第2課時切線的判定與性質(zhì)

【知識與技能】

能判定一條直線是否為一條切線，會過圓上一點(diǎn)作圓的切線.會運(yùn)用切線的

判定定理和性質(zhì)定理解決問題.

【過程與方法】

經(jīng)歷切線的判定定理及性質(zhì)定理的探究過程，養(yǎng)成學(xué)生既能自主探究，又能

合作探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.

【情感態(tài)度】

體驗(yàn)切線在實(shí)際生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)就在我們身邊，感受證明過程的嚴(yán)

謹(jǐn)性及結(jié)論的正確性.

【教學(xué)重點(diǎn)】

切線的判定定理及性質(zhì)定理的探究和運(yùn)用.

【教學(xué)難點(diǎn)】

切線的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用.

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

情境1下雨天，小孩子總喜歡轉(zhuǎn)動雨傘，你發(fā)現(xiàn)雨傘的水珠順著傘面的邊

緣飛出，水珠是順著什么方向飛出的？

情境2用機(jī)器打磨鐵制零件時，鐵屑是沿什么方向飛出的？

情境3用一根細(xì)線系一個小球，當(dāng)你快速轉(zhuǎn)動細(xì)線時，小球運(yùn)動形成一個圓，

突然這個小球脫落，沿著圓的邊緣飛出去，你知道小球會順著什么方向飛出嗎？

【教學(xué)說明】通過觀察生活中的實(shí)例，使學(xué)生初步感知直線與圓相切的情景，

深化學(xué)生思想中的數(shù)學(xué)模型.

二、思考探究，獲取新知

1.切線的判定定理

思考1如圖，在⊙O中，經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A，作直線l⊥OA，則圓

心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O有什么位置關(guān)系？

分析：∵直線l⊥OA，而點(diǎn)A是⊙O的半徑OA的外端點(diǎn).

∴直線l與⊙O只有一個交點(diǎn)，并且圓心O到直線l的距離是垂線段OA，

即是⊙O的半徑.

∴直線l與⊙O相切.

【歸納總結(jié)】

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端（點(diǎn)）并且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.

【教學(xué)說明】結(jié)合切線的定義以及“如果圓心到直線的距離等于半徑，那么

直線和圓相切”，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論.在切線的判定定理中，“經(jīng)過外端”和“垂

直于半徑”兩者缺一不可.

試一試（1）已知一個圓和圓上的一點(diǎn)，如何過這個點(diǎn)畫出圓的切線？（只

能作一條直線）

（2）下圖中的直線是圓的切線嗎？（都不是圓的切線）

2.切線的性質(zhì)定理

思考2已知直線l是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，那么半徑OA與直線l是不是

一定垂直呢？為什么？（學(xué)生討論，由學(xué)生代表回答）

教師點(diǎn)評：由于l是⊙O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，∴圓心O到l的距離等于半

徑，所以O(shè)A就是圓心O到直線l的距離.∴OA⊥直線l.

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

符號語言：∵直線l是⊙O的切線，切點(diǎn)為A.∴OA⊥直線l.

【教學(xué)說明】這個問題在引導(dǎo)學(xué)生分析時，直接證明比較困難，我們可以運(yùn)

用反證法.假設(shè)OA與l不垂直，過點(diǎn)O作OM⊥l，垂足為M，根據(jù)垂線段最短

的性質(zhì)，有OM＜OA，這說明圓心O到直線l的距離小于半徑OA，直線l與⊙

O就相交了，而這與直線l與⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直線l.

三、典例精析，掌握新知

例1教材98頁例1.（要證明一條直線是圓的切線，必須符合兩個條件，即

“經(jīng)過半徑外端”和“垂直于這條半徑”.引導(dǎo)學(xué)生分析.

例2（1）如圖（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，∠PAB=30°，

求∠AOB.

（2）如圖（2），AB是⊙O的直徑，DC切⊙O于點(diǎn)C，連接CA、CB，AB=12，

∠ACD=30°，求AC的長.

解：（1）∵△OAB為等腰三角形，

∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切線，∴由切線的性質(zhì)可知：PA⊥OA，

∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，

∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.

（2）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.

∴∠OCA=60°，

∴△OAC是等邊三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.

【教學(xué)說明】例1是對切線的判定定理的應(yīng)用，要使學(xué)生掌握用這個定理來

證明切線的關(guān)鍵（緊扣兩點(diǎn)）.例2是利用切線的性質(zhì)解題.在解決與圓有關(guān)的切

線的問題時，常見輔助線有：（1）已知直線是圓的切線時，通常連接過切點(diǎn)的半

徑，則這條半徑垂直于切線.

（2）要證明一條直線是圓的切線：①若直線過圓上某一點(diǎn)，則連接這點(diǎn)和

圓心得到輔助半徑，再證這條半徑與直線垂直.即：已知公共點(diǎn)，連半徑證垂直.

②若直線與圓的公共點(diǎn)不確定，則過圓心作直線的垂線段，證明這條垂線段長等

于圓的半徑長.即：未知公共點(diǎn)，作垂線證半徑.這種題型后面會給出練習(xí).

四、運(yùn)用新知，深化理解

1.完成教材第98頁練習(xí)1、2.

2.如圖，已知PA是∠BAC的平分線，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為E，求證：

AC是⊙O的切線.

【教學(xué)說明】教材上的練習(xí)1、2由學(xué)生自主完成，加深對切線的判定及性

質(zhì)的理解掌握；第2題是對切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，教師可先讓學(xué)生獨(dú)立

思考，再加以提示.最后，師生共同完成解題.

【答案】1.（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.

又∵AB是⊙O的直徑，∴AT是⊙O的切線.

（2）l1∥l2，理由如下：∵AB是⊙O的直徑，且l1、l2是⊙O的切線，∴

l1⊥AB，l2⊥AB，∴l(xiāng)1∥l2.

2.過O點(diǎn)作OF⊥AC于點(diǎn)F，連接OE.則OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，

又∵PA是∠BAC的平分線，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，

∴OF=OE.又∵OE是半徑，∴OF也為半徑長.∴AC是⊙O的切線.

五、師生互動，課堂小結(jié)

1.讓學(xué)生回顧本堂課的兩個知識點(diǎn).

2.試著讓學(xué)生自己總結(jié)切線的證明方法，然后相互交流.

【教學(xué)說明】在這一環(huán)節(jié)，教師要盡可能地讓學(xué)生自主總結(jié)與交流，然后適

當(dāng)?shù)赜枰渣c(diǎn)評和補(bǔ)充.

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題