浙江省五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若全集，集合及其關(guān)系用韋恩圖表示如圖，則圖中陰影表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圖中陰影表示的集合的元素屬于集合B，但是不屬于集合A，即可得出．【詳解】圖中陰影表示的集合的元素屬于集合B，但是不屬于集合A，即為.故選：C2.已知向量，向量滿足，若，則向量與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由數(shù)量積運(yùn)算律、模的坐標(biāo)公式得、，進(jìn)一步求得的值，結(jié)合向量夾角公式即可求解.【詳解】由題意，得，且，，設(shè)向量與的夾角為，則.故選：C.3.設(shè)b，c表示兩條直線，表示兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用平行，垂直的相關(guān)性質(zhì)定理逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，除非說(shuō)明共面，否則不能推出，A錯(cuò)誤，對(duì)于B：若，沒(méi)有說(shuō)明，不能推出，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則，，都有可能，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖，過(guò)直線作一個(gè)平面與交于直線，由線面平行的性質(zhì)定理可得，又，所以，又，得，D正確.故選：D.4.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得出，利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，整理可得，即，即，可得，故.故選：B.5.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，由為等比數(shù)列，解出值，即可判斷.【詳解】依題，“為等比數(shù)列”，所以，得，化簡(jiǎn)得，解得，則“”是“為等比數(shù)列”的充要條件.故選：C6.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（）A. B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，進(jìn)一步表示出，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，從而，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為.故選：A.7.已知雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)分別為、、A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意，得到以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為，設(shè)，則，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，得出，，根據(jù)，再利用余弦定理求出，之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)，則，由，解得或，∴，．又為雙曲線的左頂點(diǎn)，則，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，則，所以，則，即，所以∴．故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．8.在等邊三角形的三邊上各取一點(diǎn)，，，滿足，，，則三角形的面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，設(shè)，，在、分別利用正弦定理表示出、，從而得到，利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出的最大值，即可求出三角形面積最大值.【詳解】因?yàn)?，，，所以，設(shè)，，則，，，在中由正弦定理，即，所以，在中由正弦定理，即，所以，所以（其中），所以，則，即三角形的面積的最大值是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是用含式子表示出、，再利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在學(xué)校組織的《青春如火，初心如炬》主題演講比賽中，有8位評(píng)委對(duì)每位選手進(jìn)行評(píng)分（評(píng)分互不相同），將選手的得分去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.剩下評(píng)分的平均值變大 B.剩下評(píng)分的極差變小C.剩下評(píng)分的方差變小 D.剩下評(píng)分的中位數(shù)變大【答案】BC【解析】【分析】去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高評(píng)分平均分變換未知，根據(jù)極差概念知極差變小，根據(jù)方差意義知方差也變小，根據(jù)中位數(shù)概念知中位數(shù)未變.【詳解】去掉一個(gè)最低評(píng)分和一個(gè)最高分后剩下評(píng)分的平均值有可能變小、不變或變大，A錯(cuò)誤；剩下評(píng)分的極差一定會(huì)變小，B正確；剩下評(píng)分的波動(dòng)性變小，則方差變小，C正確；剩下評(píng)分的中位數(shù)不變，D錯(cuò)誤.故選：BC10.在三棱錐中，已知，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則（）A.B.異面直線AN，CM所成的角的余弦值是C.三棱錐的體積為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，向量法求直線的夾角判斷A，B；利用體積公式求三棱錐的體積判斷C；確定三棱錐的外接球的半徑，求表面積判斷D.【詳解】三棱錐中，已知，三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示，則有，解得，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則有，，，，，，所以，A選項(xiàng)正確；，，，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是，B選項(xiàng)正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積，為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A.的零點(diǎn)為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時(shí)，若恒成立，則D.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的圖象的所有切線，則所有切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】ACD【解析】【分析】由輔助角公式變換后求正弦函數(shù)的零點(diǎn)可得A選項(xiàng)；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出正弦函數(shù)的遞增區(qū)間可得B選項(xiàng)；分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，求最小值可得C選項(xiàng)；設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，再代入可得，得到都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再利用對(duì)稱性求出給定區(qū)間內(nèi)的切點(diǎn)之和可得D選項(xiàng).【詳解】A：，所以，故A正確；B：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，函數(shù)為遞增函數(shù)，解得，故B錯(cuò)誤；C：若恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)取任意值，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則畫(huà)出中括號(hào)內(nèi)的函數(shù)圖像由函數(shù)圖像可知，在恒成立，所以單調(diào)遞減，所以，故，故C正確；（老師，請(qǐng)聯(lián)系我一下，謝謝）D：因?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為，則切線方程為，代入點(diǎn)可得，兩邊同時(shí)除以可得，令，所以都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則所有的切點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)共有對(duì)切點(diǎn)，每對(duì)和為，故所有切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)即為使函數(shù)等于零時(shí)方程的根；（2）帶參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題求參數(shù)范圍時(shí)，可分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值與參數(shù)比較即可；（3）對(duì)于求曲線的切線方程時(shí)可求導(dǎo)后代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)求其斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)在切線上代入切線方程得出具體的切線方程.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線的一個(gè)方向向量是____________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由直線方向向量的定義求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量是.故答案為：（答案不唯一）13.甲、乙兩人爭(zhēng)奪一場(chǎng)羽毛球比賽的冠軍，比賽為“三局兩勝”制.如果每局比賽中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為_(kāi)__________.【答案】##0.4【解析】【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽進(jìn)行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進(jìn)行了三局的概率.【詳解】設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽共進(jìn)行了3局為事件B，則AB表示在甲獲得冠軍的條件下，比賽共進(jìn)行了3局，，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱性可分別推出函數(shù)與的周期性，再由條件可得的值，結(jié)合函數(shù)的周期性即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以，，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，由可得，即，為常數(shù)，所以，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，，故，即是函數(shù)的一個(gè)周期，由可得，所以，即，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，，故，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以，由，令，則，而，所以，則，所以，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性以及周期性的綜合，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由函數(shù)奇偶性的定義推導(dǎo)得到函數(shù)的對(duì)稱性，從而確定周期.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且.（1）求證:平面平面;（2）若斜棱柱的高為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）BC中點(diǎn)為，連接，由且，證得平面，可證平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取BC中點(diǎn)為，連接，在底面內(nèi)的射影恰好是BC中點(diǎn)，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，斜棱柱的高為，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則有，令，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.己知函數(shù)，其中.（1）若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值;（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，【解析】【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求出參數(shù)值.（2）含參分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最大值，分別求解即可得到參數(shù)值.【小問(wèn)1詳解】，則，故曲線在處的切線為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線為，不符合要求當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，故，即，故【小問(wèn)2詳解】，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，的最大值是，解得，舍去;②當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，又在上的最大值為;當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，舍去.綜上所述，存在符合題意，此時(shí)17.記復(fù)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造:從數(shù)集中隨機(jī)取出2個(gè)不同的數(shù)作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.重復(fù)次這樣的構(gòu)造，可得到個(gè)復(fù)數(shù)，將它們的乘積記為.已知復(fù)數(shù)具有運(yùn)算性質(zhì):，其中.（1）當(dāng)時(shí)，記的取值為，求的分布列;（2）當(dāng)時(shí)，求滿足的概率;（3）求的概率.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依題意可得構(gòu)成的復(fù)數(shù)共有6個(gè)，再根據(jù)模長(zhǎng)不同求得取值，再求出對(duì)應(yīng)概率即可；（2）由模長(zhǎng)求出的所有可能組合，即可求出對(duì)應(yīng)概率；（3）列舉出所有滿足的組合，分別求出對(duì)應(yīng)的概率即可得.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，可構(gòu)成的復(fù)數(shù)為共6個(gè)復(fù)數(shù)，模長(zhǎng)為的可能取值為，，，所以分布列為:X1234【小問(wèn)2詳解】共有種，滿足的情況有:①3個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1，共有種;②3個(gè)復(fù)數(shù)中，2個(gè)模長(zhǎng)均為1，1個(gè)模長(zhǎng)為或者2，共有種;所以.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)或2時(shí)，顯然都滿足，此時(shí);當(dāng)時(shí)，滿足共有三種情況:①個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)均為1，則共有;②個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1，剩余1個(gè)模長(zhǎng)為或者2，則共有;③個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為1，剩余2個(gè)模長(zhǎng)為或者2，則共有.故，此時(shí)當(dāng)均成立.所以.18.在平面直角坐標(biāo)系中，我們把點(diǎn)稱為自然點(diǎn).按如圖所示的規(guī)則，將每個(gè)自然點(diǎn)進(jìn)行賦值記為，例如，.（1）求;（2）求證:;（3）如果滿足方程，求值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）474.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由圖形分別計(jì)算與，然后代入計(jì)算，即可證明；（3）根據(jù)題意，將方程轉(zhuǎn)化為，然后化簡(jiǎn)，分別計(jì)算與的值，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)圖形可知【小問(wèn)2詳解】固定，則為一個(gè)高階等差數(shù)列，且滿足所以，所以，，所以.【小問(wèn)3詳解】，等價(jià)于，等價(jià)于，即，化簡(jiǎn)得，由于增大，也增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的新定義問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解圖形的意思，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解答.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)在第一象限）.（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程;（2）若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O，M，N），（i）證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析；縱坐標(biāo)為0；（ii）.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和已知關(guān)系即可求解.（2）（i）由O，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，由方程根的思想即可求解.或O，M，C，N四點(diǎn)共圓，由，，也可求解.（2）（ii）記的面積分別為，分別聯(lián)立方程先求出，所以，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求解.【小問(wèn)1詳解】解:設(shè)直線聯(lián)立，消去，得，所以，，則，則，又由題意，直線的方程是;【小問(wèn)2詳解】（