期中高分突破必刷密卷03一：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)再結(jié)合復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)判斷即可.【詳解】因?yàn)?所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限.故選：A.2．已知向量，的夾角為120°，，則（

）A． B． C．7 D．13【答案】A【分析】由計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：A.3．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，則，又與交于點(diǎn)，所以，則，所以，又，所以故選：A.4．已知向量，則以下說法正確的是（

）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則【答案】D【分析】對(duì)于A：求出坐標(biāo)即可得模；對(duì)于B：通過求單位向量；對(duì)于C：通過投影向量的公式計(jì)算；對(duì)于D：通過計(jì)算是否成立來判斷.【詳解】對(duì)于A：，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：方向上的單位向量為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則向量在向量上的投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，D正確.故選：D.5．正方形的邊長(zhǎng)為2，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖（如圖），則原圖形的面積是（

）

A． B．4 C． D．【答案】D【分析】利用直觀圖還原原圖形，再求出面積即可.【詳解】

如圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫法可知原圖形為平行四邊形，其中所以原圖形的面積為.故選：D.6．已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點(diǎn)，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】研究圓錐與內(nèi)切球的軸截面，由題可得內(nèi)切球半徑，在軸截面中解直角三角形分別求出圓錐的高與底面半徑即可.【詳解】如圖所示，設(shè)內(nèi)切球與相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由?nèi)切球的表面積為，可得球的半徑，在直角中得，則圓錐的高為，在直角中得，即圓錐的底面半徑為3，所以該圓錐的體積．故選：A．7．折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓臺(tái)的底面半徑分別是和，且，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圓臺(tái)的底面半徑和高，再利用臺(tái)體的體積公式求體積.【詳解】如圖：，，，.根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式：.所以圓臺(tái)的高：.所以圓臺(tái)的體積為：.故選：C8．如圖，A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓O上運(yùn)動(dòng)，且，M是圓O外一點(diǎn)，，則的最大值是（

）A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、向量運(yùn)算以及向量絕對(duì)值三角不等式，求得答案.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)?，則為圓O的一條直徑，故O為的中點(diǎn)，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)M、O、C共線且、同向時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為故選：C.二：多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)（是虛數(shù)單位），下列選項(xiàng)正確的是（

）A．關(guān)于x的方程的解為B．復(fù)數(shù)的虛部是5C．若復(fù)數(shù)z滿足，則D．已知a，，若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則，【答案】BC【分析】選項(xiàng)A，求出方程的解即可；選項(xiàng)B，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求解即可；選項(xiàng)C，直接求出模長(zhǎng)即可；選項(xiàng)D，根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】對(duì)于A，方程可化為，所以或，所以和，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，復(fù)數(shù)，虛部是5，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，復(fù)數(shù)滿足，所以,故，即，所以，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若是方程的一個(gè)根，則也是方程的根，所以，解得或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．10．折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是和，且，則該圓臺(tái)的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的表面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，求得圓臺(tái)上下底面半徑、母線長(zhǎng)，然后可求得圓臺(tái)的高、體積、表面積和內(nèi)切球的半徑，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以圓臺(tái)的高，A正確；圓臺(tái)的體積，B錯(cuò)誤；圓臺(tái)的表面積，C正確；因?yàn)?，即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上下底面半徑和，所以圓臺(tái)的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，則以下說法正確的有（

）A．若，，分別表示，的面積，則B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心C．若，則點(diǎn)是的垂心D．若，，分別為，，的中點(diǎn)，且，，則的最大值為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到，從而得到所以，即可判斷；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故⊥，并得到在的平分線上，同理可得，在的平分線上.D根據(jù)得到點(diǎn)的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點(diǎn)的軌跡求最值.【詳解】對(duì)于A：如圖，分別為的中點(diǎn)，，則，故，所以，故，A正確；對(duì)于B：過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，，則，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心，B正確；對(duì)于C：分別表示方向上的單位向量，故，，故⊥，由三線合一可得，在的平分線上，同理可得，在的平分線上，則點(diǎn)是的內(nèi)心，C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合上圖，，當(dāng)為直徑時(shí)最大，最大為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，三：填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測(cè)得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為．【答案】54m【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：54m.13．已知平面向量滿足，，與的夾角為，，則的最大值是.【答案】/【分析】由題意結(jié)合向量的加減可構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形，利用正弦定理表示出，，，進(jìn)而可表示出，結(jié)合三角變換即可求得答案；另解，可用極化恒等式求解,【詳解】由知，作，，，則，，，所以四點(diǎn)共圓，設(shè)圓心為，半徑為，設(shè)，，在中由正弦定理得，則，，，要使取最大值，則為銳角，所以，則，（為輔助角，），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值是.另解：極化恒等式：同方法1構(gòu)圖，取的中點(diǎn)，連接，由極化恒等式有，，由于，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”.即的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合題意，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D形，進(jìn)行結(jié)合正弦定理表示出響亮的數(shù)量積，再集合三角恒等變換，求出答案.14．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，則下列命題正確的有．①直線與所成角的正切值為

②三棱柱外接球的半徑為③平面截正方體所得截面為等腰梯形

④點(diǎn)到平面的距離為【答案】①②④【分析】借助等角定理可得直線與所成角與直線與所成角相等，計(jì)算出可判斷①；由三棱柱外接球與正方體外接球相同，故計(jì)算正方體體對(duì)角線的一半可判斷②；借助平行線的性質(zhì)可作出該截面，計(jì)算邊長(zhǎng)可判斷③：借助等體積法計(jì)算可判斷④.【詳解】對(duì)于①：由，故直線與所成角與直線與所成角相等，連接，可得，又，平面，平面，所以，故，故①正確；對(duì)于②：三棱柱外接球與正方體外接球相同，故其外接球半徑為，故②正確；對(duì)于③：如圖：取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，所以平面截正方體所得截面為梯形，由，所以，所以，，所以，所以梯形不是等腰梯形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：如圖：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，而，，所以，故④正確.故答案為：①②④.四、解答題：本題共5小題，共77分，（15題13分，1617題15分，1819題17分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．在直角中，，M是的中點(diǎn).(1)若，，求的值；(2)若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且，，，求的最小值.【答案】(1)2(2)5【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知模長(zhǎng)以及數(shù)量積結(jié)果，將平方并代入計(jì)算利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）如下圖所示：因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以，由可得，因此；所以；（2）由點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且，可設(shè)，所以；由可得，即；由可得，即；所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為5.16．在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)若，，求的面積；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將角化為邊，利用余弦定理可求出角A，再利用已知條件即可求出，的值，再利用三角形面積公式即可求解；（2）利用正弦定理可分別將邊，用角B，C來表示，進(jìn)而利用兩角差的正弦公式、輔助角公式等即可求解范圍.【詳解】（1），，即，，，，解得，；（2）由（1）可知，正弦定理可得，為銳角三角形，∴，解得所以，所以，所以所以即的周長(zhǎng)的取值范圍17．如圖所示，在四棱錐中，在底面中，，E在棱PD上且.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？若存在，寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由線面平行判斷定理可以得證；（2）存在，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，分別證得平面和平面，由面面平行判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）存在，且當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，平面平面.下面給出證明：因?yàn)椋?，，又因?yàn)辄c(diǎn)為上靠近點(diǎn)三等分點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槊?，面，所以面，因?yàn)镋在棱PD上且，即，又因?yàn)?，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平?18．已知的內(nèi)角的對(duì)邊為，且(1)求;(2)若的面積為①已知為的中點(diǎn)，且，求底邊上中線的長(zhǎng);②求內(nèi)角的角平分線長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，由余弦定理可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.（2）①根據(jù)面積公式可得，結(jié)合以及向量的模長(zhǎng)公式求解即可，②利用等面積法可得，進(jìn)而根據(jù)半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得，即，故，因?yàn)?，所以，所?（2）①由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以，即.②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，由于，得到，由于，所以，由二倍角公式得，則，解得，又，所以，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)取得到，故，故.19．已知平面四邊形，，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值．(3)在（2）的條件下，求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得，又由等邊三角形可得，即可求證，（2）根據(jù)平面可得為與平面所成角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解，（3）根據(jù)二面角的幾何法可得為二面角的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)椋?，平面，所以平面．?）過點(diǎn)作，垂足為．如圖所示，由（1）知，平面，