概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識第一頁，共118頁。第一節(jié)概率基礎(chǔ)知識一、事件與概率（一）隨機(jī)現(xiàn)象：拋硬幣，投擲骰子，測量誤差

隨機(jī)現(xiàn)象

在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象。

特點(diǎn)——結(jié)果至少有兩個(gè)——哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，事先并不知道第二頁，共118頁。

樣本點(diǎn)隨即現(xiàn)象的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。

樣本空間：記為Ω

隨機(jī)現(xiàn)象可能樣本點(diǎn)的全部稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間。認(rèn)識一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，首要的是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。第三頁，共118頁。（二）隨機(jī)事件

事件（隨機(jī)事件）：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合。用大寫英文字母A、B、C……表示。第四頁，共118頁。

隨機(jī)事件的特征——任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集。——事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)（）A 中某一樣本點(diǎn)發(fā)生。——事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用語言要大家明白無誤?！我粯颖究臻gΩ有一個(gè)最大子集即Ω；它對應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用Ω表示?！我粯颖究臻gΩ都有一個(gè)最小子集即空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為Φ第五頁，共118頁。例1：若批產(chǎn)品既有合格品也有不合格品，記抽到合格品為“0”，抽到不合格品為“1”；從中順序抽取2件，則抽到產(chǎn)品結(jié)果的樣本空間為（所有可能結(jié)果的全體）：Ω={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}事件A=“至少有一件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)}事件B=“沒有一件合格品”={(1,1)}事件C=“至多有一件合格品”={0,1),(1,0)(1,1)}事件D=“至多兩件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}=Ω=“至多兩件不合格品”=事件E事件F=“抽到3件合格品”=Φ事件G=“沒有一件不合品格”={(0,0)}事件H=“兩次抽到的結(jié)果一致”={(0,0),(1,1)}若只抽1件，則樣本空間？A和B什么關(guān)系？A和C什么關(guān)系？B和G什么關(guān)系？第六頁，共118頁。4/14/20256

隨機(jī)事件的關(guān)系——包含：A

B或B

A

在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A。抽2次產(chǎn)品的例子中：事件B=“沒有一件合格品”={(1,1)}事件C=“至多有一件合格品”={0,1),(1,0)(1,1)}第七頁，共118頁?！ゲ幌嗳?/p>

在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱A與B互不相容。

可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容第八頁，共118頁?！嗟龋篈=B即A

B且B

A兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，若樣本A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等。投擲骰子2次：A={（x，y）：x+y=奇數(shù)}B={（x，y）：x與y的奇偶性不同}A=B=(1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5)(3,2),(3,4),(3,6)…則：事件D=“至多兩件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}=Ω=“至多兩件不合格品”=事件E第九頁，共118頁。（三）事件的運(yùn)算

事件運(yùn)算——對立事件（余事件）：A→則，，抽產(chǎn)品例子中：Ω={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}事件A=“至少有一件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)}事件B=“沒有一件合格品”={(1,1)}=第十頁，共118頁?！录嗀與B的并：A

B

由事件A與B中所有樣本點(diǎn)（相同的只計(jì)入一次）組成的新事件。稱為A與B的并，發(fā)生意味著“事件A與B至少一個(gè)發(fā)生”例如用樣本空間表示：A

={1,3,5}B={1,2,3}則A∪B={1,2,3,5}第十一頁，共118頁。——事件A與B的交：AB或AB

由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交。發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”

事件的并和交可推廣到更多個(gè)事件上去。在北京市隨機(jī)抽取一個(gè)人A=抽到的是60歲以上的老人B=抽到的是男性A∩B表示：抽到60歲以上男性第十二頁，共118頁?！录嗀對B的差：A-B

由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件，稱為A對B的差。（a）A-B第十三頁，共118頁。（b）A-B（）第十四頁，共118頁。事件運(yùn)算性質(zhì)：——交換律：，——結(jié)合律運(yùn)算相同：——分配律運(yùn)算不同：——對偶律：（并之余等于余之交）

可用維恩圖驗(yàn)證，可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上事件的運(yùn)算。（交之余等于余之并）第十五頁，共118頁。（四）事件的概率

概率——事件發(fā)生可能性大小的度量記為P（A）。降水概率：成功的概率：中獎(jiǎng)的概率：風(fēng)險(xiǎn)：不希望發(fā)生事件發(fā)生的可能性

概率是一個(gè)介于0和1之間的數(shù)，即0≤P(A)≤1;

必然事件的概率等于1，即P（Ω）=1；

不可能事件的概率等于0，即P（Φ）=0。第十六頁，共118頁。二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義（一）古典定義——所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)。如共有n個(gè)樣本點(diǎn)；——每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）；——假如被考察事件A含有K個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為：第十七頁，共118頁。（二）統(tǒng)計(jì)定義——與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的；

——若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生Kn次，則事件A發(fā)生的頻率為：——fn(A)將會隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。一般用重復(fù)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似?！怕适穷l率的穩(wěn)定值（極限值），例子見教材P10第十八頁，共118頁。例1：若批產(chǎn)品既有合格品也有不合格品，記抽到合格品為“0”，抽到不合格品為“1”；從中順序抽取2件，則抽到產(chǎn)品結(jié)果的樣本空間為（所有可能結(jié)果的全體）：Ω={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}事件A=“至少有一件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)}事件B=“沒有一件合格品”={(1,1)}事件C=“至多有一件合格品”={0,1),(1,0)(1,1)}事件H=“兩次抽到的結(jié)果一致”={(0,0),

(1,1)}若這批產(chǎn)品10000件中合格品與不合格品各占一半，且產(chǎn)品分布均勻隨機(jī)，則P（A）=？P（B）=？P（C）=？P（H）=？若批產(chǎn)品總數(shù)10000件中不合格品有2000件，結(jié)果會怎樣呢？第十九頁，共118頁。4/14/202519二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義（三）古典概率的計(jì)算第二十頁，共118頁。附件、排列與組合1.乘法原理：如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法,第二步有m2種方法,……第k步有mk種方法,則完成這件事共有m1×m2×……×mk種方法。例：甲城到乙城有3條線路，乙城到丙城有2條線路，則從甲城到丙城有3×2=6條線路。例：用0,~,9這十個(gè)數(shù)字，可以寫出多少個(gè)不重復(fù)的四位數(shù)？第二十一頁，共118頁。4/14/2025212.加法原理：如果做某件事可由k類不同方法之一完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法,在第二類方法中又有m2種完成方法,……在第k類方法中又有mk種完成方法,則完成這件事共有m1+m2+……+mk種方法。例如，由甲城到乙城有三類交通工具：汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個(gè)班次，火車有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，則從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供選擇。第二十二頁，共118頁。4/14/2025223、（選）排列定義（不放回抽樣，不可重復(fù)）從n個(gè)不同的元素中任取r(r不超過n)個(gè)元素并按一定順序排成一列，稱為一個(gè)排列。則不同的排列數(shù)共有若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有個(gè)，記為，即第二十三頁，共118頁。2025/4/14234、重復(fù)排列定義（放回抽樣）

從n個(gè)不同的元素中選出r個(gè)，排成一列，每個(gè)元素可以重復(fù)出現(xiàn)，這種排列稱為有重復(fù)排列。按乘法原理，此種重復(fù)排列種數(shù)共有個(gè)。第二十四頁，共118頁。2025/4/1424組合數(shù)從n個(gè)不同的元素a1,a2,

……,an中任取r個(gè)為一組（兩組元素有不同時(shí)才看成不同的組，即不考慮其排列順序),所能得出的全部不同的組數(shù)，稱為從n個(gè)元素中取r個(gè)的組合數(shù)，記作第二十五頁，共118頁。2025/4/1425三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則概率的性質(zhì)：（可由概率的定義看出）

——性質(zhì)1：對任意事件A，有0≤P(A)≤1；

——性質(zhì)2：

——性質(zhì)3：若A

B

則P（A-B）=P（A）-P（B）

第二十六頁，共118頁。三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則概率的性質(zhì)：（可由概率的定義看出）

——性質(zhì)4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

若A與B互不相容P（A∪B）=P（A）+P（B）——性質(zhì)5：對于多個(gè)互不相容事件A1，A2，……，有P(A1∪A2∪A3∪……)=P(A1)+P(A2)+p(A3)+……；

第二十七頁，共118頁。例1：若批產(chǎn)品既有合格品也有不合格品，記抽到合格品為“0”，抽到不合格品為“1”；從中順序抽取2件，則抽到產(chǎn)品結(jié)果的樣本空間為（所有可能結(jié)果的全體）：Ω={(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}事件A=“至少有一件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)}事件B=“沒有一件合格品”={(1,1)}=事件C=“至多有一件合格品”={0,1),(1,0)(1,1)}事件F=“抽到3件合格品”=Φ事件G=“沒有一件不合品格”={(0,0)}事件H=“兩次抽到的結(jié)果一致”={(0,0),

(1,1)}事件R=“兩次抽到的結(jié)果不一致”={0,1),(1,0)}R=C-B=A-G：有且只有一件合格品H=B

∪GR=Ω=A∪C第二十八頁，共118頁。4/14/202528四、條件概率與概率的乘法法則

（1）條件概率

兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記P（A/B）。計(jì)算公式：

第二十九頁，共118頁。

性質(zhì)6：對任意二個(gè)事件A與B，有

P(AB)=P(A

B)P(B)=P(B

A)P(A)

P(B)

0P(A)

0

第三十頁，共118頁。（2）獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率

相互獨(dú)立：

設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生與否，則稱A事件與B事件相互獨(dú)立。

第三十一頁，共118頁。

性質(zhì)7：

假如二個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為P(AB)=P(A)P(B)

性質(zhì)8：

假如二個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A

B)等于事件A的（無條件）概率p(A)

∵

事件的相互獨(dú)立可推廣到三個(gè)或更多的事件上去。

P(ABC)=P(A)P(B)P?注意：兩兩獨(dú)立不等于相互獨(dú)立，即：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)不能推出：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

第三十二頁，共118頁。第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量

隨機(jī)變量

用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y、Z……表示。取值帶有隨機(jī)性的變量稱作隨機(jī)變量（非唯一，不確定）第三十三頁，共118頁。

隨機(jī)變量類型

——離散隨機(jī)變量

一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能值僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)，稱為為離散（型）隨機(jī)變量。

——連續(xù)隨機(jī)變量

如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)范圍（a，b）或整個(gè)數(shù)軸，則此隨機(jī)變量為連續(xù)（型）隨機(jī)變量。

第三十四頁，共118頁。二、隨機(jī)變量的分布

隨機(jī)變量的分布

隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

隨機(jī)變量X的分布內(nèi)容：

——X可能取哪些值或在哪個(gè)區(qū)間上取值

——X取這些值的概率各是多少？或X在任 一小區(qū)間上取值的概率是多少？

第三十五頁，共118頁。（一）離散隨機(jī)變量分布的表示1、用分布列表示（離散分布）

分布列

或用數(shù)學(xué)式表達(dá)：

P(X=Xi)=pii=1，2……n（p1+…+pn=1）

pi也稱為分布的概率函數(shù)

第三十六頁，共118頁。（一）離散隨機(jī)變量的分布

例1：設(shè)Y表示“擲兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和”，它的分布列為：Y23456789101112

P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36則=2/36+3/36+4/36+

5/36=14/36=7/18例2：10個(gè)產(chǎn)品中，有2個(gè)不合格品，若隨機(jī)抽取4個(gè)產(chǎn)品，抽到不合格品的

個(gè)數(shù)X的分布：解

（不放回抽樣）X可能取值僅為0,1,2且

第三十七頁，共118頁。（二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布表示

用概率密度函數(shù)p（x）表示，其中：①p（x）≥0

②p（x）x第三十八頁，共118頁。

概率密度函數(shù)p(x)的各種形式

——位置不同

第三十九頁，共118頁?！⒉疾煌?/p>

第四十頁，共118頁?！螤畈煌?/p>

其中p(x)在x0點(diǎn)的值p(x)不是概率，是高度。

第四十一頁，共118頁。

注：縱軸原為“單位長度上的頻率”，由頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，縱軸就成為“單位長度上的概率”即概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線。

p（x）x第四十二頁，共118頁。

重要結(jié)論：

1．X在區(qū)間（a，b）上取值的概率P(a＜X＜b)為概率密度曲線以下區(qū)間（a，b）上的面積，即

P(a＜Χ＜b)=

第四十三頁，共118頁。2.X在一點(diǎn)取值的概率為零，即

P(X=a)=0

故：P(a＜x＜b)=P(a≤x≤b)

=P(a≤X＜b)

=P(a＜X≤b)

第四十四頁，共118頁。三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

均值（位置參數(shù)）：

用來表示分布的中心位置，用E(X)表示

X是離散隨機(jī)變量X是連續(xù)隨機(jī)變量第四十五頁，共118頁。

方差（形狀參數(shù)）：

用來表示分布的散布大小，用Var(x)表示

X是離散隨機(jī)變量X是連續(xù)隨機(jī)變量

標(biāo)準(zhǔn)差：用σ表示

表示分布散布大小。

第四十六頁，共118頁。

均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)

——對任意二個(gè)隨機(jī)變量X1和X2，有

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

——設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，有

E(ax+b)=aE(x)+b

第四十七頁，共118頁。——設(shè)X1與X2相互獨(dú)立

（和的方差等于方差之和）

這個(gè)性質(zhì)可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量場合

——方差的這個(gè)性質(zhì)不能推廣到標(biāo)準(zhǔn)差場合，對任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)

而應(yīng)為：

方差具有可加性，標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。

第四十八頁，共118頁。例1，離散隨機(jī)變量分布列為:X-101P0.10.20.7求該隨機(jī)變量的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

E(X)==-1×0.1+0×0.2+1×0.7=0.6

第四十九頁，共118頁。2025/4/1449四、常用分布（一）常用的離散分布

二項(xiàng)分布x=0，1，……，n

其中表示從n個(gè)不同元素取出x個(gè)的組合數(shù)。記為b（n，p）或B（n，p）第五十頁，共118頁。四、常用分布（一）常用的離散分布二項(xiàng)分布（用于無限總體抽樣中或有限總體放回抽樣，抽樣檢驗(yàn)中N≥250近似看做無限總體）條件:1)重復(fù)試驗(yàn)n次2）結(jié)果相互獨(dú)立3）僅有2個(gè)可能結(jié)果4）2試驗(yàn)結(jié)果的概率分別為p和1-p第五十一頁，共118頁。（一）離散隨機(jī)變量的分布

例2：10個(gè)產(chǎn)品中，有2個(gè)不合格品，若每次抽完檢驗(yàn)后再放回去，隨機(jī)抽

取4次，抽到不合格品的個(gè)數(shù)Y的分布：解

（放回抽樣）Y可能取值為0,1,2，3,4第五十二頁，共118頁。

二項(xiàng)分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差——均值E(x)=np——方差：Var(x)=np(1-p)——標(biāo)準(zhǔn)差：

兩點(diǎn)分布：n=1時(shí)的二項(xiàng)分布x=0，1——均值E(x)=p——方差：Var(x)=p(1-p)——標(biāo)準(zhǔn)差：第五十三頁，共118頁。泊松分布：（常用于無限總體計(jì)點(diǎn)過程）例子：1）一定時(shí)間內(nèi)，電話接錯(cuò)的次數(shù)2）一定時(shí)間內(nèi)，某操作系統(tǒng)故障次數(shù)3）一塊布匹上瑕點(diǎn)的個(gè)數(shù)4）一頁書上錯(cuò)字個(gè)數(shù)5）一幅地圖上標(biāo)注的錯(cuò)誤數(shù)前提：一定時(shí)間、一定區(qū)域或特定單位內(nèi)的計(jì)點(diǎn)次數(shù)用λ（λ>0）表示特定單位內(nèi)的平均計(jì)點(diǎn)數(shù)第五十四頁，共118頁。

泊松分布：（常用于計(jì)點(diǎn)過程）x=0，1，2，……記為P(λ)其中e=2.71828

泊松分布均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差——均值：E(X)=λ——方差：——標(biāo)準(zhǔn)差：第五十五頁，共118頁。例1，根據(jù)記錄統(tǒng)計(jì)（僅考慮weekday），某人在一天內(nèi)接到的電話次數(shù)平均為8次；1）一天“沒有接到電話”的概率。2）一天“接到7次電話”的概率。3）一天“接到至少2次電話”的概率。1)2)3)第五十六頁，共118頁。

超幾何分布：（有限總體不放回抽樣）x=1，2……，r式中r=min（n，M）M為批量N中所含不合格品數(shù)，n為樣本量記為h（n，N，M）例2：10個(gè)產(chǎn)品中，有2個(gè)不合格品，若隨機(jī)抽取4個(gè)產(chǎn)品，抽到不合格品的個(gè)數(shù)X的分布：第五十七頁，共118頁。超幾何分布：（有限總體不放回抽樣）（了解即可）

超幾何分布均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差——均值：——方差：第五十八頁，共118頁。（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

正態(tài)分布：能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值 的統(tǒng)計(jì)分布。正態(tài)分布概率密度函數(shù)：（-∞＜x＜+∞）

正態(tài)分布含兩個(gè)參數(shù)μ和σ，常記：N(μ,σ2)。其中μ為分布均值（即分布中心）；σ2為分布方差；σ﹥0為分布標(biāo)準(zhǔn)差。第五十九頁，共118頁。p(x)函數(shù)的特性：①對稱性，以x=μ為軸對稱，即對于任意實(shí)數(shù)a有：

②單峰性，當(dāng)x=μ時(shí)，p(x)取得最大值。③若σ越大，曲線越平緩；若σ越小，曲線越陡峭。第六十頁，共118頁。2025/4/1460P（x）函數(shù)曲線第六十一頁，共118頁。2025/4/1461

和

對p（x）曲線的影響p2(x)p1(x)p3(x)第六十二頁，共118頁。2025/4/1462第六十三頁，共118頁。4/14/202563第六十四頁，共118頁。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：μ=0且σ=1的正態(tài)分布，稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記N（0，1），其變量記為U，概率密度函數(shù)記為

(u)第六十五頁，共118頁。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可用于計(jì)算形如“U≤u”隨機(jī)事件發(fā)生的概率。如：查附表得0.93575——＜第六十六頁，共118頁?！镜诹唔?，共118頁。——第六十八頁，共118頁?！诹彭摚?18頁。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的分位數(shù)——

分位數(shù)（

為0~1間實(shí)數(shù)）

指它的左側(cè)面積恰好為

，右側(cè)面積恰好為1-

，即用概率表達(dá)當(dāng)

=0.5時(shí)，稱為中位數(shù)，N(0，1)分布中u0.5≡0

＜0.5時(shí)，如

=0.25則u0.25=-u0.75——查附表u0.75=0.675，故u0.25=-0.675第七十頁，共118頁。第七十一頁，共118頁。

正態(tài)分布的計(jì)算性質(zhì)1：設(shè)，則性質(zhì)2：設(shè)，則對任意實(shí)數(shù)a，b有——————第七十二頁，共118頁。例1.設(shè)求第七十三頁，共118頁。2025/4/1473

不合格品率為產(chǎn)品質(zhì)量特性X超出規(guī)范限（TL，TU）的概率——X超出TU（上規(guī)范限）的概率記PUpU=P（X>TU）——X超出TL（下規(guī)范限）的概率記PLpL=P（X<TL）——X的不合格品率P=PU+PL第七十四頁，共118頁。1.10正態(tài)分布的分位數(shù)的概念設(shè)我國成年人身高大約服從正態(tài)分布，有95%的人身高低于185cm，則185cm就是該正態(tài)分布的95%分位數(shù)。記為：設(shè)我國成年人體重大約服從正態(tài)分布，有99%的人體重低于100kg，則100kg就是該正態(tài)分布的99%分位數(shù)。記為：第七十五頁，共118頁。2025/4/1475

計(jì)算不合格品率要知道兩件事：——質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下， 常為正態(tài)分布N(μ,σ2)——產(chǎn)品規(guī)范限，是對產(chǎn)品質(zhì)量特性所作的要 求，這些要求可能是顧客要求；可能是標(biāo) 準(zhǔn)；可能是企業(yè)規(guī)定的技術(shù)要求。則：其中可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表第七十六頁，共118頁。TLTu第七十七頁，共118頁。

當(dāng)正態(tài)分布中心μ=規(guī)范中心時(shí)產(chǎn)品質(zhì)量特性X超出規(guī)范μ±3σ的不合格率pL=P(x﹤μ-3σ)=Ф(-3)=1-Ф(3)=1-0.99865=0.00135=1350PPmpU=P(x﹤μ+3σ)=1-Ф(3)=0.00135=1350PPmp=pL+pU=0.00135+0.00135=0.0027=2700PPm第七十八頁，共118頁。-6σ-5σ-4σ-3σ-2σ-σμσ2σ3σ4σ5σ6σ規(guī)范限±1σ±2σ±3σ±4σ±5σ±6σ合格品率（%）68.2795.4599.7399.993799.99994399.9999998不合格品率（ppm）317300455002700630.57.002第七十九頁，共118頁。指數(shù)分布：重要的質(zhì)量特性分布（可靠性）例子：1）設(shè)備維修時(shí)間2）排隊(duì)等候服務(wù)時(shí)間3）電子元器件壽命4）一次通話時(shí)間第八十頁，共118頁。4.1指數(shù)分布的記法4.2指數(shù)分布的分布函數(shù)4.2指數(shù)分布的密度函數(shù)第八十一頁，共118頁。2025/4/14814.5指數(shù)分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差第八十二頁，共118頁。2025/4/1482（三）其他連續(xù)分布

均勻分布——在區(qū)間（a，b）上的均勻分布，記U（a、b）0，，a﹤x﹤b其它第八十三頁，共118頁?！怠⒎讲?、標(biāo)準(zhǔn)差均值方差標(biāo)準(zhǔn)差第八十四頁，共118頁。對數(shù)正態(tài)分布3.1對數(shù)正態(tài)分布的記法3.2對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)（了解即可）第八十五頁，共118頁。2025/4/14853.3對數(shù)正態(tài)分布的均值、方差第八十六頁，共118頁。2025/4/1486

對數(shù)正態(tài)分布（特點(diǎn)）——隨機(jī)變量都在正半軸（0,+∞）上取值——大量取值在左邊，少量取值在右邊，且很 分散，這樣的分布稱之為右偏分布。（曲 線的尾巴在右邊）對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)第八十七頁，共118頁。五、中心極限定理

隨機(jī)變量的獨(dú)立性

隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立是指其中一個(gè)取什么值不影響另一個(gè)的取值，或者說是指兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的取值，互不影響。

隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以推廣到3個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量。第八十八頁，共118頁。

中心極限定理定理1、

即n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，X2，……Xn，若則其樣本均值服從正態(tài)分布N（μ，）。即：獨(dú)立同分布正態(tài)變量X的樣本均值服從正態(tài)分布N（μ，）第八十九頁，共118頁。

中心極限定理

在統(tǒng)計(jì)中，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值（仍然是一個(gè)隨機(jī)變量）將服從或近似服從正態(tài)分布。定理2，n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，X2，……Xn，均值μ和方差都存在，則在n較大時(shí)，其樣本均值服從或近似服從正態(tài)分布N（μ，）。第九十頁，共118頁。第三節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識一、總體、個(gè)體與樣本（一）總體與個(gè)體總體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，我們把研究對象的 全體成為總體。——當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)， 也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員。——當(dāng)研究產(chǎn)品的某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)， 把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體。第九十一頁，共118頁。（二）隨機(jī)樣本

滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本：1.隨機(jī)性?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會 入樣。2.獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)樣品對其它 樣本的的抽取無任何影響。

隨機(jī)樣本可看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。

下面所述的樣本都是指滿足這兩個(gè)要求的簡單隨機(jī)樣本。第九十二頁，共118頁。二、頻數(shù)（頻率）直方圖

為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。第九十三頁，共118頁。頻數(shù)（頻率）直方圖第九十四頁，共118頁。（二）直方圖的觀察與分析a.對稱型b.偏態(tài)型c.孤島型d.鋸齒型e.平頂型f.雙峰型第九十五頁，共118頁。三、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布1．統(tǒng)計(jì)量的概念不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)

樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計(jì)量，只有眾數(shù)除外。2．抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布第九十六頁，共118頁。（一）樣本數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值（2）樣本中位數(shù)Me(或)，n為奇數(shù)，n為偶數(shù)（3）眾數(shù)（Mod）數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。第九十七頁，共118頁。（二）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量（1）樣本極差（2）樣本方差第九十八頁，共118頁?！?yàn)閚個(gè)離差（）的總和為零，所以 對于n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有 n-1個(gè)，稱n-1為離差（或離差平方和）的 自由度。故方差用離差平方和除以n-1。簡化計(jì)算公式：或第九十九頁，共118頁。（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致（4）樣本變異系數(shù)第一百頁，共118頁。四、常用抽樣分布1．的分布

設(shè)X服從N（μ，），（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則服從 N（μ，）（1）的精確分布第一百零一頁，共118頁。（2）的漸進(jìn)分布

設(shè)X為任意分布，（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取一個(gè)樣本，若， ，則當(dāng)n→∞時(shí)，近似服從N（μ，）。第一百零二頁，共118頁。（3）——分布

設(shè)X服從N(0，1)，且設(shè)（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則服從自由度為n的分布，記作~(n)。

設(shè)X服從N（μ，），則第一百零三頁，共118頁。（3）t——分布

設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X~N(0，1)，Y~(n)則服從自由度為n的t—分布記作t~t(n)

設(shè)X~N（μ，），（x1，x2，……，xn）是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則第一百零四頁，共118頁。

設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且X~N（μ，），

Y~N（μ，），（x1，x2，……，xn1）與（y1，y2，……，yn2）分別由總體X和Y中抽取的樣本，則第一百零五頁，共118頁。（4）F——分布

設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X～χ2(N1)，Y～χ2(N2)則服從自由度為（N1，N2）的F——分布。記作F～F(N1，N2)。第一百零六頁，共118頁。

設(shè)X和Y相互獨(dú)立，X～，Y～，