PAGE1-第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[考綱傳真]1.能依據(jù)給定直線、圓的方程，推斷直線與圓的位置關(guān)系；能依據(jù)給定兩個(gè)圓的方程推斷兩圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)潔的問(wèn)題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想．1．直線與圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(2)兩種探討方法：①eq\x(\a\al(幾,何,法))eq\o(→,\s\up10(圓心到直線的距離為d),\s\do10(半徑為r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r?相交，弦長(zhǎng)l＝2\r(r2－d2),d＝r?相切,d＞r?相離))②eq\x(代數(shù)法)eq\o(→,\s\up10(聯(lián)立方程組消去xy),\s\do10(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交,Δ＝0?相切,Δ＜0?相離))2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的狀況相離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解eq\o([常用結(jié)論])1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件． ()(2)假如兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切． ()(3)假如兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交． ()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程． ()(5)過(guò)圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相切B．直線過(guò)圓心C．直線不過(guò)圓心，但與圓相交D．相離B[依題意知圓心為(－1,0)，到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(0,\r(12＋－12))＝0，所以直線過(guò)圓心．]3．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離B[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴兩圓相交．]4．已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝()A．0B.eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)或0D．eq\r(3)或0D[因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故選D．]5．直線x＋2y＝0被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長(zhǎng)等于________．4eq\r(5)[由已知圓心C(3,1)，半徑r＝5.又圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|3＋2|,\r(5))＝eq\r(5)，則弦長(zhǎng)＝2eq\r(r2－d2)＝4eq\r(5).]直線與圓的位置關(guān)系1.若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)D[圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心C(1,1)，半徑r＝1.因?yàn)橹本€與圓相交，所以d＝eq\f(|1＋m－2－m|,\r(1＋m2))<r＝1.解得m>0或m<0.故選D．]2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能C[直線2tx－y－2－2t＝0恒過(guò)點(diǎn)(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故選C．]3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4C[如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)．][規(guī)律方法]推斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ推斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可推斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題．圓與圓的位置關(guān)系【例1】已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(3,2)C．eq\f(9,4)D．2eq\r(3)C[由圓C1與圓C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依據(jù)基本(均值)不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up10(2)＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．故選C．][拓展探究]把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值．[解]由C1與C2內(nèi)切得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up10(2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，故ab的最大值為eq\f(1,4).[規(guī)律方法]推斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟是(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值；(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫(xiě)出結(jié)論．已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)．[解](1)證明：圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圓C1和C2相交．(2)圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).直線與圓的綜合問(wèn)題?考法1圓的切線問(wèn)題【例2】(1)已知圓的方程為x2＋y2＝1，則在y軸上截距為eq\r(2)的切線方程為()A．y＝x＋eq\r(2)B．y＝－x＋eq\r(2)C．y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2)D．x＝1或y＝x＋eq\r(2)(2)(2024·惠州第一次調(diào)研)過(guò)點(diǎn)A(3,4)作圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝2的切線l，則切線l的方程為_(kāi)_______．(1)C(2)x＋y－7＝0[(1)在y軸上截距為eq\r(2)且斜率不存在的直線明顯不是切線，故設(shè)切線方程為y＝kx＋eq\r(2)，則eq\f(|\r(2)|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝±1，故所求切線方程為y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2).(2)設(shè)切線l的方程為y＝kx＋b，點(diǎn)A(3,4)在切線l上，故4＝3k＋b.圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝2的圓心(2,3)到切線l的距離d＝eq\f(|2k＋b－3|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，可得eq\f(|－k＋1|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝－1，故b＝7，切線l的方程為x＋y－7＝0.]?考法2直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題【例3】(1)直線x＋eq\r(3)y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(2)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(guò)(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(1)2eq\r(3)(2)B[(1)∵圓x2＋y2＝4的圓心為點(diǎn)(0,0)，半徑r＝2，∴圓心到直線x＋eq\r(3)y－2＝0的距離d＝eq\f(|－2|,2)＝1，∴弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).(2)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時(shí)，弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0，選B.]?考法3直線、圓與相關(guān)學(xué)問(wèn)的交匯【例4】(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.[解](1)由題設(shè)可知直線l的方程為y＝kx＋1.因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由題設(shè)可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2.[規(guī)律方法]1.圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.2．弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，依據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).(1)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______．(2)若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝eq\r(1－x2)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．(1)2eq\r(2)(2)[1，eq\r(2))[(1)設(shè)P(3,1)，圓心C(2,2)，則|PC|＝eq\r(2)，半徑r＝2，由題意知最短的弦過(guò)P(3,1)且與PC垂直，所以最短弦長(zhǎng)為2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).(2)畫(huà)出圖像如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B時(shí)，m＝1，此時(shí)直線l與曲線y＝eq\r(1－x2)有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，m＝eq\r(2)，因此當(dāng)1≤m<eq\r(2)時(shí)，直線l：x＋y＝m與曲線y＝eq\r(1－x2)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．]1．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r＝3eq\r(2)，最小距離是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故選A.]2．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.2eq\r(2)[由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(|－1－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|AB|＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).]3．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則圓C的面積為_(kāi)_______．4π[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝eq\r(a2＋2).|AB|＝2eq\r(3)，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.]4．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m改變時(shí)，解答下列問(wèn)題：(1)能