第十ò屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試卷參考答案(數(shù)學(xué)類(lèi)低年級(jí)組,2021年4月)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè):考試形式:閉卷考試時(shí)間:180分鐘滿分:100分題號(hào)一二三四五六總分滿分2020得分注意:1.所有答題都須寫(xiě)在此試卷紙密封線右邊,寫(xiě)在其它紙上一律無(wú)效.密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,2.密封線左邊請(qǐng)勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記.密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,3.如答題空白不夠,可寫(xiě)在當(dāng)頁(yè)背面,并標(biāo)明題號(hào).得分評(píng)閱人一、(本題20分)填空題(每小題5分得分評(píng)閱人2.已知f在區(qū)間(-1,3)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(0)=12,f(2)=2fI(2)+8,則xfII(2x)dx=1.,3.在三維空間的直角坐標(biāo)系中,方程2x2+y2+z2+2xy-2xz=1表示的二次曲面類(lèi)型是橢圓柱面.,4.在矩陣的奇異值分解A=UΛV中(其中U,V為正交方陣,Λ為對(duì)角陣),Λ=.,12得分評(píng)閱人二、(本題15分)考慮單葉雙曲面S:x2-y2+z2=1.1.證明:S上同一族直母線中任意兩條不同的直母線是異面直線得分評(píng)閱人2.設(shè)S上同一族直母線中的兩條直母線分別經(jīng)過(guò)M1(1,1,1)與M2(2,2,1)兩點(diǎn).求這兩條直母線的公垂線方程以及這兩條直母線之間的距離.證明:1.將曲面方程改寫(xiě)為x2-y2=1-z2,從而有(x+y)(x-y)=(1+z)(1-z)(1)現(xiàn)在引進(jìn)不全為零的參數(shù)λ,μ,以及不全為零的參數(shù)u,v,我們得到兩族直母線方程首先以第一族直母線(2)為例證明兩條不同的直母線是異面直線.取(2)中兩條直母線L1與L2其中,λ1μ2λ2μ1.考慮線性方程組姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè):,設(shè)(6)的系數(shù)矩陣為A,經(jīng)計(jì)算可得密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,對(duì)于第二族直母線(3),設(shè)兩條直母線L,L,,其中u1v2u2v1.考慮方程組,,34設(shè)方程組(9)的系數(shù)矩陣為B,經(jīng)計(jì)算得到2.將M1(1,1,1)點(diǎn)代入(2)中將M2(2,2,1)點(diǎn)代入(2)中可得μ:λ=2:1,獲得到直母線L4的方程因?yàn)?1,1,-1)×(1,-1,1)=(0,-2,-2),取L3的方向-3=(0,1,1).因?yàn)?1,1,-2)×(2,-2,1)=(-3,-5,-4),取L4的方向-4=(3,5,4).L3,L4的公垂線L的方向?yàn)?4=(-1,3,-3).設(shè)M(x,y,z)為L(zhǎng)上的任意一點(diǎn),則L的方程滿足其中經(jīng)化簡(jiǎn)得到公垂線L的方程姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè)姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè):,,注.經(jīng)計(jì)算可得公垂線與兩條直母線L3,L4的交點(diǎn)分別為和 ,3,—9),這兩點(diǎn)間的距離為.因此,也可以通過(guò)計(jì)算兩點(diǎn)間的距離得到異面直線之間的距離.將M1(1,1,1),M2(2,2,1)分別代入第二族直母線族(3)中可得到同一條直母線密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,即M1,M2位于同一條直母線上.因此,只需考慮L3,L4的情形.2,,56得分評(píng)閱人三、(本題15分)設(shè)V是有限維歐氏空間,V1,V2是V的非平凡子空間且V=V1ΦV2.設(shè)p1,p2分別是V,V2的正交投影,?=p1+p2,用det?表示線性變換?的行列式.證明:0<det?≤1且det?=1的充要條件證明:設(shè)dimV1=m,dimV2=n,m,n>0.分別取V1和V2的各一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,它們合起來(lái)是V的一組基,?在這組基下的矩陣形如對(duì)于v1v1p2v1121121〉可得C=BT.從而CB=BTB為半正定矩陣,它就V2設(shè)λ為p2p1jV2的一個(gè)特征值,v2∈V2是相應(yīng)的特征向量,則λ≥0且由于v21v2222=1v2,p1v21v22<22,由于?在V的一組基下的矩陣為A,所以這里λ取遍矩陣CB的所有特征值(記重?cái)?shù)).由于CB的特征值即p2p1jV2的特征值,特別地,det?=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)CB的每個(gè)特征值λ,均有λ=0,這也等價(jià)于CB=BTB=0,即B=C=0.所以det?=1的充要條件是V1與V2正交.四、四、(本題20分)證明:姓名:準(zhǔn)考證號(hào):姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè):得分評(píng)閱人,1.證明:函數(shù)方程x3-3x=t存在三個(gè)在閉區(qū)間[-2,2]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(-2,2)內(nèi)連續(xù)可微的解x=?1(t),x=?2(t),x=?3(t)滿足:?1(-t)=-?3(t),?2(-t)=-?2(t),jtj≤2.2.若f是[-2,2]上的連續(xù)偶函數(shù),證明:,12f(x3-3x)dx=,01f(x3-3x)dx.證明:1.記g(x)=x3-3x,那么g是奇函數(shù),且g,(x)=3(x2-1).于是g具有如下性質(zhì):(1)在(-∞,-1]和[1,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)上升,在[-1,1]上嚴(yán)格單調(diào)下降.(2)x=-1是極大值點(diǎn),極大值為2;x=1是極小值點(diǎn),極小值為-2.密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,2=gj[-1,1],g1=gj[1,2].根據(jù)以上性質(zhì),g1,g2,g3分別在其定義的閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào),且值域均為[-2,2].因此,依次有反函數(shù)?1,?2,?3,以[-2,2]為定義域,依次以[-2,-1],[-1,1],[1,2]為值域.由反函數(shù)的連續(xù)性得?1,?2,?3均為[-2,2]上的連續(xù)函數(shù).而g1,g2,g3依次在(-2,-1),(-1,1),(1,2)內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)不等于零.因此,它們的反函數(shù)?1,?2,?3在(-2,2)內(nèi)連續(xù)可微 (10分),另一方面,注意到g為奇函數(shù),以及?1,?2,?3的值域,g1,g2,g3的定-t=-g3(?3(t))=-g(?3(t))=g(-?3(t))=g1(-?3(t)),t∈[-2,2].?1(-t)=-?3(t),t∈[-2,2].-t=-g2(?2(t))=-g(?2(t))=g(-?2(t))=g2(-?2(t)),t∈[-2,2].從而,?2(-t)=-?2(t),t∈[-2,2].7,82.根據(jù)韋達(dá)定理?我們有?1(t)+?2(t)+?3(t)=0,8t∈[-2,2].從而?(t)+?(t)+?(t)=0,8t∈(-2,2).這樣結(jié)合f為連續(xù)偶函數(shù)得到2姓名姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè):定A0為n階單位陣I.形式定義sinA=A2k+1,cosA=以及arctanA=A2k+1.記Tx.證明:得分評(píng)閱人,n×n,sinA,cosA均有意義,且(sinA)2+(cosA)2=I.2.當(dāng)ⅡAⅡ<1時(shí),arctanA有意義,且密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,而收斂,因此,A2k+1和均絕對(duì)收斂,從而sinA,cosA進(jìn)一步,由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì),,,2k+12k+1絕對(duì)收斂,從而此時(shí)arctanA有定義.易見(jiàn)sinA,cosA,arctanA,A均兩兩可交換.進(jìn)一步,若在某區(qū)間[a,b]上的矩陣值函數(shù)A(t)連續(xù)可微,且對(duì)任何t,s∈,[a,b],A(t)和A(s)可交換,則一致收斂,從而(sinA(t))/=,9.同理,以及當(dāng)現(xiàn)考慮t∈[0,1]以及矩陣值函數(shù)f(t)=sinarctan(tA)-tAcosarctan(tA),則根據(jù)上述討論,我們有fI(t)=(cosarctan(tA))(I+t2A2)-1A-Acosarctan(tA)+tA(sinarctan(tA))(I+t2A2)-1A=tA2(I+t2A2)-1f(t),t∈[0,1].結(jié)合f(0)=0得到由此易證f(t)=0(8t∈[0,1]).即結(jié)論成立.2姓名:姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場(chǎng)號(hào):座位號(hào):專業(yè):六、(本題15分)設(shè)m,n為正整數(shù).證明:當(dāng)參數(shù),得分評(píng)閱人k0時(shí),微分方程yI(x)=ky2n(x)+x2m-1六、(本題15分)設(shè)m,n為正整數(shù).證明:當(dāng)參數(shù),得分評(píng)閱人證明:我們分兩種情況證明,即k>0與k<0.情形一:k>0.假設(shè)y(x)為所給方程的一個(gè)全局解.則密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,取a>k使得y(2m-√1a)>1.對(duì)任意x∈[2m-√1a,+∞),我們有yI(x)=ky2n(x)+x2m-1>ky2(x)+k>0.密封線答題時(shí)不要超過(guò)此線,因?yàn)閥I(x)=ky2n(x)+x2m-1>0,x∈[2m-√1a,+∞),所以y(x)在[2m-√1a,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)增加.做輔助函數(shù)=arctany,x∈i2m,+∞).,注意到對(duì)于x∈[2m-√1a,+∞),于是,我們有z(x)>kx-k2m-√1a+z(2m-√1a),x∈[2m-√1a,+∞).另一方面,我們有z(x)∈(-π/2,π/2),與上面的不等式矛盾.,情形二:k<0.,假設(shè)y(x)為所給方程的一個(gè)全局解.則取a<k使得y對(duì)任意x∈(-∞2m-√1a],我們有y/(x)=ky2n(x)+x2m-1<ky2(x)+k<0.因?yàn)閥/(x)=ky2n(x)+x2m-1<0,x∈(-∞,2m-√1a],所以y(x)在(-∞,2m-√1a]上嚴(yán)格單調(diào)減少.做輔助函數(shù)z(x)=arctany(x),x∈(-∞,2m-√1a].注意到對(duì)于于是,我們有z(x)>kx-k2m-√1a+z(2m-√1a),x∈(-∞,2m-√1a].另一方面,我們有z(x)∈(-π/2,π/2),與上面的不等式矛盾.(或者)情形二:k<0.令h(x)=y(-x),則h/(x)=-y/(-x)=-(ky2n(-x)+(-x)2m-1)=-kh2n(x)+x2m-1.由情形一可知函數(shù)h(x)的定義域不能延拓到正無(wú)窮,于是函數(shù)y(x)=h(-x)的證明二:我們分兩種情況證明,即k>0與k<0.情形一:k>0.假設(shè)y(x)為所給方程的一個(gè)全局解.則取a>k使得y(2m-√1a)>1.對(duì)任意x∈[2m-√1a,+∞),我們有yI(x)=ky2n(x)+姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在