k2TJ2k2TJ3k2-l

不妨設直線TH的方程為y=kx+n,

因為點p在直線血上，

解得?i=V3fc2-1,

所以直線zn的方程為y=kx+V3k2-1,k>?

因為直線AB的斜率為-j

k

不妨設直線SB的方程為x=-ky+t,

因為點4在直線4B上，

解得t=丁4,

J3k2—1

所以直線48的方程為刀=—ky+〒三，A(x1,yi),B(x2,y2),

』3k2—1

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消去久并整理得（1一3）y2--^=y+噲=0,

J3k2-13kT

OL.27k2+3

由韋達定理得%+y2=------1------,y/2=

（F-3）J3k2-l（必-3）（3/-1）'

因為<0,

所以憶2GG，3),

2

此時|AB|=V1+k21yl-y2|=V1+fcJ（yi+丫2）2-4yly2=------1—=

（3-/C2）J3/C2-1

所以建四=幽=3（必+1）2z3（必+1）2=3,

入△APD—|4叫一（3-/C2）（3/C2-1）-（必+1）2-'

當且僅當3-1=31—1,即上2=1時，等號成立，

故當k=l時，口取得最小值，最小值為3.

^AAPD

21.【答案】解：(1)易知拋物線C的焦點尸?,0),

因為點F到圓E上一點的距離的最大值為合+3+1=6,

解得p=4,

則拋物線C的方程為y2=8%；

(2)不妨設直線2B的方程為％=ty+zn,4(%,乃)，B(x2,y2)?

聯(lián)立D二:m,消去“并整理得了2—8ty-8m=0,

此時/=64/+32m>0,

由韋達定理得yi+y2=8t,yry2=-8m,

易知直線24的方程為y-4=紅1(%-2),

令I=0,

解得丫“=段等，

同理得3/'=受