PAGE1-課后限時集訓(六十二)(建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達標1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥9.[證明]因為x＞0，y＞0，所以1＝x＋y≥2eq\r(xy).所以xy≤eq\f(1,4).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))＝1＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＋eq\f(1,xy)＝1＋eq\f(2,xy)≥1＋8＝9.當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時，等號成立．2．已知α∈(0，π)，求證：2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).[證明]2sin2α－eq\f(sinα,1－cosα)＝4sinαcosα－eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(sinα4cosα－4cos2α－1,1－cosα)＝－eq\f(sinα2cosα－12,1－cosα)，因為α∈(0，π)，所以sinα＞0,1－cosα＞0，又(2cosα－1)2≥0，所以2sin2α－eq\f(sinα,1－cosα)≤0，所以2sin2α≤eq\f(sinα,1－cosα).3．若a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab).(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由．[解](1)由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，得ab≥2，當且僅當a＝b＝eq\r(2)時等號成立．故a3＋b3≥2eq\r(a3b3)≥4eq\r(2)，當且僅當a＝b＝eq\r(2)時等號成立．所以a3＋b3的最小值為4eq\r(2).(2)由(1)知，2a＋3b≥2eq\r(6)eq\r(ab)≥4eq\r(3).由于4eq\r(3)>6，從而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解]由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥eq\f(49,9)，當且僅當eq\f(a－1,2)＝eq\f(b＋2,2)＝c－3時等號成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是eq\f(49,9).B組實力提升1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿意p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.[解](1)因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當且僅當－1≤x≤2時，等號成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)證明：由(1)知p＋q＋r＝3，因為p2＋q2≥2pq，q2＋r2≥2qr，p2＋r2≥2pr，所以2(p2＋q2＋r2)≥2pq＋2qr＋2pr，所以3(p2＋q2＋r2)≥(p＋q＋r)2＝9，則p2＋q2＋r2≥3.2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求eq\f(x1,a)＋eq\f(x2,b)＋eq\f(2,x1x2)的最小值；(2)求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解](1)因為a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以eq\f(x1,a)＋eq\f(x2,b)＋eq\f(2,x1x2)≥3·eq\r(3,\f(x1,a)·\f(x2,b)·\f(2,x1x2))＝3·eq\r(3,\f(2,ab))≥3·eq\r(3,\f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2))＝3×eq\r(3,8)＝6，當且僅當eq\f(x1,a)＝eq\f(x2,b)＝eq\f(2,x1x2)且a＝b，即a＝b＝eq\f(1,2)，且x1＝x2＝1時，eq\f(x1,a)＋eq\f(x2,b)＋eq\f(2,x1x2)有最小值6.(2)證明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[(eq\r(ax1))2＋(eq\r(bx2))2]·[(eq\r(ax2))2＋(eq\r(bx1))2]≥(eq\r(ax1)·eq\r(ax2)＋eq\r(bx2)·eq\r(bx1))2＝(aeq\r(x1x2)＋beq\r(x1x2))2＝x1x2，當且僅當eq\f(\r(ax1),\r(ax2))＝eq\f(\r(bx2),\r(bx1))，即x1＝x2時取得等號．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.法二：因為a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abxeq\o\al(2,2)＋abxeq\o\al(2,1)＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x