湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第一中學(xué)2025屆高三3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．集合，則（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．如圖，在四面體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，則（

）

A． B．C． D．4．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的首項(xiàng)（

）A．3 B．2 C．1 D．5．四色猜想又稱四色問題、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.四色定理的內(nèi)容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對(duì)該地圖的五個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（4種顏色不一定用完），滿足四色定理的不同的涂色種數(shù)為A．96 B．72 C．108 D．1446．如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài)．圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖做出以下判斷，不正確的是（

）

A．圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B．圖（2）的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)C．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù) D．圖（3）的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)7．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C．254 D．20258．已知拋物線（），O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，直線AO，BO分別交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，D，則為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．若，則的最小值為10．已知.設(shè)命題：過點(diǎn)恰可作一條關(guān)于的切線.以下為命題的充分條件的有（

）A． B．C． D．11．若平面點(diǎn)集，滿足：任意點(diǎn)，存在正實(shí)數(shù)，都有，則稱該點(diǎn)集為“階集”，則下列說法正確的是（

）A．若是“階集”，則B．若是“階集”，則為任意正實(shí)數(shù)C．若是“階集”，則D．若是“階集”，則三、填空題（本大題共3小題）12．在以O(shè)為中心，、為焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足，則該橢圓的離心率為.13．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)0.618就是黃金分割，這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為，若，則.14．在中，，點(diǎn)D在線段上，，，，點(diǎn)M是外接圓上任意一點(diǎn)，則最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，且.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.16．已知：斜三棱柱中，，與面所成角正切值為，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)向平面所作投影在內(nèi)．(1)求證：；(2)為棱上一點(diǎn)，且二面角為，求的值．17．在矩形中，點(diǎn)在線段上，且.(1)求；(2)若動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.18．已知事件滿足.證明：(1)若，則與獨(dú)立；(2).19．設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的左頂點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn),與C交于不與點(diǎn)A重合的兩點(diǎn)P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設(shè)在射線上的點(diǎn)R滿足,求直線的斜率的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題設(shè)，且，則.故選B．2．【答案】A【詳解】，，由得，，故.故選A.3．【答案】A【詳解】連接，，則.故選A．

4．【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻?，即，所以，又因?yàn)?，可得，即，?lián)立解得，.故選B.5．【答案】D【詳解】如圖，把五塊區(qū)域編號(hào)，第一步涂有4種可能，第二步涂有3種可能，第三步，又分類：按同色有種，不同色有種，共有方法數(shù)為．故選D．6．【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念，結(jié)合圖形分析即可求解.【詳解】圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）中眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯(cuò)誤；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選C.7．【答案】B【詳解】由是偶函數(shù)推出的性質(zhì)，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，即，對(duì)于任意都成立，那么.用代替，可得，即.又因?yàn)椋瑒t關(guān)于直線對(duì)稱，所以.由和可得，再用代替，得到，即，而，所以，進(jìn)而，所以函數(shù)的周期是.已知當(dāng)時(shí)，...因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，...，，.則.因?yàn)?，其中是余?shù).所以.，故選B.8．【答案】A【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求得，得到，由拋物線的定義，得到，再由的方程為，求得，證得，同理可得，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，由拋物線，可得，準(zhǔn)線方程為，則過拋物線C的焦點(diǎn)F作斜率為的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則且，則，根據(jù)拋物線的定義，可得，又由，所以直線的方程為，令，可得，因?yàn)椋傻?，所以，同理可得，所以，所?故選：A.9．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)椴皇堑膶?duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，故B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，由得，所以的最小值即為兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離，即為，因?yàn)?，所以的最小值?故選BCD.10．【答案】BD【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入得，化簡(jiǎn)得，方程有一個(gè)根，令，，轉(zhuǎn)化為直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，，，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，則有或即，，同理當(dāng)時(shí)，，，，，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，，綜上，要想過恰可作一條關(guān)于的切線，則或；或.A選項(xiàng)，，若，則，無法推出，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，若，則，若，則，可以推出，故B正確；C選項(xiàng)，，無法推出，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，若，則，若，則，可以推出，故D正確.故選BD.11．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，若是“階集”，則，所以，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，若是“階集”，則，則為任意正實(shí)數(shù)，故B正確；對(duì)于C，若是“階集”，則，由得出，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取，，滿足，但是，所以為使成立時(shí)，，正實(shí)數(shù)的取值范圍是，故C是正確；對(duì)于D，若是“階集”，則，當(dāng)，，時(shí)，，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選ABC.12．【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c互補(bǔ)，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選C．

13．【答案】【詳解】解：∵，若，∴，∴．14．【答案】【詳解】由題意可得：，，所以，解得，則，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的線性運(yùn)算知，，所以，由圖可知：．當(dāng)且同向時(shí)，，所以最大值為．1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí)，務(wù)必要注意兩向量的方向．15．【答案】(1)(2)極小值為，極大值為【詳解】（1）由題設(shè)，則；，則，所以點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）由（1），由，有或，由，有，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，極大值為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，在斜三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫裕?（2）解：由（1）可知，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，又因?yàn)?，，、平面，則平面，所以，直線與平面所成的角為，所以，，則，因?yàn)椋傻?，，因?yàn)?，則，，所以，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，則，即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)、，設(shè)，其中，則，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼菫椋瑒t，整理可得，因?yàn)?，解得，?17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）過作于，設(shè)，易知，則，由，整理得到，解得或（舍），所以.（2）由（1）易知，，設(shè)，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.18．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，由，從而，則，而，由，即，所以與獨(dú)立；（2）一方面，，又因?yàn)?，所以，另一方面，，綜上所述，有.19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知.由于平移不改變斜率,作平移變換.則點(diǎn)的坐