課程基本信息

課例編

2020QJ10SXRA044學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期上

號(hào)

課題三角函數(shù)的概念

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教胡芳北京市第五中學(xué)

師

指導(dǎo)教

師

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，理解任意角的三角函

數(shù)的概念；

2.在三角函數(shù)定義的過程中進(jìn)一步認(rèn)知函數(shù)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想

方法的作用；

3.經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象

素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)概念.

教學(xué)難點(diǎn)：用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù).

教學(xué)過程

教

時(shí)學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)

節(jié)

問題引入：在客觀世界中存在大量循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的周期現(xiàn)象，比如日出日落、

鐘擺運(yùn)動(dòng)等，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是這類現(xiàn)象的代表，在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道函數(shù)是

創(chuàng)描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，那么勻速圓周運(yùn)動(dòng)

設(shè)

的運(yùn)動(dòng)規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？

情

如右圖所示,圓上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在

景O

把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角的大小變化

，

導(dǎo)刻畫點(diǎn)P的位置變化.根據(jù)弧度制的定義，角的大小與圓

入O的半徑無關(guān)，我們能否建立一個(gè)函數(shù)模型，刻畫點(diǎn)P的位

新置變化情況?

課【設(shè)計(jì)意圖】開門見山引出研究內(nèi)容、過程與研究方法，指明點(diǎn)P隨著角度的變化而

變化，明確構(gòu)建函數(shù)模型的目標(biāo)，讓學(xué)生初步了解本節(jié)課學(xué)習(xí)的方向，為具體研究指

明方向.

分析要解決這個(gè)問題，我們需要什么工具？

①建立函數(shù)模型,要利用直角坐標(biāo)系.

②根據(jù)任意角的定義，需要借助單位圓.

如圖，以單位圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)

系，點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,0，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

x,y.把該問題抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)

A1,0開始在單位圓上的運(yùn)動(dòng).

問題1：這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的有哪些變量，判

斷它們之間是否具有函數(shù)關(guān)系.如果有，能否寫出函數(shù)解析式？

（1）點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)過程中涉及的變量有：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)

y，弧長l，旋轉(zhuǎn)角度；

引（2）判斷變量：x,y,l,間的哪兩個(gè)變量能否構(gòu)成

導(dǎo)

探函數(shù)關(guān)系？

究過過點(diǎn)P作PMx軸于M,根據(jù)勾股定理可知

，OM2PM21，即x2y21，顯然變量x、y間的

形

成對應(yīng)關(guān)系不符合函數(shù)定義.在弧度制學(xué)習(xí)中我們已

新經(jīng)知道變量l,之間的關(guān)系，并且變量x,y與的關(guān)系和x,y與l的關(guān)系等

知

價(jià)，所以我們研究變量x,y與的關(guān)系.

問題2:若角終邊與單位圓交于點(diǎn)P，如何求點(diǎn)P的坐標(biāo)呢？

追問1：當(dāng)我們遇到一般性問題應(yīng)該如何研究？

特殊化：

不妨設(shè)，此時(shí)點(diǎn)P在第一象限,構(gòu)造直角三角形，過點(diǎn)P向x軸引垂

3

1313

線交x軸于M,RtOMP中,可得OM,PM,即x,y,所

2222

以點(diǎn)的坐標(biāo)為13.

P,

22

2

追問2:當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？

3

213

同樣,當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在第二象限,可得x,y,所以點(diǎn)P的坐

322

標(biāo)為13.

,

22

追問3：任意給定一個(gè)角，點(diǎn)P的坐標(biāo)唯一確定嗎？

因?yàn)閱挝粓A的半徑不變，點(diǎn)P的坐標(biāo)只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角確定時(shí)，點(diǎn)P的

坐標(biāo)是x,y也唯一確定.

追問4：在展示的運(yùn)動(dòng)變化的過程中，觀察角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，有

什么發(fā)現(xiàn)？能否運(yùn)用函數(shù)的語言刻畫這種對應(yīng)關(guān)系呢？

對任意一個(gè)實(shí)數(shù)，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)x、

y都是唯一確定的，有如下對應(yīng)關(guān)系：

任意角(弧度)→唯一實(shí)數(shù)x；①

任意角(弧度)→唯一實(shí)數(shù)y．②

一般地，任意給定一個(gè)角R，它的終

邊OP與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)，無論是橫

坐標(biāo)x，還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.

所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y都是角

的函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】以函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為指向，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，

角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角(弧度)的函數(shù)，為引出三角函

數(shù)的定義做好鋪墊.

下面給出這些函數(shù)的定義：

如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)Px,y，那么

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做的正弦函數(shù)，記做sin，即ysin；

把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記做cos，即xcos；

y

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記做tan，即

x

y

tanx0.

x

問題3:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系各是什么？

實(shí)數(shù)(弧度)對應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y→正弦函數(shù)；

實(shí)數(shù)(弧度)對應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x→余弦函數(shù)；

當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0時(shí)，角的終邊在y軸上，此時(shí)kkZ，

2

y

所以tan無意義.

x

yy

因此，對于確定的角，的值也是唯一確定的，所以tanx0也是以

xx

角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)，稱為正切函數(shù).

實(shí)數(shù)(弧度)對應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)xx0之比→正切函數(shù).

追問1:任意角三角函數(shù)的定義是否符合高中函數(shù)的定義呢？

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值為函

數(shù)值的函數(shù).由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)可以

看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).

按照函數(shù)的定義與常用的符號(hào)，我們通常將它們記為

正弦函數(shù)：ysinx；

余弦函數(shù)：ycosx；

正切函數(shù)：ytanx.

將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

追問2：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?

很明顯，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集，即xR，對于正切函數(shù)而言，

要求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0，即角的終邊OP不能位于y軸上，那么正切函數(shù)的定義

域?yàn)閤xk,kZ.

2

追問3：這個(gè)定義相對于銳角三角函數(shù)的定義有什么不同呢?

任意角的三角函數(shù)是通過角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義的，銳角三角函數(shù)是通過直

角三角形邊長的比值定義的，在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數(shù)也

可用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義，此時(shí)終邊上的點(diǎn)都在第一象限，因此銳角三

角函數(shù)值都是正數(shù)，而任意角的三角函數(shù)值可以是負(fù)數(shù).

追問4：“任意角的三角函數(shù)”與“銳角三角函數(shù)”這兩個(gè)概念有什么異同?

銳角三角函數(shù)的自變量是銳角，應(yīng)理解為

ysinx,x0,；ycosx,x0,；ytanx,x0,.

222

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將任意角三角函數(shù)納入到函數(shù)中，豐富學(xué)生對三角函數(shù)的認(rèn)知，

另外，注意任意角為軸線角的特殊情況，讓學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，體

現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

理

5

解例1求的正弦、余弦和正切值.

概3

念

5

，解：在直角坐標(biāo)系中，作AOB，此時(shí)AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)B的坐

運(yùn)3

用

13

新標(biāo)為,，

知22

53515

所以sin,cos,tan3.

32323

【設(shè)計(jì)意圖】通過概念的簡單應(yīng)用，明確用定義求三角函

數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵.

例2如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)

為x,y，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r.

yxy

求證：sin，cos，tan

rrx

引導(dǎo)學(xué)生分析問題：

①你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示sin和cos

嗎？

yxy

②在你所作的圖形中，，，表示什么？你能

rrx

找到它們與任意角的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？

解：設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作軸的垂線

P0x0,y0P,P0x

，垂足分別為，

PM,P0M0M,M0

則，

PMy,P0M0y0OMx,OM0x0,

OMPOM1P1.

PMPMy

所以得到00,即y.

1r0r

yy

因?yàn)閥與y同號(hào)，所以y，即sin.

00rr

xy

同理可證：cos，tan.

rx

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生找到OMP、

，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定

OM1P1

義得到證明.

追問：例2實(shí)際上給出了任意角的三角函數(shù)的另外一種定

義，而且這種定義與已有的定義是等價(jià)的，能否用嚴(yán)格

的的數(shù)學(xué)語言敘述這個(gè)定義嗎？

一般地，對于任意角，角終邊上的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y，它到原點(diǎn)O的

yx

距離為rOPOM2PM2x2y2，那么sin，cos，

rr

y

tan.

x

顯然任意角的三角函數(shù)值不會(huì)隨點(diǎn)的位置的變化而變化.

任意角三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，我們以后要學(xué)習(xí)的有關(guān)三角函數(shù)其他

知識(shí)都建立在我們對三角函數(shù)的概念的理解與認(rèn)識(shí)上，所以同學(xué)們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)和

體會(huì)今天所學(xué)的知識(shí).

三角函數(shù)是如何定義的？我們除了學(xué)習(xí)單位圓定義，還有什么定義方法？

①單位圓定義法:建立直角坐標(biāo)系，使角