上海市松江區(qū)松江二中2025年高三下第二次段考數(shù)學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，是單位向量，若，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．4．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或85．已知實數(shù)，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為A． B．C． D．6．設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．7．集合的真子集的個數(shù)是（）A． B． C． D．8．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．下列命題為真命題的個數(shù)是（）（其中，為無理數(shù)）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．310．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．111．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．12．已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數(shù)，相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點D是邊AB上一點，，，，，則的面積為________．14．下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是______.15．已知，則__________.16．函數(shù)在的零點個數(shù)為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若均為正實數(shù)，且滿足，為的最小值，求證：.18．（12分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）新高考，取消文理科，實行“”，成績由語文、數(shù)學、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機調(diào)查50人（把年齡在稱為中青年，年齡在稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）頻數(shù)515101055了解4126521（1）分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率；（2）請根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關？了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若從年齡在的被調(diào)查者中隨機選取3人進行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為，求的分布列以及.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和21．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.22．（10分）已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設，求的前100項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

設，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設，，是單位向量，,，，聯(lián)立方程解得：或當時，；當時，；綜上所述：.故選：C.本題考查向量的模、夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.2．A【解析】

根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，若有且僅有3個零點，則等價為有且僅有3個根，即與有三個不同的交點，作出函數(shù)和的圖象如圖，當a=1時，與有無數(shù)多個交點，當直線經(jīng)過點時，即，時，與有兩個交點，當直線經(jīng)過點時，即時，與有三個交點，要使與有三個不同的交點，則直線處在過和之間，即，故選：A．利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.3．C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因為，所以，故，因為正項等比數(shù)列，故，所以，故選C.一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.4．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎題5．B【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到的最小值．【詳解】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：目標函數(shù)的幾何意義為動點到定點的斜率，當位于時，此時的斜率最小，此時．故選B．本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及兩點之間的斜率公式的計算，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．6．C【解析】

設，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導數(shù)知識求的最小值．【詳解】設，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．本題考查導數(shù)的應用，考查用導數(shù)求最值．解題時對和的關系的處理是解題關鍵．7．C【解析】

根據(jù)含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題．8．C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.9．C【解析】

對于①中，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于②中，構造新函數(shù)，利用導數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對于②中，設函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，則又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設函數(shù)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，其中解答中根據(jù)題意，合理構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關鍵，著重考查了構造思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.10．A【解析】

由兩圓相外切，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以，即當時，取最大值故選：A本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數(shù)，屬于中檔題.11．C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.12．D【解析】，則故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據(jù)“三斜求積術”可得，所以.本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.14．【解析】

根據(jù)流程圖，運行程序即得.【詳解】第一次運行，；第二次運行，；第三次運行，；第四次運行；所以輸出的S的值是.故答案為：本題考查算法流程圖，是基礎題.15．【解析】

首先利用，將其兩邊同時平方，利用同角三角函數(shù)關系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，故答案是.該題考查的是有關三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數(shù)關系式，倍角公式，誘導公式，屬于簡單題目.16．1【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題，在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題.在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當時，兩個函數(shù)只有一個交點.故答案為：1本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）或（2）證明見解析【解析】

（1）將寫成分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）由（1）求得最小值，由此利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1）當時，恒成立，解得；當時，由，解得；當時，由解得所以的解集為或（2）由（1）可求得最小值為，即因為均為正實數(shù)，且（當且僅當時，取“”）所以，即.本小題主要考查絕對值不等式的求法，考查利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題.18．（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負,即可求解；（2）結(jié)合導數(shù)及函數(shù)的零點的判定定理,分類討論進行求解【詳解】（1）,①當時,,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；②當時,令,解得或,當或時,,則單調(diào)遞增,當時,,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（Ⅰ）當時,所以在上無零點；（Ⅱ）當時,,①若,即,則是的一個零點；②若,即,則不是的零點（Ⅲ）當時,,所以此時只需考慮函數(shù)在上零點的情況,因為,所以①當時,在上單調(diào)遞增。又，所以（?。┊敃r,在上無零點；（ⅱ）當時,,又,所以此時在上恰有一個零點；②當時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,,所以此時在上恰有一個零點,綜上,本題考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導數(shù)處理零點個數(shù)問題,考查運算能力,考查分類討論思想19．（1）；（2）見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關聯(lián)；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù)，即可求出概率；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出的觀測值，對照表格，即可得出結(jié)論；（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值為0，1，2，分別求出概率，列出隨機變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對新高考了解的概率，中老年對新高考了解的概率.（2）列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計中青年22830老年81220總計302050，所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關聯(lián).（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0，1，2，則；；.所以的分布列為012.本題考查概率、獨立性檢驗及隨機變量分布列和期望，考查計算求解能力，屬于基礎題.20．（1）；（2）【解析】

（1）由化為，利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關系，得到是首項為，公差為的等差數(shù)列求解.（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【詳解】（1）可以化為，，，，又時，數(shù)列從開始成等差數(shù)列，，代入得是首項為，公差為的等差數(shù)列，，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關系和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設，由此求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設，，由（1）的結(jié)論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當，即時，取得最大值，且最大值為.本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角