第十章概率

10.1.3古典概型

一、教學(xué)目標(biāo)

1、掌握隨機(jī)事件概率的含義及表示；

2、正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)：有限性、等可能性；

3、掌握古典概型的概率計(jì)算公式，并能計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率。

4.通過(guò)對(duì)古典概型的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.了解隨機(jī)事件概率的含義及表示.

2.如何判斷一個(gè)實(shí)驗(yàn)是否是古典概型，如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為古典概型。

三、教學(xué)過(guò)程：

（1）創(chuàng)設(shè)情景

①在前面的學(xué)習(xí)中，我們?cè)鰭仈S硬幣的模擬實(shí)驗(yàn)，用統(tǒng)計(jì)的方法求硬幣出現(xiàn)正面向上的

概率。用試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)求某一隨機(jī)事件的概率有什么不足？

②有紅心1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，將其牌點(diǎn)向下置于桌上，現(xiàn)從中任意抽取一

張，那么抽到的牌為紅心的概率有多大？

③猜想兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果:

實(shí)驗(yàn)1：有紅心1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，將其牌點(diǎn)向下置于桌上，現(xiàn)從中任意

抽取一張，該實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果是什么?

實(shí)驗(yàn)2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的所有可能結(jié)果是什么?

（2）新知探究

問(wèn)題1:你會(huì)用什么方法解決問(wèn)題?會(huì)不會(huì)有更好的方法呢?

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥

問(wèn)題2:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的所有可能結(jié)果是什么?哪種結(jié)果的可能性較大?

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥并提出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容

問(wèn)題3:你能從上面兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)有什么共同的特點(diǎn)?

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（有限性）

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性）

（3）新知建構(gòu)

概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率(probability)，事件A的概

率用P(A)表示．

古典概型：具有如下共同特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有______個(gè)；

②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．

我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型(classical

modelsofprobability)，簡(jiǎn)稱古典概型．

概率公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其

中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率

knA

P(A)＝＝.

nnΩ

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（4）數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1.某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)

國(guó)家去旅游.

(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；

(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各選1個(gè)，求這兩個(gè)國(guó)家包括A1，但不包括B1的概率．

12

【答案】（1）P；（2）P

59

【解析】（Ⅰ）由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：

A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,

B1,B2,B1,B3,B2,B3，共15個(gè).

所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的樣本點(diǎn)有：

31

A,A,A,A,A,A,共3個(gè)，則所求事件的概率為：P.

121323155

（Ⅱ）從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：

A1,B1,{A1,B2},A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3，共9

個(gè)，

包含A1但不包括B1的事件所包含的樣本點(diǎn)有：A1,B2,A1,B3，共2個(gè)，

2

所以所求事件的概率為：P.

9

變式訓(xùn)練1:某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所

示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的

數(shù)分別為x，y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：

①若xy3，則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；

②若xy8，則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；

③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).

（Ⅰ）求小亮獲得玩具的概率；

（Ⅱ）請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.

5

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

16

【解析】（Ⅰ）兩次記錄的所有結(jié)果為（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），

（2,4），

（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16個(gè)．

5

滿足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5個(gè)，所以小亮獲得玩具的概率為．

16

（Ⅱ）滿足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6個(gè)，所以小亮獲

6565

得水杯的概率為；小亮獲得飲料的概率為1，

16161616

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．

變式訓(xùn)練2:將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方

體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率是_______．

1

【答案】

6

【解析】拋擲一個(gè)骰子兩次，基本事件有36種，其中符合題意的有：

61

4,6,5,5,,5,6,6,4,6,5,6,6共六種，故概率為.

366

例2.某工廠的A,B,C三個(gè)不同車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.質(zhì)檢人員用

分層抽樣的方法從這些產(chǎn)品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè):

車間ABC

數(shù)量50150100

(1)求這6件樣品中來(lái)自A,B,C各車間產(chǎn)品的數(shù)量;

(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件產(chǎn)品來(lái)自相同車間的概率.

4

【答案】(1)1,2,3;(2).

15

61

【解析】(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是,

5015010050

1

所以A車間產(chǎn)品被選取的件數(shù)為501,

50

1

B車間產(chǎn)品被選取的件數(shù)為1503,

50

1

C車間產(chǎn)品被選取的件數(shù)為1002.

50

(2)設(shè)6件自A?B?C三個(gè)車間的樣品分別為:A;B1,B2,B3;C1,C2.

則從6件樣品中抽取的這2件產(chǎn)品構(gòu)成的所有樣本點(diǎn)為:

A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,

B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15個(gè).

每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.

記事件D:“抽取的這2件產(chǎn)品來(lái)自相同車間”,

則事件D包含的樣本點(diǎn)有:

B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4個(gè)

4

所以PD.

15

4

所以這2件商品來(lái)自相同車間的概率為.

15

變式訓(xùn)練:現(xiàn)有7名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其

中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2的物理成績(jī)優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.從中

選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽，則A1和B1不

全被選中的概率為____________.

5

【答案】

6

【解析】從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，

所有可能的結(jié)果組成的12個(gè)樣本點(diǎn)為A1,B1,C1，

A1,B1,C2，A1,B2,C1，A1,B2,C2，A2,B1,C1，

A2,B1,C2，A2,B2,C1，A2,B2,C2，A3,B1,C1，

A3,B1,C2，A3,B2,C1，A3,B2,C2.

“A1和B1全被選中”有2個(gè)樣本點(diǎn)A1,B1,C1，A1,B1,C2，

105

“A和B不全被選中”為事件N共有10個(gè)樣本點(diǎn)，概率為.

11126

5

故答案為:.

6

例3:某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，

他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)

芽數(shù)，得到如下資料：

日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日

101113128

溫差x(C)

發(fā)芽數(shù)y（顆)2325302616

（1）求這5天的平均發(fā)芽率；

（2）從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，用(m,n)的形式

列出所有的基本事件，并求滿足“m，n[25，30]”的事件A的概率．

113

(2325302616)【答案1】0（0%1）24%；（2）.

510010

【解析】（1）這5天的平均發(fā)芽率為：

11

(2325302616)100%24%．

5100

（2）從3月1日至3月5日任中選2天，

記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，

用(m,n)的形式列出所有的基本事件有10個(gè)，分別為：

(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,3