PAGE1-課時(shí)14函數(shù)奇偶性的概念對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P31學(xué)問點(diǎn)一奇偶性的概念1．函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a](a＞－1)是奇函數(shù)，則a等于()A．－1B．0C．1D．無法確定答案C解析由奇函數(shù)定義知，函數(shù)定義域必需關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a＋(－1)＝0，∴a＝1，選C.2．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，則()A．a(chǎn)＝0，b≠0，c≠0B．a(chǎn)c＝0，b≠0C．a(chǎn)＝0，c＝0，b取隨意實(shí)數(shù)D．a(chǎn)，b，c均可取隨意實(shí)數(shù)答案C解析∵f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，∴f(x)＋f(－x)＝0，ax2＋bx＋c＋ax2－bx＋c＝0，∴2ax2＋2c＝0，∴a＝c＝0，b∈R.

學(xué)問點(diǎn)二奇偶性的圖象3.已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的全部實(shí)根之和是()A．4B．2C．1D．0答案D解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且圖象與x軸四個(gè)交點(diǎn)，所以這四個(gè)交點(diǎn)每組兩個(gè)關(guān)于y軸肯定是對(duì)稱的，故全部實(shí)根之和為0.選D.4．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x的圖象()A．關(guān)于y軸對(duì)稱B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱答案C解析∵f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝－eq\f(1,x)－(－x)＝x－eq\f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.學(xué)問點(diǎn)三奇偶性的判定5.推斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1；(2)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(3)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－xx<0，,x1＋xx>0.))解(1)∵x∈R且f(－x)＝x2－|x|＋1＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(2)函數(shù)定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0，))得x＝±1.此時(shí)f(x)＝0，x∈{－1,1}．∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(4)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù).學(xué)問點(diǎn)四利用函數(shù)的奇偶性求值6.已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．解令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，則g(x)為奇函數(shù)．f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18，f(－d)＝g(－d)－8＝－g(d)－8＝－26.易錯(cuò)點(diǎn)忽視定義域?qū)е洛e(cuò)誤7.函數(shù)f(x)＝eq\f(x4－x3,1－x)是________函數(shù)．(填“奇”“偶”“既奇又偶”“非奇非偶”中的一個(gè))易錯(cuò)分析沒有求出函數(shù)的定義域，而干脆將f(x)化簡(jiǎn)為f(x)＝－x3，用定義得f(－x)＝－f(x)，得f(x)為奇函數(shù)，由于定義域不對(duì)稱導(dǎo)致奇偶性推斷錯(cuò)誤．答案非奇非偶正解由題意知1－x≠0，即x≠1，所以此函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}．因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P32一、選擇題1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(xiàn)(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)答案B解析因?yàn)镕(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿意F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，所以F(x)是偶函數(shù)．2．假如奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是減函數(shù)且最大值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是()A．增函數(shù)且最小值為－5B．增函數(shù)且最大值為－5C．減函數(shù)且最小值為－5D．減函數(shù)且最大值為－5答案C解析f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在[3,7]上的單調(diào)性與[－7，－3]上一樣，且f(7)為最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，選C.3．設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小依次是()A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)C．f(3)＞f(－2)＞f(－π)D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)答案A解析∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且2＜3＜π，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)．4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函數(shù)，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx()A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不偶函數(shù)答案A解析∵f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函數(shù)，∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函數(shù)，故選A.5．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)的是()A．f(x)＝x＋eq\f(1,x)B．f(x)＝x＋eq\f(1,x2)C．f(x)＝eq\r(x2＋1)D．f(x)＝x3答案A解析對(duì)于A，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－x＋eq\f(1,x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，且在(0,1)上為減函數(shù)，所以A符合；對(duì)于B，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(－x)＝－x＋eq\f(1,x2)≠－f(x)，所以B不符合；對(duì)于C，f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝eq\r(x2＋1)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，所以C不符合；對(duì)于D，f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，但在(0,1)上為增函數(shù)，所以D不符合．故選A.二、填空題6．已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，則g(－1)＝________.答案3解析由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝1，從而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.7．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝－5，∴f(－2)＋f(0)＝－5.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(px2＋2,q－3x)是奇函數(shù)，且f(2)＝－eq\f(5,3)，則函數(shù)f(x)的解析式f(x)＝________.答案－eq\f(2x2＋2,3x)解析f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(q,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q,3)，＋∞))，若f(x)是奇函數(shù)，則eq\f(q,3)＝0，得q＝0.故f(x)＝eq\f(px2＋2,－3x)，又f(2)＝－eq\f(5,3)，得eq\f(p×4＋2,－6)＝－eq\f(5,3)，得p＝2，因此f(x)＝eq\f(2x2＋2,－3x)＝－eq\f(2x2＋2,3x).三、解答題9．推斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝eq\f(1,x－1)；(2)f(x)＝－3x2＋1；(3)f(x)＝eq\f(\r(1－x)·\r(1＋x),|x＋2|－2)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－x＋1，x<0.))解(1)f(x)＝eq\f(1,x－1)的定義域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)f(x)＝－3x2＋1的定義域是R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．(3)f(x)＝eq\f(\r(1－x)·\r(1＋x),|x＋2|－2)的定義域是[－1,0)∪(0,1]，所以f(x)的解析式可化簡(jiǎn)為f(x)＝eq\f(\r(1－x)·\r(1＋x),x)，滿意f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(4)函數(shù)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；當(dāng)x＝0時(shí)，f(－x)＝f(x)＝1；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．綜上，對(duì)隨意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若方程f(x)＝g(x)有兩解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即|－x－a|＝|x－a|，兩邊平方化簡(jiǎn)得4ax＝0.又4ax＝0在x∈R時(shí)恒成立，所以a＝0.(2)當(dāng)a＞0時(shí)，|x－a|－ax