課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA025學科數(shù)學年級高二學期一學期

課題兩條平行直線間的距離公式

書名：普通高中教科書數(shù)學A版選擇性必修1

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：年月

教學人員

姓名單位

授課教師佘巖北京匯文中學

指導教師雷曉莉北京市東城區(qū)教育研修中心

教學目標

教學目標：利用點到直線的距離公式推導并掌握兩條平行直線間的距離公式；

兩條平行直線間距離公式的應用.

教學重點：兩條平行直線間的距離公式.

教學難點：兩條平行直線間的距離公式的應用.

教學過程

教

學

時間主要師生活動

環(huán)

節(jié)

通過前面的學習，我們已經(jīng)得到了兩點間距離公式，點到直線的距離公式。

回憶點到直線距離公式是什么？我們?nèi)绾巫C明的？

點到直線的距離：

P(x0,y0)l:AxByC0

引|AxByC|

2’d00

言A2B2

為計算點到直線距離，我們采用兩類方法。坐標法：利用兩點間距離公式，

求點P到直線的垂線段長。向量法：利用直線的方向向量和投影向量的概念

求出點到直線的距離。

對于距離問題，我們還可以研究兩條平行直線間的距離.

問題1：如何求解兩條平行直線間的距離？

追問1：兩條平行直線間的距離的定義是什么？

夾在兩條平行直線間的公垂線段的長。

10’追問2：如何確定公垂線段的長？

由于兩條平行直線間的垂線段長度相等。所以，兩條平行線中，一條直線

上任意一點到另一條直線的距離就是兩條平行直線間的距離.

兩

條追問3：將兩條平行直線放入平面直角坐標系中，已知它們的直線方程，如何

平求它們之間的距離？

行

任取一條直線上的一點P(x,y)，

直o0

線利用點到直線距離公式求該點到另一

間條直線的距離.即，將兩條平行直線間

的的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離。

距

離

問題2：已知兩條平行直線AxByC0，AxByC0，求兩條直

公12

式線間的距離d？

的

解：在直線AxByC0上任取一點P(x,y)，點P(x,y)到直線

推10000

導

的距離就是兩條平行直線間的距離.

AxByC20

|AxByC|

故d002○1

A2B2

因為，在直線上，因此代

P(x0,y0)AxByC10Ax0By0C10

|CC||CC|

入○1，則d1212

A2B2A2B2

這個等式我們也稱為兩條平行直線間的距離公式.

問題3：公式有什么結(jié)構(gòu)特征？

觀察發(fā)現(xiàn)公式的分子是兩條直線方程常數(shù)項差的絕對值，分母與點到直線

距離類似，是直線方程中兩個未知數(shù)的系數(shù)的平方和再開方.

實際上，公式與縱截距有關(guān)。平行直線間距離就是兩條直線縱截距對應

向量在直線垂直方向上投影向量的模長.

兩例1求下列兩條平行直線間的距離.

條

（1）l:3x4y0，l:3x4y10；

平12

行

（2）l:2x7y80，l:6x21y10.

10’直12

線（逐題講解）

間解：（1）使用兩條平行直線間的距離公式需將直線方程化為一般式.

距

將直線3x4y10化為一般式3x4y100

離

的

|010|

應由兩條平行直線間的距離公式知d2.

22

用34

所以與間的距離為.

l1l22

（2）與平行，但是未知數(shù)系數(shù)不等，無法直接用兩條平行直線間的距離

l1l2

公式?？蓪⒌南禂?shù)擴大3倍.即：

l1l1:6x21y240

由兩條平行直線間的距離公式知

|241|232353

d.

62212353159

23

所以l與l間的距離為53.

12159

在做本題時，我們發(fā)現(xiàn)有時需要先判斷直線是否平行才能進行后續(xù)運算。

問題4：能否由直線一般式方程系數(shù)的特征直接判斷兩條直線的位置關(guān)系？

利用斜率判斷兩直線位置關(guān)系，關(guān)注的是兩條直線系數(shù)間的關(guān)系。當直線表示

為一般式時，我們同樣關(guān)注兩直線系數(shù)間的關(guān)系。

已知兩條直線，.

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20

ACAC

由斜率判斷法，若斜率存在，則11，22

l1:yxl1:yx

B1B1B2B2

AACCABCB

此時，若兩直線平行，則有12，12.或(11，11)

B1B2B1B2A2B2C2B2

或.

A1B2A2B10,B1C2B2C10

CC

若斜率不存在，兩直線平行12或.

B1B20,(C1A2C2A10)

A1A2

故將兩種情況統(tǒng)一為：

A1B2A2B10,A1B2A2B10,

兩直線平行或.

B1C2B2C10.A1C2A2C10.

例2□的四條邊所在直線的方程分別是，

ABCDl1:x4y50

，，，求□的面

l2:2xy80l3:x4y140l4:2xy10ABCD

積.

分析：平行四邊形面積等于底乘高.故可以求的長及間的距離.

CDl1,l3

追問1：如何求CD的長？

聯(lián)立，求坐標.

l1,l2l1,l4C,D

x4y50x4y50

解得C(3,2)；解得D(1,1)

2xy802xy10

|CD|(31)2(21)217

追問2：如何求間的距離？

l1,l3

|514|9