浙江省北斗星盟2025屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知集合，，則()A. B. C. D.1．答案：A解析：由可解得，所以，由可解得，又，所以，所以.故選：A.2．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]若復(fù)數(shù)z滿足，則()A. B. C. D.2．答案：B解析：設(shè)，則，所以，，故，故選：B.3．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.3．答案：D解析：已知單位向量，，故.由得，故，即，因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.4．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]“”是“函數(shù)的值域為R”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．答案：A解析：若，因為，所以函數(shù)的定義域為，故，所以函數(shù)的值域為R，即“”是“函數(shù)的值域為R”的充分條件；若函數(shù)的值域為R，則對于二次函數(shù)，其值域包含，即，解得或，即“”不是“函數(shù)的值域為R”的必要條件，綜上，“”是“函數(shù)的值域為R”的充分不必要條件，故選：A.5．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]若坐標(biāo)原點O關(guān)于動直線的對稱點為A，則點A的軌跡為()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線5．答案：A解析：由得，所以直線l過定點，又由對稱性可知，，所以點A到點B的距離為，所以點A的軌跡為圓.故選：A.6．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知函數(shù)和函數(shù)的圖象上相鄰的四個交點構(gòu)成的四邊形的面積為，且，則()A.， B.， C.， D.，6．答案：C解析：由得，，則，即，則當(dāng)時，（k為奇數(shù)）或（k為偶數(shù)），則交點坐標(biāo)為（k為奇數(shù)），（k為偶數(shù)），則相鄰的四個交點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，因相鄰的交點之間的橫坐標(biāo)差的絕對值為，則平行四邊形的面積為，得，由，得，即，因為，所以.故選：C7．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知函數(shù)滿足，且對，，則滿足的正整數(shù)n的最大值為()A.2026 B.2027 C.2028 D.20297．答案：C解析：由題，，，所以函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，又，，，，，，，所以滿足的正整數(shù)n的最大值為2028.故選：C.8．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，若點P為曲線C上的動點，則的最大值為()A. B. C.2 D.8．答案：B解析：設(shè)，則，當(dāng)點P位于坐標(biāo)原點時，；當(dāng)點P異于坐標(biāo)原點時，可得，而，，且，故令，，且，則，由余弦函數(shù)性質(zhì)得，故的最大值為，故B正確.故選：B.二、多項選擇題9．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]在足球訓(xùn)練課上，A，B兩位同學(xué)進(jìn)行“點球”比賽，規(guī)則為：比賽共進(jìn)行5輪，在每輪比賽中，兩人各罰點球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次點球命中的概率分別為，，，若5輪比賽后A，B的總得分分別為，，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.C.若，則D.若當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，則9．答案：ACD解析：由題意，隨機(jī)變量，，對于A，故，，若，則，故A正確；對于B，若，則，化簡整理得，即，所以時，，故B錯誤；對于C，由題意，，，所以，由得，，故，即，故C正確；對于D，由題意，，則，解得，故D正確.故選：ACD.10．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，且，P為C上位于第一象限內(nèi)的點，且，的內(nèi)角平分線交x軸于點M，則下列結(jié)論正確的是()A.橢圓C的離心率 B.C.的內(nèi)切圓半徑為 D.10．答案：AC解析：對于選項A：設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的對稱性可知，則，，所以，故A正確；對于選項B：因為，，，所以，即，故B錯誤；對于選項C：因為，，則，所以，又因為的周長，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，故C正確；對于選項D：由角平分線定理得，故D錯誤；故選：AC.11．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，底面為矩形，，，若該四棱錐存在內(nèi)切球，且其內(nèi)切球球心為，其外接球球心為，則下列結(jié)論正確的是()A.平面平面B.四棱錐的內(nèi)切球半徑為C.四棱錐的體積為D.11．答案：ABD解析：對于A，因為，，，平面，所以平面，所以平面平面，A正確；對于B，因為側(cè)面為等腰直角三角形，，所以，，因為平面，平面，則，，則，為直角三角形，且，，所以，易知平面，該四棱錐的內(nèi)切球在平面上的“正投影”為的內(nèi)切圓，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，所以四棱錐的內(nèi)切球半徑為，B正確；對于C，分別取，的中點E，F(xiàn)，連接，，，則，又平面截內(nèi)切球所得的圓為大圓，且切點在上，設(shè)，則，，，所以，得，所以四棱錐的體積，C錯誤；對于D，易知E為的外接圓圓心，平面，又四邊形為矩形，所以外接球球心為為的中點，故，D正確.故選：ABD.三、填空題12．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則________.12．答案：解析：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，，所以，，所以.故答案為：.13．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知，且滿足，則，則________.13．答案：/0.8解析：因為，，所以，由得，即，所以，所以，得，所以.故答案為：14．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為.是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動力量，是研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的科學(xué).某商場在有獎銷售的抽獎環(huán)節(jié)時，采用技術(shù)生成獎券碼：在每次抽獎時，顧客連續(xù)點擊按鍵5次，每次點擊隨機(jī)生成數(shù)字0或1或2，點擊結(jié)束后，生成的5個數(shù)字之和即為獎券碼.并規(guī)定：如果獎券碼為0，則獲一等獎；如果獎券碼為3的正整數(shù)倍，則獲二等獎，其它情況不獲獎.已知顧客甲參加了一次抽獎，則他獲二等獎的概率為________.14．答案：解析：設(shè)一次抽獎所生成的獎券碼為S，共有種情況，生成的5個數(shù)字中有個0，個1，則，由題可知.若獲得二等獎，則S為3的正整數(shù)倍，故可取的值為1，4，7.當(dāng)時，的取值為，共有種情況；當(dāng)時，的可能取值為，，，共有種情況；當(dāng)時，的取值為，，共有種情況，由分類加法計數(shù)原理得符合條件的有種情況，且設(shè)獲得二等獎的概率為，由古典概型概率公式得.故答案為：四、解答題15．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，M，N為別為棱，的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.15．答案：(1)證明見解析；(2).解析：（1）取中點E，連接、，因為底面為矩形，N為的中點，所以，平面，平面，則平面，因為M為中點，所以，平面，平面，則平面，因為且都在平面內(nèi)，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）由題，易知直線，，兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，，所以，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線過點，求實數(shù)a的值；(2)當(dāng)時，證明：.16．答案：(1)(2)證明見解析解析：（1）函數(shù)的定義域為R，，所以，又，所以在處的切線方程為，將點代入得，解得.（2）證明：，設(shè)，則，因為，所以當(dāng)時，，即單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即單調(diào)遞增；時，，即，，，所以當(dāng)時，.，，所以存在唯一的，使得，即，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值，即為最小值，所以，因為，所以，故，則，得證.17．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]如圖，四邊形中，對角線，相交于點O，，，，且和的外接圓半徑相等.(1)若，求的長；(2)若，求.17．答案：(1)(2)解析：（1）由題，，因為和的外接圓半徑相等，由正弦定理得，所以，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，即，所以，解得，即，在中，由余弦定理得：，即，解得或（舍），所以.（2）在中，由正弦定理得：，即，在中，由正弦定理得：，即，因為，所以，所以或，若，則，此時，，易得，，不成立，所以，故，解得（舍）或，因為，所以，故.18．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知雙曲線，且四點，，，中恰有三點在E上.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，P，Q，R分別為雙曲線E上位于第一、二、四象限的點，過坐標(biāo)原點O分別作直線PQ，PR的垂線，垂足分別為M，N，且.（?。┳C明：Q，O，R三點共線；（ⅱ）求面積的最小值.18．答案：(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）4解析：（1）由題，點，，，中恰有三點在E上，根據(jù)雙曲線的對稱性，點，都在雙曲線上，又在第一象限內(nèi)，雙曲線的圖象是“上升的”，所以點不在雙曲線E上，所以點，，為雙曲線上的點，代入得解得，，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（ⅰ）證明：由題可知直線的斜率存在，設(shè)，則，故，把代入得：，由題知，設(shè)，，則，，則，所以，所以，同理可得，所以Q，O，R三點共線，（ⅱ）因為，，所以，所以，所以，由（?。┲?，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以面積的最小值為4.19．[2025屆·浙江·三模聯(lián)考]已知數(shù)列的前n項和為，且，，當(dāng)數(shù)列的項數(shù)大于2時，將數(shù)列中各項的所有不同排列填入一個行n列的表格中（每個格中一個數(shù)字），使每一行均為這n個數(shù)的一個排列，將第行的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列記作，將數(shù)列中的第項記作.若對，均有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，記表格中“異位數(shù)列”的個數(shù)為M.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)數(shù)列的項數(shù)為4時，求M的值；(3)若數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，試討論的最小值.19．答案：(1)(2)(3)答案見解析解析：（1）由題，，解得，由得，兩式作差得，即，所以，，，……，，累乘得：，即，因為，符合上式，所以.（2）由（1）知，，所以，當(dāng)數(shù)列的項數(shù)為4時，可知，，，，若數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，則