選擇性必修第三冊第七章隨機(jī)變量及其分布第五講二項(xiàng)分布問題情境：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次擊中靶的概率是0.8，連續(xù)射擊三次，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？二、知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一重伯努利試驗(yàn)(次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))1.重伯努利試驗(yàn)的定義（1）我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).（2）將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).2.重伯努利試驗(yàn)的特征（1）每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的，有關(guān)事件的概率保持不變；（2）各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，結(jié)果互不影響；（3）每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，這兩種結(jié)果是對(duì)立的3.重伯努利試驗(yàn)的概率公式一般地，如果在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是,事件在次試驗(yàn)中發(fā)生次，共有種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知，每種情形下，在次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為().知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)分布1.二項(xiàng)分布一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作．2.二項(xiàng)分布中的各量表示的意義：伯努利試驗(yàn)的次數(shù)；：事件發(fā)生的次數(shù)：每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，并稱為成功概率3.二項(xiàng)分布的均值與方差若隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布，即,則,.三、類型歸納類型一n重伯努利試驗(yàn)的判斷類型二n重伯努利試驗(yàn)的概率問題類型三二項(xiàng)分布及其應(yīng)用類型四二項(xiàng)分布的均值與方差類型五服從二項(xiàng)分布的概率最值問題類型應(yīng)用【例1】（2122高二·全國·課后作業(yè)）重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念【分析】由重伯努利試驗(yàn)試驗(yàn)的定義判斷即可．【詳解】解：只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn)，故重伯努利試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件：①各次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果；③各次試驗(yàn)成功的概率是相同的；故選：C【跟蹤訓(xùn)練1】（多選）下列試驗(yàn)不是重伯努利試驗(yàn)的是（

）．A．依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了次C．口袋中裝有個(gè)白球，個(gè)紅球，個(gè)黑球，依次從中抽取個(gè)球D．小明做道難度不同的數(shù)學(xué)單選題【答案】ACD【詳解】A．由于試驗(yàn)的條件不同（硬幣質(zhì)地不同），因此不是重伯努利試驗(yàn)．B．某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，因此是重伯努利試驗(yàn)．C．每次抽取，每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等，因此不是重伯努利試驗(yàn)．D．道題難度不同，每道題做對(duì)的概率也不同，因此不是重伯努利試驗(yàn)．故選：ACD．【例2】（2021高二·全國·課后作業(yè)）下列例子中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的個(gè)數(shù)為（

）①某同學(xué)投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數(shù)；②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)；③從裝有5個(gè)紅球，5個(gè)白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球?yàn)橹梗桨浊驎r(shí)的摸球次數(shù)；④有一批產(chǎn)品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的特征即可判斷.【詳解】①滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，是二項(xiàng)分布；②的取值是1，2，3…，，（），顯然不符合二項(xiàng)分布的定義，因此不服從二項(xiàng)分布；③雖然是有放回地摸球，但隨機(jī)變量的定義是直到摸出白球?yàn)橹梗簿褪钦f前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項(xiàng)分布的定義；④次試驗(yàn)是不獨(dú)立的，因此不服從二項(xiàng)分布．所以只有1個(gè)服從二項(xiàng)分布.故選：B．【跟蹤訓(xùn)練21】（2024高二·全國·專題練習(xí)）（多選題）下列例子中隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布的有（

）A．X表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)B．某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，X表示從開始射擊到擊中目標(biāo)所需次數(shù)C．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)D．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的特征和定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，設(shè)事件E為“拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則，則在n重伯努利試驗(yàn)中事件E恰好發(fā)生了次的概率，符合二項(xiàng)分布的定義，即有．對(duì)于B，X的取值是1，2，3，…，n，，顯然不符合二項(xiàng)分布的定義，因此X不服從二項(xiàng)分布．選項(xiàng)C與D的區(qū)別是：C是“有放回”抽取，而D是“無放回”抽取，顯然D中n次試驗(yàn)是不獨(dú)立的，因此X不服從二項(xiàng)分布，對(duì)于C，X顯然服從二項(xiàng)分布，且．故選：AC.【跟蹤訓(xùn)練22】（2223高二下·河北唐山·階段練習(xí)）在100件產(chǎn)品中有5件次品，采用放回的方式從中任意抽取10件，設(shè)表示這10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念【分析】由二項(xiàng)分布的定義判斷.【詳解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是，相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)的伯努利實(shí)驗(yàn)，所以服從二項(xiàng)分布.故選：B【例3】將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在0.4，0.6內(nèi)的概率【分析】拋擲硬幣是n重伯努利試驗(yàn)，“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等，正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.【詳解】設(shè)=“正面朝上”，則，用X表示事件發(fā)生的次數(shù)，則.①恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價(jià)于=5，于是②正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)等價(jià)于，于是(【跟蹤訓(xùn)練31】（2425高二下·北京·階段練習(xí)）某人通過普通話二級(jí)測試的概率是，若他連續(xù)測試3次（各次測試互不影響），那么其中恰有一次通過的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】根據(jù)題意，由次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，他連續(xù)測試3次其中恰有一次通過的概率是.故選：D【跟蹤訓(xùn)練32】（2425高三上·河北邢臺(tái)·期末）某籃球運(yùn)動(dòng)員投球的命中率是，他投球4次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為.（用數(shù)值作答）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】直接運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】投球4次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練33】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次停止，設(shè)停止時(shí)共取了次球，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的定義即可得到答案.【詳解】由題意知第12次取到紅球，前11次中恰有9次取到紅球，2次取到白球，由于每次取到紅球的概率為．由二項(xiàng)分布知識(shí)可知，故選：D．【例4】（2024高三·全國·專題練習(xí)）某射手射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.7，設(shè)4次射擊擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.9163 B．0.0081C．0.0756 D．0.9919【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】根據(jù)題意可知服從二項(xiàng)分布，利用可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，的取值為，∵.∴.故選：D.【跟蹤訓(xùn)練41】（2425高二下·全國·單元測試）已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率是0.8，則該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為（

）A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】利用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算易得.【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)員射擊4次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則,于是，該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為：．故選：B.【跟蹤訓(xùn)練42】（2425高三下·湖南永州·開學(xué)考試）五一臨近，某火車站有三個(gè)安檢入口，每個(gè)安檢入口每天通過的旅客人數(shù)超過1100人的概率為0.2，假設(shè)三個(gè)安檢入口均能正常工作，則這三個(gè)安檢入口每天通過的旅客人數(shù)至少有兩個(gè)超過1100人的概率為．【答案】/0.104【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，列式計(jì)算即可得解.【詳解】依題意，旅客人數(shù)超過1100人的概率不低于0.2，即，所以這三個(gè)安檢入口每天至少有兩個(gè)超過1100人的概率為.故答案為：【例5】（2425高二·全國·課堂例題）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用二項(xiàng)分布求分布列【分析】由二項(xiàng)分布的概率公式運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，．故選：D【跟蹤訓(xùn)練5】（2425高二·全國·課堂例題）已知，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用二項(xiàng)分布求分布列【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算即可【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以．故答案為：【例6】高爾頓板示意圖，教材中圖7.42：用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列．【分析】小球下落過程中與小木釘碰撞是n重伯努利試驗(yàn)，小球最后落入格子的號(hào)碼等于向右下落的次數(shù)，因此X服從二項(xiàng)分布?！驹斀狻吭O(shè)=“向右下落”，則=“向左下落”，且.因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼X于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以.于是，的分布列為.【跟蹤訓(xùn)練61】（2425高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)接通率為，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心，且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)的分布列.【答案】答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用二項(xiàng)分布求分布列【分析】由條件確定的可能取值，再結(jié)合二項(xiàng)分布分布列結(jié)論求的分布列.【詳解】由題意可知的可能取值有，且，，，則，，，.的分布列為0123【跟蹤訓(xùn)練62】（2425高二下·全國·課堂例題）已知某種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個(gè)患有該病的患者服用了這種藥物，觀察其中有多少患者會(huì)被這種藥物治愈.(1)這能否看成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)？(2)求甲、乙、丙都被治愈而丁沒有被治愈的概率；(3)求恰有3個(gè)患者被治愈的概率；(4)設(shè)有X人被治愈，求X的分布列.【答案】(1)可以看成4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；(2)；(3)；(4)分布列見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用二項(xiàng)分布求分布列、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念、獨(dú)立事件的乘法公式【分析】（1）由獨(dú)立重復(fù)事件的概念即可判斷；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求解即可．（3）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求解即可．（4）根據(jù)題意，判定為二項(xiàng)分布，根據(jù)概率公式求出概率，列出分布列．【詳解】（1）由題意可知：因?yàn)槊棵颊弑恢斡母怕什粫?huì)互相影響，所以構(gòu)成獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)．可以看成4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；（2）由獨(dú)立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁沒有被治愈的概率：；（3）恰有3個(gè)患者被治愈的概率：；（4）根據(jù)題意可知?jiǎng)t,,,,.則分布列為：【跟蹤訓(xùn)練63】（2425高二·全國·課堂例題）在一次數(shù)學(xué)考試中，第22，23，24題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題，設(shè)5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為，每位考生對(duì)每題的選擇是相互獨(dú)立的，各考生的選擇相互之間沒有影響．(1)求其中甲，乙兩人選做同一題的概率；(2)設(shè)選做第23題的人數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式、利用二項(xiàng)分布求分布列【分析】（1）通過分析甲、乙兩人選做同一題的各種情況，利用相互獨(dú)立事件概率公式來計(jì)算概率；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算不同取值的概率，從而列出分布列.【詳解】（1）設(shè)“甲選第22題”，“甲選第23題”，“甲選第24題”，“乙選第22題”，“乙選第23題”，“乙選第24題”，則甲、乙兩人選做同一題的事件為，且與與與相互獨(dú)立，所以．（2）設(shè)可能的取值為0，1，2，3，4，5．因?yàn)椋裕缘姆植剂袨?12345【例7】（2425高二·全國·課堂例題）設(shè)如果，那么，．【答案】/3.2/0.64【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值、二項(xiàng)分布的方差【分析】由二項(xiàng)分布方差以及期望的公式求解即可.【詳解】．故答案為：；【跟蹤訓(xùn)練71】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，若，，則．【答案】16【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值、二項(xiàng)分布的方差【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式可得.【詳解】因?yàn)?，，所以．所以，．故答案為?6【跟蹤訓(xùn)練72】（2425高二上·廣西梧州·期末）已知隨機(jī)變量，若，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題、二項(xiàng)分布的均值、二項(xiàng)分布的方差【分析】根據(jù)可得，求出，結(jié)合二項(xiàng)分布求出概率即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：【跟蹤訓(xùn)練73】（2425高二上·江西上饒·期末）已知隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的方差、二項(xiàng)分布的均值【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布均值與方差的性質(zhì)公式，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故選：C.【跟蹤訓(xùn)練74】（2425高二上·江西九江·期末）若隨機(jī)變量，則（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值、均值的性質(zhì)【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求期望公式得到，從而由得到答案.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)，得，.故選：B．【例8】（2425高二下·北京·階段練習(xí)）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲2次，記X為“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的均值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值【分析】先判斷出，然后利用均值的計(jì)算公式求解即可．【詳解】由題意可知，，所以．故選：C【跟蹤訓(xùn)練81】（2425高二下·全國·課堂例題）某人每次射擊命中目標(biāo)的概率均為0.5，現(xiàn)連續(xù)射擊10次，則擊中目標(biāo)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，，所以.故答案為：5【跟蹤訓(xùn)練82】（2024高三上·山東濟(jì)南·專題練習(xí)）農(nóng)科院專家李教授對(duì)新品種蔬菜種子進(jìn)行發(fā)芽率試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組5個(gè)坑，每個(gè)坑種1粒種子.經(jīng)過大量試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組沒有發(fā)芽的坑數(shù)的平均數(shù)為，則每粒種子發(fā)芽的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值【分析】每個(gè)坑不發(fā)芽的概率為，設(shè)每組不發(fā)芽的坑數(shù)為，根據(jù)題意得出，利用二項(xiàng)分布進(jìn)而求解即可.【詳解】由題意知，每組中各個(gè)坑是否發(fā)芽相互獨(dú)立，每個(gè)坑不發(fā)芽的概率為，設(shè)每組不發(fā)芽的坑數(shù)為，則，所以每組沒有發(fā)芽的坑數(shù)的平均數(shù)為，解得，所以每個(gè)種子的發(fā)芽率為.故選：C.【例9】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）某學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì)，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎(jiǎng)．甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類票各一張．每個(gè)節(jié)目投票時(shí)，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響．若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng)；否則，該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng)．(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”票和“待定”票票數(shù)之和的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為2【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立事件的乘法公式、利用二項(xiàng)分布求分布列、求離散型隨機(jī)變量的均值【分析】（1）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”，則事件包括：該節(jié)目可以獲2張“獲獎(jiǎng)”票，或者獲3張“獲獎(jiǎng)”票，利用二項(xiàng)分布的概率公式求解即可；（2）所含“獲獎(jiǎng)”票和“待定”票票數(shù)之和的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，即可得到的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)”，則事件包括：該節(jié)目可以獲2張“獲獎(jiǎng)”票，或者獲3張“獲獎(jiǎng)”票．因?yàn)榧?、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，所以．（2）所含“獲獎(jiǎng)”票和“待定”票票數(shù)之和的可能取值為0，1，2，3，，，，，因此的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望．（或由，得）.【跟蹤訓(xùn)練91】（2425高二下·全國·課堂例題）國慶節(jié)前，某學(xué)校計(jì)劃選派部分優(yōu)秀學(xué)生干部參加宣傳活動(dòng)，報(bào)名參加的學(xué)生需進(jìn)行測試，共設(shè)4道選擇題，規(guī)定必須答完所有題，且每答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)得0分，至少得3分才能成為宣傳員；甲、乙、丙三名同學(xué)報(bào)名參加測試，他們答對(duì)每道題的概率都為，且每個(gè)人答題相互不受影響．(1)求甲、乙、丙三名同學(xué)恰有兩名同學(xué)成為宣傳員的概率；(2)用隨機(jī)變量表示三名同學(xué)能夠成為宣傳員的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】(1)(2)，【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的均值、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】（1）先求出每個(gè)同學(xué)成為宣傳員的概率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）每個(gè)同學(xué)成為宣傳員需得3分或4分，即答對(duì)3道或4道試題，所以每個(gè)同學(xué)成為宣傳員的概率為，因?yàn)槊總€(gè)人答題相互不受影響，所以三人是否成為宣傳員是相互獨(dú)立事件，又因?yàn)槊總€(gè)人成為宣傳員的概率均為，所以甲、乙、丙三名同學(xué)恰有兩名同學(xué)成為宣傳員的概率為．（2）因?yàn)槊總€(gè)人成為宣傳員的概率均為，故為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，又隨機(jī)變量表示能夠成為宣傳員的人數(shù)，即3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生次的概率，所以隨機(jī)變量滿足二項(xiàng)分布，所以，．【跟蹤訓(xùn)練92】（2425高三下·河北·開學(xué)考試）春節(jié)期間有一過關(guān)贏獎(jiǎng)勵(lì)娛樂活動(dòng)，參與者需先后進(jìn)行四個(gè)關(guān)卡挑戰(zhàn)，每個(gè)關(guān)卡都必須參與.前三個(gè)關(guān)卡至少挑戰(zhàn)成功兩個(gè)才能夠進(jìn)入第四關(guān)，否則直接淘汰，若四關(guān)都通過，則可以贏得獎(jiǎng)勵(lì).參與者甲前面三個(gè)關(guān)卡每個(gè)挑戰(zhàn)成功的概率均為，第四關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率為，且各關(guān)挑戰(zhàn)成功與否相互獨(dú)立.(1)求參與者甲未能參與第四關(guān)的概率；(2)記參與者甲本次挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【知識(shí)點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列、獨(dú)立事件的乘法公式、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題、求離散型隨機(jī)變量的均值【分析】（1）根據(jù)題意，甲未能參與第四關(guān)包含兩種情況，前三個(gè)關(guān)卡挑戰(zhàn)成功0個(gè)和1個(gè)，利用二項(xiàng)分布，相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解；（2）的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）參與者甲未能參與第四關(guān)的概率為：（2）記參與者甲本次挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，的分布列為：X01234P數(shù)學(xué)期望為【跟蹤訓(xùn)練93】（2425高三下·上?！るA段練習(xí)）某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過面試.已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且兩位應(yīng)聘者每題正確完成與否互不影響.(1)求甲正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其方差；(3)試問:甲和乙誰通過面試的可能性更大?并說明理由.【答案】(1)分布列見解析；(2)分布列見解析；(3)甲通過面試的可能性更大；理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】利用二項(xiàng)分布求分布列、建立二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問題、離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差、超幾何分布的分布列【分析】（1）確定的可能取值，利用超幾何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可；（2）確定的可能取值，利用二項(xiàng)分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可；（3）確定甲、乙通過面試的概率，比較即可的結(jié)論.【詳解】（1）甲正確完成試題數(shù)的可能取值為，，，，，，所以甲正確完成面試題數(shù)的分布列為：.（2）乙正確完成面試題數(shù)的可能取值為：，，，，，，，所以乙正確完成面試題數(shù)的分布列為：所以，.（3）因?yàn)?，，所以，所以甲通過面試的可能性大.【例10】（2425高二上·山東德州·階段練習(xí)）高三某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，則取最大值時(shí)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題、服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題【分析】根據(jù)概率公式應(yīng)用最大值列不等式組計(jì)算求出的值.【詳解】由已知，，，，，，，所以由得：解得，又因?yàn)?，所以．故選:B．【跟蹤訓(xùn)練101】（2425高二上·河南南陽·期末）某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，且，已知，則當(dāng)取最大值時(shí)，．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】組合數(shù)的計(jì)算、服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題、二項(xiàng)分布的均值、二項(xiàng)分布的方差【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值.【詳解】依題意，得解得，故，所以．當(dāng)最大時(shí)，即即整理得解得，而，因此．【跟蹤訓(xùn)練102】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）隨著生活水平的提高，家用小轎車進(jìn)入千家萬戶，在給出行帶來方便的同時(shí)也給交通造成擁堵．交通部門為了解決某十字路口的擁堵問題，安裝了紅綠燈．通過測試后發(fā)現(xiàn)，私家車在此路口遇到紅燈的概率為．(1)若遇到紅燈的概率為，求不同時(shí)刻的5輛私家車在該路口有3輛車遇到紅燈的概率；(2)當(dāng)私家車遇到紅燈的方差達(dá)到最大時(shí)，求5輛私家車遇到紅燈的車輛數(shù)的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)分布的方差、二項(xiàng)分布的均值、利用二項(xiàng)分布求分布列、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】（1）由獨(dú)立重復(fù)事假概率計(jì)算公式即可求解；（2）由題意確定私家車遇到紅燈的概率是，由二項(xiàng)分布即可求解.【詳解】（1）由題設(shè)，路口遇到紅燈私家車數(shù)量，則．（2）由題設(shè)，路口遇到紅燈私家車數(shù)量，一輛私家車遇到紅燈的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)方差達(dá)到最大，此時(shí)私家車遇到紅燈的概率是．由題可得，的可能取值為，則，，．所以其分布列為：012345．素養(yǎng)提升1.（2425高三上·湖北·期中）英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個(gè)高爾頓釘板的設(shè)計(jì)圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動(dòng)腦的小明設(shè)計(jì)了一個(gè)不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置.若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號(hào)位置的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】組合數(shù)的計(jì)算、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)計(jì)算概率即可.【詳解】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號(hào)位置，故此時(shí)概率為：.故選：A2.（2425高二下·全國·課后作業(yè)）腿型連續(xù)跳躍機(jī)器人屬于一種關(guān)節(jié)式跳躍機(jī)器人，在電機(jī)及蓄能元件的耦合驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)跳躍運(yùn)動(dòng)．已知某款跳躍機(jī)器人依據(jù)指針顯示的顏色種類來執(zhí)行跳動(dòng)，假設(shè)其指針共有兩種顏色，指針顯示紅色時(shí)，機(jī)器人只能向前跳動(dòng)一個(gè)單位；顯示黃色時(shí)，機(jī)器人只能向右跳動(dòng)一個(gè)單位，若將該機(jī)器人初始位置記為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為x軸正方向，向前為y軸正方向，機(jī)器人跳動(dòng)五次停止，則機(jī)器人向右跳動(dòng)的次數(shù)不超過3次的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】建立二項(xiàng)分布模型解決實(shí)際問題【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算，注意不超過3次含有0次，1次，2次，3次共4種情形．【詳解】依題意，記機(jī)器人向右跳動(dòng)的次數(shù)為，則易知，所以機(jī)器人向右跳動(dòng)的次數(shù)不超過3次的概率為．故答案為：．3.（2425高三上·天津西青·階段練習(xí)）已知一個(gè)不透明的袋中有大小、質(zhì)地相同的個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球.若不放回地摸球，每次摸個(gè)球，摸取次，則恰有次摸到紅球的概率為；若有放回地摸球，每次摸個(gè)球，摸取次，則摸到紅球的次數(shù)的期望為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理與概率綜合、二項(xiàng)分布的均值【分析】利用計(jì)算原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知，，由二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【詳解】一個(gè)不透明的袋中有大小、質(zhì)地相同的個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球.若不放回地摸球，每次摸個(gè)球，摸取次，恰有次摸到紅球的概率為；若有放回地摸球，每次摸個(gè)球，每次摸到紅球的概率為，摸取次，則摸到紅球的次數(shù)，由二項(xiàng)分布的期望公式可得.故答案為：；.4.（2425高三上·天津和平·期末）某射擊俱樂部開展青少年射擊培訓(xùn)，俱樂部共有6支氣槍，其中有2支氣槍未經(jīng)試射校正，有4支氣槍已校正，若用校正過的氣槍射擊，射中10環(huán)的概率為0.8，用未校正過的氣槍射擊，射中10環(huán)的概率為0.4，某少年射手任取一支氣槍進(jìn)行1次射擊，射中10環(huán)的概率是；若此少年射手任取一支氣槍進(jìn)行4次射擊（每次射擊后將氣槍放回），每次射擊結(jié)果相互不影響，則4次射擊中恰有2次射中10環(huán)的概率為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題、利用二項(xiàng)分布求分布列、利用全概率公式求概率【分析】①用全概率事件來求解即可；②用二項(xiàng)分布概率公式來求解即可.【詳解】①設(shè)事件表示使用已校正的氣槍，事件表示射中10環(huán)，則，故任取一支氣槍射中10環(huán)的概率是；②4次射擊中恰有2次射中10環(huán)的概率為：.故答案為：①；②.5.（2324高三上·北京西城·期中）某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定：至少正確完成兩題便可通過，已知6道備選題中甲生有4題能