PAGEPAGE1中檔大題保分練(04)(滿分：46分時間：50分鐘)說明：本大題共4小題，其中第1題可從A、B兩題中任選一題；第4題可從A、B兩題中任選一題.共46分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1．(A)(12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a＋2c)cosB＋bcosA＝0，b＝5．(1)求角B；(2)若△ABC的面積為eq\f(15\r(3),4)，求△ABC的周長．解：(1)∵(a＋2c)cosB＋bcosA＝0，由正弦定理可得：sinAcosB＋2sinCcosB＋sinBcosA＝0，即cosB＝－eq\f(1,2)，又B∈(0，π)，則B＝eq\f(2,3)π．(2)由△ABC的面積為eq\f(15\r(3),4)，∴eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(15\r(3),4)，則ac＝15，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，得a＋c＝2eq\r(10)，則周長a＋b＋c＝2eq\r(10)＋5．1．(B)(12分)已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿意bn＝2n－1＋an(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，試比較Sn與n2＋2n的大?。猓?1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1，a2，a3－1成等差數(shù)列，∴2a2＝a1＋(a3－1)＝a3，∴q＝eq\f(a3,a2)＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．(2)∵bn＝2n－1＋an，∴Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n－1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝eq\f(1＋2n－1,2)·n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n2＋2n－1．因為Sn－(n2＋2n)＝－1＜0，所以Sn＜n2＋2n．2．(12分)某代賣店代售的某種快餐，深受廣闊消費者寵愛，該種快餐每份進價為8元，并以每份12元的價格銷售．假如當天19：00之前賣不完，剩余的該種快餐每份以5元的價格作特價處理，且全部售完．(1)若這個代賣店每天定制15份該種快餐，求該種類型快餐當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量x(單位：份，x∈N)的函數(shù)解析式；(2)該代賣點記錄了一個月30天的每天19：00之前的銷售數(shù)量該種快餐日需求量，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：日需求量121314151617天數(shù)456843以30天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，假設(shè)這個代賣店在這一個月內(nèi)每天都定制15份該種快餐．①求該種快餐當天的利潤不少于52元的概率；②求這一個月該種快餐的日利潤的平均數(shù)(精確到0.1)．解：(1)由題意得當x≥15時，y＝4×15＝60；當x＜15時，y＝4x－3(15－x)＝7x－45．所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，x≥15，x∈N，,7x－45，x＜15，x∈N.))(2)由題意可得該種快餐的利潤狀況如下表：天數(shù)45615利潤39465360①該種快餐當天的利潤不少于52元的概率為P＝eq\f(6＋15,30)＝0.7．②這一個月該種快餐的日利潤的平均數(shù)為eq\f(4×39＋5×46＋6×53＋15×60,30)≈53.5(元)．3．(12分)如圖，已知四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且PA⊥AB，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，AB＝AD＝2DC＝2，M為PB的中點．(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求三棱錐P-ACM的體積．(1)證明：取PA的中點N，連接MN，DN.由于M，N分別為PB，PA的中點，由題意知MN綊eq\f(1,2)AB綊CD，則四邊形CMND為平行四邊形，所以CM∥DN，又CM?平面PAD，DN?平面PAD，所以CM∥平面PAD．(2)解：由(1)知CM∥DN，△PAD是等邊三角形，所以DN⊥PA，因為AB⊥AD，且PA⊥AB，且AD∩PA＝A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又因為DN?平面PAD，所以DN⊥AB，又因為AB∩AP＝A，AB?平面ABP，AP?平面ABP，則DN⊥平面ABP，即CM⊥平面ABP，CM為三棱錐C-APM的高，CM＝DN＝eq\r(3)，S△PAM＝eq\f(1,2)S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×2＝1，VP-ACM＝VC-PAM＝eq\f(1,3)S△PAM×CM＝eq\f(\r(3),3)．4．(A)(10分)選修4－4：坐標系與參數(shù)方程以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝1，曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數(shù))．(1)求曲線C1的直角坐標方程和曲線C2的一般方程；(2)直線l：y＝x與曲線C1交于A，B兩點，P是曲線C2上的動點，求△PAB的面積的最大值．解：(1)因為曲線C1的極坐標方程為ρ＝1，則直角坐標方程為x2＋y2＝1；曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝sinφ))(φ為參數(shù))，則一般方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)由題意知|AB|＝2，設(shè)P(2cosφ，sinφ)，點P到直線y＝x的距離為d＝eq\f(|2cosφ－sinφ|,\r(2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|×d＝eq\f(1,2)×2×eq\f(|2cosφ－sinφ|,\r(2))＝eq\f(\r(10),2)|sin(φ＋θ)|≤eq\f(\r(10),2)．4．(B)(10分)選修4－5：不等式選講(1)已知a，b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，求證：a2b2＋1＞a2＋b2．(2)若關(guān)于x的不等式|x－1|＋2|x－2|≤m有解，求實數(shù)m的取值范圍．(1)證明：∵a2b2＋1－a2－b2＝a2(b2－1)＋(1－b2)＝(b2－1)(a2－1)，又a，b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0，∴(b2－1)(a2－1)＞0，即a2b2＋1＞a2＋b2．(2)解：|