《一元二次方程》知識(shí)歸納與題型訓(xùn)練（8類(lèi)題型）

01思維導(dǎo)圖

■一元二次方程的定義）

Y一元二次方程）一〔二次方程的一般式：渥+加+c=0（a#0））

L（一元二次方程的解）

因式繼法因式分解解一元二次方程的方廊因式分解法

直接開(kāi)方法;

把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊為一個(gè)非負(fù)常數(shù)，然

配方法

一元二次方程的解法后用開(kāi)平方法求解的方法

萬(wàn)能公式：廠也尸

一元二次方程

-4ac>0O方程or?+反+c=0（。#0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

-48=0o方程a?+及+c=0（。*0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

b2-4ac<0。方程—+及+c=0（。，0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果和/是1+及+，=0（叱0的兩個(gè)根，+=--；x,?x2=-.

平均增長(zhǎng)率問(wèn)題平均增長(zhǎng)率應(yīng)用問(wèn)題等量關(guān)系：原來(lái)的式1+寸=現(xiàn)在的

一元二次方程的應(yīng)用銷(xiāo)售問(wèn)題銷(xiāo)售類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題等量關(guān)系：?jiǎn)渭麧?rùn)》懶=總利潤(rùn)

一.動(dòng)點(diǎn)與幾何面積問(wèn)題J

02知識(shí)速記

一、一元二次方程ax?+bx+c=0（aw0）

1.一元二次方程的定義：方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，

這樣的方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的解：能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

⑴、a/+bx+c=0（aW0）稱(chēng)為一元二次方程的一般式，其中辦2、bx、。分別稱(chēng)為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和

常數(shù)項(xiàng)，。、6分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)；

（2）、在寫(xiě)一元二次方程的一般形式時(shí)，通常按未知數(shù)的次數(shù)從高到低排列，即先寫(xiě)二次項(xiàng)，再寫(xiě)一次項(xiàng),

最后是常數(shù)項(xiàng)；

二、一元二次方程的解法ax?+bx+c=0(。w0)

1.因式分解法：利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法；

這種方法把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程.

2.開(kāi)平方法：一般地，對(duì)于形如/20)的方程，根據(jù)平方根的定義，可得否=后，/=-6?

這種解一元二次方程的方法叫做開(kāi)平方法.

3.配方法：把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊為一個(gè)非負(fù)常數(shù)，然后用開(kāi)平方法求解，

這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

4.公式法：利用求根公式求解一元二次方程的根的方法叫做公式法.

對(duì)于一元二次方程a/+區(qū)+。=0(4wo),如果，那么方程〃—4ac20的兩個(gè)根為：

-b+^Jb~-Aac

X-

la

根的判別式：因?yàn)榉匠痰母那闆r由代數(shù)式〃-4ac的值決定，因此〃一4四叫做一元二次方程的根的

判別式，它的值與一元二次方程的根的關(guān)系是：

b2-4ac>0o方程ax?+bx+c=0(a00)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

b2-Aac=0<^>方程ax?+bx+c=0(a00)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

b~-4ac<0u>方程ax?+bx+c=0(a00)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)、因式分解的常用方法步驟：

①提公因式，②套用乘法公式，③某些“二次三項(xiàng)式”用“十字相乘”法因式分解；

(2)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，用配方法解方程時(shí)，第一步移項(xiàng)，第二步配方，兩邊同加的應(yīng)是一

次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方.

(3)公式法解一元二次方程寫(xiě)法步驟：

①分別寫(xiě)出a、b、c的值，并求出〃—4ac的值，

—b+b~—4ac

②分別將各部分帶入求根公式》=——--------并化簡(jiǎn)，

2a

③將兩個(gè)方程的解寫(xiě)開(kāi)，得再、的值

(4)利用配方法求最值步驟：

①提取二次項(xiàng)的系數(shù)，②將括號(hào)內(nèi)的部分配成完全平方式并配平，③根據(jù)完全平方式前

系數(shù)的正負(fù)，確定表達(dá)式的最大或最小值；

求-2/+6x-5的最大值

解析：—2x~+6x—5

T.1

當(dāng)工=一時(shí),一2一+6x-5的最大值是一一

22

三、一元二次方程的應(yīng)用

1、一元二次方程應(yīng)用題的解題步驟：

審題一一設(shè)元一一列方程一一解方程一一寫(xiě)答.

2、平均增長(zhǎng)率應(yīng)用問(wèn)題等量關(guān)系：原來(lái)的x(l+x)2=現(xiàn)在的

3、銷(xiāo)售類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題等量關(guān)系：?jiǎn)渭麧?rùn)義件數(shù)=總利潤(rùn)；

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

銷(xiāo)售類(lèi)應(yīng)用題在解題時(shí)，一般會(huì)有2個(gè)答案，如果一正一負(fù)，則通常負(fù)值舍去；如果兩個(gè)都是正的,

沒(méi)有其他范圍要求，則全部可取，如果有其他要求，比如“盡量給顧客得到實(shí)惠”、“盡快減少庫(kù)存”等,

一般需要舍去一個(gè)

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一般地，一元二次方程的根與系數(shù)有如下關(guān)系：

如果Xi、%2是—2+bx+c=0(a，0詢(xún)兩個(gè)根,那么占+%2=——；xi*x2

-aa

利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可以不必先求出方程的根，給計(jì)算帶來(lái)方便.

03題型歸納

題型一一元二次方程的定義與一元二次方程的解

例題：

1.（2024春?溫州期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.x-2y=lB.x2+3=-C.x2-2j+4=0D.x2-2x+l=0

2.（2024春?婺城區(qū)期中）一元二次方程3--21-7=0的一次項(xiàng)系數(shù)是（）

A.3B.-2C.2D.-7

3.（2024春?堇B州區(qū)期中）若x=2是關(guān)于x的一元二次方程/+加％-2=0的一個(gè)根，則冽的值為（）

A.1B.3C.-1D.-3

4.（2024春?溫州期中）若〃是關(guān)于x的方程3x2-I-1=0的一個(gè)根，則2024-6*+2〃的值是（）

A.2026B.2025C.2023D.2022

5.（2024秋?宿城區(qū)期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）

,1C

A.X3+2X=0B.x（x-3）=0C.——%=1D.y-x2=4

x2/

6.（2024春?余姚市期中）將方程（x-1）G+3）=1化成一般形式是.

鞏固訓(xùn)練

7.（2024春?錢(qián)塘區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（左-2）/+3工+廬-4=0的常數(shù)項(xiàng)為0,則左的值為

（）

A.-2B.2C.2或-2D.4或-2

8.（2024春?衢州期末）如果關(guān)于x的一元二次方程蘇+加-1=0的一個(gè)解是x=-1,則代數(shù)式2024-a+b

的值為（）

A.-2023B.-2025C.2023D.2025

9.（2024春?平湖市期末）關(guān)于x的一元二次方程辦2+6X=C（acWO）一個(gè)實(shí)數(shù)根為2024,則方程cx2+6x=

a一定有實(shí)數(shù)根（）

A.2024B.2Q24C.-2024D.—2024

題型二一元二次方程解法之開(kāi)平方

例題：

1.（2023秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）方程/=4的解是（）

A.勺=4,X2=~4B.X]=%2=2

C.x]=2,%2=12D.x\1,%2=4

2.（2023春?永嘉縣月考）若關(guān)于x的方程G-a）2-4=6有實(shí)數(shù)根，則6的取值范圍是（）

A.6>4B.b>-4C.624D.62-4

3.（2023春?上城區(qū)期中）關(guān)于x的一元二次方程x2=a的兩個(gè)根分別是2%-1與加-5,則m=.

鞏固訓(xùn)練

4.（2024春?蕭山區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程"2（x-/?）2-k=0（加，h,人均為常數(shù)，且機(jī)W0）

的解是町=2,町=5,則關(guān)于x的一元二次方程僅（x-h+3）2=左的解是.

5.（2024春?西湖區(qū)校級(jí)期中）一元二次方程3/=27的解為：.

題型三配方法與配方法的應(yīng)用

例題：

1.（2024?金東區(qū)二模）用配方法解方程x2-6x+l=0時(shí)，將方程化為（x-3）2=。的形式，則a的值是（）

A.8B.9C.10D.12

2.（2024春?溫州期中）用配方法解一元二次方程x2-8x-4=0時(shí)，可將原方程配方成（%-4）2=m,則加

的值是.

3.（2024春?濱江區(qū)期末）利用Ca±b）2可求某些整式的最值.例如/-2x+2=（x2-2x+l）+1=（x-1）

2+1,由（x-l）2\o知，當(dāng)x=l時(shí)，多項(xiàng)式/-2x+2有最小值1.對(duì)于多項(xiàng)式/+3x+2,當(dāng)》=

時(shí)，有最小值是.

4.（2024?金平區(qū)校級(jí)一模）解方程：/+6x+2=0.

5.（2024春?西湖區(qū)校級(jí)期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

（1）Cx-3）2-4=0；

（2）x2-4x-8=0.

鞏固訓(xùn)練

6.(2024?定海區(qū)開(kāi)學(xué))一元二次方程2x2+3x+l=0用配方法解方程，配方結(jié)果是()

Q21o21

A-(”+，=?B.2(%--)=-

-221O21

C.(x+4)=-8D.(久+4)--=-1

7.(2024春?慈溪市期末)方程/-8x+7=0配方后寫(xiě)成(x+m)』的形式，則b的值為.

8.(2024秋?義烏市月考)已知任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足等式x=/-4仍+4廬，y=4”86-5,則x,y的大小關(guān)系是

()

A.x=yB.x>yC.x<-yD.x^y

9.(2024春?余姚市期中)新定義：關(guān)于x的一元二次方程ai(x-c)2+k=。與a2(x-c)2+k=。稱(chēng)為"同

族二次方程”.例如：5(x-6)2+7=0與6(x-6)2+7=0是“同族二次方程”.現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次

方程(小+2)x~+(〃-4)x+8=0與2(x-1)2+1=0是"同族二次方程”，則代數(shù)式加/+〃工+2029的最

小值是.

10.(2023春?德清縣期末)解方程：

(1)x2-9=0；

(2)x2-6x+l=0.

11.(2024春?寧波期末)配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變

形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的

意義來(lái)解決一些問(wèn)題.我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成。2+廬(八方是整數(shù))的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完

美數(shù)”.例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?=1+22,所以5是“完美數(shù)”.

解決問(wèn)題：

(1)己知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成片+廬(°、6是整數(shù))的形式；

探究問(wèn)題：

(2)已知S=/+9J/+4X-12尹左(x、y是整數(shù)，左是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一

個(gè)人值，并說(shuō)明理由.

拓展結(jié)論：

_7

(3)已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足一久2+鏟+y-2=0,求5x-3y的最值.

題型四一元二次方程解法之因式分解法

例題：

1.（2024春?湖州期末）如表是某同學(xué)求代數(shù)式尤2-3x的值的情況，根據(jù)表格可知方程/-3x=0的根是

X???-2-10123.??

x2-3x???1040-2-20???

A.x=3B.x—QC.無(wú)=0或x=3D.尤=1或x=2

2.（2023秋?邦州區(qū)期末）方程x2-2024x+2023=0的解為.

3.（2024春?拱墅區(qū)期末）已知0,6為常數(shù)，若方程G-1）2=°的兩個(gè)根與方程G-3）（x-6）=0的

兩個(gè)根相同，貝.

4.（2024春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）解方程：

（1）x2-4x=1；

（2）2x（x-2）+x-2—0.

鞏固訓(xùn)練

5.（2024?鄲州區(qū)模擬）方程（x-2）2=2X（X-2）的解是（）

A.%1=2,X2=1B.%1=2,%2=-2

C.%i=2,工2=0D.Xj■-2>%2=11

6.（2023秋?臨海市期中）三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6,第三邊長(zhǎng)是方程/-6x+8=0的解，則這個(gè)三角形

的周長(zhǎng)是（）

A.-11B.13C.11或8D.11和13

7.（2023秋?汕尾期末）解方程：/-4x-5=0.

8.（2024春?上城區(qū)校級(jí)期中）解下列一元二次方程：

（1）x2-4x+2=0；

（2）（x-3）2-2x（x-3）=0.

題型五一元二次方程解法之公式法

例題:

1.（2023春?金東區(qū)月考）一元二次方程J+x-1=0的根是（）

*1I/匚-1]/匚

A.x=1—V5B.x=----------C.-1+V5D.x=-----=—

2.（2024秋?路橋區(qū)期中）用公式法解方程N(yùn)-3=5x時(shí)，a,b,。的值依次是（）

A.0,-3,5B.1,-3,5C.1,5,-3D.1,-5,-3

3.（2024春?寧波期末）如表，通過(guò)以上方法可將》=今二轉(zhuǎn)化為方程/+尸1=0,我們規(guī)定：方程/+工

-1—0稱(chēng)為x=炳21的還原方程.

V5-1

X~~~

去分母，2x=V5-1

移項(xiàng)，2x+l=V5

兩邊平方，4/+4%+1=5

整理，x2+x-1=0

（1）X=浮^的還原方程是.

（2）若》=遙—1,則代數(shù)式x3+3x?-2x+l=.

4.（2023春?南崗區(qū)期末）解方程：x（2x-4）=5-8x.

鞏固訓(xùn)練

a

5.（2024春?寧波期中）若。2+5"-〃=0,貝略的值為.

6.（2023春?新昌縣期中）古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元250年前后）在《算術(shù)》中就提到了一元二次方程的

問(wèn)題，不過(guò)當(dāng)時(shí)古希臘人還沒(méi)有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來(lái)求解.歐幾里得的《原本》

記載，形如/+辦=》（。>0,6>0）的方程的圖解法是（如圖）：畫(huà)RtZX/BC,使//C3=90°,BC=

ClCl

5,AC=b,再在斜邊上截取3。=萬(wàn).則該方程的一個(gè)正根是（）

A.CZ）的長(zhǎng)B.NC的長(zhǎng)C.的長(zhǎng)D.的長(zhǎng)

7.(2023春?衢江區(qū)期末)解方程:

(1)2y2+3y-1=0；

(2)x(x-4)=-4.

題型六一元二次方程根的判別系

例題：

1.（2024秋?義烏市月考）一元二次方程x2+2x-1=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.不能確定

2.（2024春?諸暨市校級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程依2+復(fù)-1=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.左2-1且k￥0B.k^-1C.k>-1D.左>-1且后￡0

3.（2023春?上城區(qū)期中）對(duì)于一元二次方程^開(kāi)bx+cuO（aWO）,下列說(shuō)法：

①若a+c—b,貝!]b1-4ac20；

②若方程a/+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c^0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

③若x=c是方程ox2+bx+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+b+l=O成立；

2

④若x=xo是一元二次方程辦2+6X+C=0的根，貝必2-4ac=（2ax0+b）；

其中正確的（）

A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D,只有①②

4.（2024?婺城區(qū)模擬）設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/+6x+c=0,已知①6=2,c=l；②6=-2,c=-3；③

6=1,c=2.請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈M條件中選擇其中一組6,c的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程.

5.（2024春?越城區(qū)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程/-2x+2加-1=0,其中機(jī)為常數(shù).

（1）若X=2是方程的一個(gè)根，求"2的值；

（2）當(dāng)加=-1時(shí)，求該方程的根；

（3）若方程有實(shí)數(shù)根，且加為正整數(shù)，求加的值及此時(shí)方程的根.

鞏固訓(xùn)練

6.（2024春?蕭山區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程依2一（4左-1）x+4左-3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

11

左<二■且左

A.k<4-B.4=0

11

左〉一:?且左

C.k>--4D.4W0

7.（2024春?泗陽(yáng)縣期末）關(guān)于x的一元二次方程/+6x+機(jī)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則加的值為.

8.（2024春?鄴州區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（4-1）尤2-2日+左-3=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍

是.

9.（2023秋?臨海市月考）已知關(guān)于x的方程/+亦+。-2=0.

（1）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求。的值及該方程的另一根；

（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

10.（2024?蕭山區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程/-2（3-m）x+5-2m=0.

（1）若方程的一個(gè)實(shí)根是3.求實(shí)數(shù)加的值.

（2）求證：無(wú)論加取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

題型七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

例題：

,一c1

1.(2024春?麗水期末)已知關(guān)于X的一元二次方程2/-加X(jué)-加=0的一個(gè)根是一萬(wàn)，則方程的另一個(gè)根是

()

11

A.-B.--C.1D.-1

2.(2024春?諸暨市期中)若xi，x2是一元二次方程/+%-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則2024-所-血的值為()

11

A.2025B.2023C.2024-D.2023-

3.(2024春?拱墅區(qū)校級(jí)期中)設(shè)修，也是一元二次方程/-4%-11=0的兩個(gè)根，則痣+若=()

A.-11B.4C.16D.38

4.(2024春?上城區(qū)校級(jí)期中)對(duì)于一元二次方程辦2+瓜+°=0(Q#0),下列說(shuō)法：

①若Q+Z?+C=O,則方程必有一根為x=1；

②若方程"2+c=o有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=o無(wú)實(shí)根；

③若方程辦2+樂(lè)+°=0(〃=0)兩根為修，工2且滿(mǎn)足則方程c/+bx+a=O(cWO),必有實(shí)根

11

，；

X1X2

2

④若X0是一元二次方程辦2+6X+C=0的根，貝必2—4ac=(2ax0+b).

其中正確的()

A.①②B.①④C.②③④D.①③④

5.(2024?西湖區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知關(guān)于x的一元二次方程/-(%+2)x+2%=0.

(1)求證：不論加為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根X[,X2滿(mǎn)足3-1)(X2-1)=14,求加的值.

鞏固訓(xùn)練

6.（2024春?上虞區(qū)期末）在解一元二次方程時(shí)，小馬同學(xué)粗心地將x2項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)對(duì)換了，使得方

程也變了.他正確地解出了這個(gè)不同的方程，得到一個(gè)根是2,另一根等于原方程的一個(gè)根.則原方程

兩根的平方和是（）

3245

A.~B.~C.~D.—

ZD54

7.（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）若方程加什尸0的一個(gè)根大于1,另一根小于1,貝Up+g的值（）

A.不大于1B.大于1C.小于1D.不小于1

8.（2024春?海曙區(qū)期末）已知xi，皿是方程2x2+3x-7=0的兩個(gè)根，則解也+問(wèn)城的值為（）

2125963133

A-彳B.--C.—可D.--

9.（2024秋?義烏市校級(jí)月考）已知：方程/-21）x+2廬-12左+17=0,兩根為x2,求好+成的

最大值與最小值.

10.（2024春?諸暨市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程J+6x-加=0.

（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求加的取值范圍；

（2）在（1）中，設(shè)修、X2是該方程的兩個(gè)根，且X1+X2-2XIX2=0,求"2的值.

題型八一元二次方程應(yīng)用題

1.（2024春?西湖區(qū)校級(jí)月考）某種商品經(jīng)過(guò)兩次大的降價(jià)后，售價(jià)僅為原售價(jià)的49%,則平均每次的降價(jià)

率為（）

A.30%B.40%C.50%D.51%

2.（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）某超市銷(xiāo)售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)12元，為擴(kuò)大銷(xiāo)

量，增加利潤(rùn)，超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，據(jù)測(cè)算，每箱每降價(jià)1元平均每天可多售出20箱，若要使每天銷(xiāo)售

飲料獲利1440元，則每箱應(yīng)降價(jià)元.

3.（2024秋?江津區(qū)期中）如圖，一塊長(zhǎng)12加，寬8加的長(zhǎng)方形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路

（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積為60加2,則道路的寬應(yīng)為

4.（2024春?諸暨市期末）諸暨的短柄櫻桃是浙江省紹興市的特產(chǎn)