Page21一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意對(duì)方程變形，然后列出關(guān)于的不等式組，可求得答案.【詳解】由，得，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的雙曲線，所以，解得.故選：A.2.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件進(jìn)行判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線，即為直線與直線的斜率都是，縱截距不同，則兩直線平行，是充分條件；若直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，直線重合不符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線平行則斜率相等，截距不相等，解得，是必要條件；故選：C3.上周聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，且，負(fù)責(zé)命題的王老師考后隨機(jī)抽取了25個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，設(shè)這25個(gè)學(xué)生中得分在的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的方差為（）A.2 B.4 C.6 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，求得學(xué)生得分在的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算方法求解即可.【詳解】由正態(tài)分布知，學(xué)生得分在的概率為，抽取個(gè)學(xué)生得分在的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，.故選：.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則（）A.35 B.33 C.31 D.30【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公比，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，，與的等差中項(xiàng)為，，即，解得，，由，可得，.故選：D.5.甲乙等5名同學(xué)坐成一排參加高考調(diào)研，若甲不在最左端且甲乙不相鄰的不同排列方式為（）A.64種 B.54種 C.48種 D.36種【答案】B【解析】【分析】利用間接法，先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在一端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，結(jié)合排列數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】先考慮甲乙不相鄰的不同排列方式數(shù)，再減去甲站在左端且甲乙不相鄰的排列方式數(shù)，所以總數(shù)為種.故選：B.6.直線：與圓：的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知直線與圓的方程，得到直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可判定.【詳解】由直線，可得直線過(guò)定點(diǎn)，又由圓：，可得點(diǎn)在圓C上，因?yàn)橹本€的斜率顯然存在，所以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.故選：C.7.已知二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則（）A.展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 B.展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 D.展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64得，再分別討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，所以，解得，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，令得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由可知展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，，故令，即時(shí)，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，展開(kāi)式的系數(shù)分別為，，所以，展開(kāi)式中系數(shù)最大值為，此時(shí)，為展開(kāi)式第5項(xiàng)，故D選項(xiàng)正確.故選：D8.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，比較出，構(gòu)造函數(shù)，比較出，即可求解.【詳解】依題意，則.令，故，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，則.令，則，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，則.綜上所述：.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若樣本相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量沒(méi)有相關(guān)關(guān)系B.若樣本相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)C.在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好D.對(duì)分類(lèi)變量與，若它們的越大，則推斷與有關(guān)聯(lián)時(shí)犯錯(cuò)誤的概率越小【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，其中，且當(dāng)越接近時(shí)，相關(guān)程度越大；當(dāng)越接近時(shí)，相關(guān)程度越小，對(duì)于A中，若樣本相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，不能說(shuō)明沒(méi)有非線性相關(guān)，所以A不正確；對(duì)于B中，若樣本相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以B不正確；對(duì)于C中，在殘差的散點(diǎn)圖中，殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，其模型的擬合效果越好，所以C正確；對(duì)于D中，對(duì)分類(lèi)變量與，若它們的越大，變量與的關(guān)聯(lián)關(guān)系越大，即則推斷與有關(guān)聯(lián)時(shí)犯錯(cuò)誤的概率越小，所以D正確.故選:CD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.函數(shù)有極大值且極大值為C.若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線的切線方程為【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值、方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A,由題知，的定義域?yàn)?，，令，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，取得極大值，且，故B正確；對(duì)于C，由以上分析可作出的圖象，要使方程有兩個(gè)不等實(shí)根，只需與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，有圖可知，故C正確；對(duì)于D，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則切線的斜率，得，則，所以切線的斜率，所以切線方程為，故D正確，故選：BCD.11.已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.的方程為 B.已知點(diǎn)，則的最小值為C. D.若，則與的面積相等【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可判斷；對(duì)于C，設(shè)，分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷；對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可得，結(jié)合以及韋達(dá)定理即可得出兩個(gè)三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.【詳解】解：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故B正確；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故C正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷B選項(xiàng)的關(guān)鍵是為與拋物線的交點(diǎn)求得最小，判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則_____________.【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)和事件的概率公式求出，再由條件概率公式求解即可.【詳解】由，解得，所以，故答案為：13.已知圓的圓心為點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，若，則_____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)弦的中點(diǎn)為，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，如圖，因?yàn)?，，所以，且，所以，解?故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)，對(duì)恒成立，則的取值范圍為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】將不等式變形可得，利用函數(shù)同構(gòu)可令函數(shù)，得出其單調(diào)性可判斷得出，由參變分離可求得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得出的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意將不等式變形可得，即，所以，即，又，可得，也即；構(gòu)造函數(shù)，則，而不等式等價(jià)于，易知當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，易知上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得；令，則，所以可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得極小值，也是最小值，因此可得，即的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，常用的方法是將不等式通過(guò)合理變形并根據(jù)已知條件利用函數(shù)同構(gòu)思想進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性求出相應(yīng)最值即可得出結(jié)論.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.15.某手機(jī)公司對(duì)一小區(qū)居民開(kāi)展5個(gè)月調(diào)查活動(dòng)，使用這款人數(shù)的滿意度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：月份12345不滿意的人數(shù)1201051009580（1）求不滿意人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)該小區(qū)10月份對(duì)這款不滿意人數(shù)；（2）工作人員從這5個(gè)月內(nèi)的調(diào)查表中隨機(jī)抽查100人，調(diào)查是否使用這款與性別的關(guān)系，得到下表：使用不使用女性4812男性2218根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否使用這款與性別有關(guān)？附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，，，010.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；37（2）不能【解析】【分析】（1）根據(jù)題給數(shù)據(jù)求解回歸方程即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題給數(shù)據(jù)分析列聯(lián)表求解得出結(jié)論【小問(wèn)1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可知，，，，，不滿意人數(shù)與月份之間的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)該小區(qū)10月份對(duì)這款不滿意人數(shù)為37；【小問(wèn)2詳解】提出假設(shè)：是否使用這款與性別無(wú)關(guān)，由表中的數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們不能推斷不成立，即不能認(rèn)為使用這款與性別有關(guān).16.設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，且其前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求得的值，然后結(jié)合遞推關(guān)系式整理可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組法與裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)且時(shí)，，∴，整理可得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴.【小問(wèn)2詳解】，.17.如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，.（1）證明：.（2）已知平面平面，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，，如圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為菱形，?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平面；以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.設(shè)平面的法向量為，則令，則，，可得.，故平面與平面所成夾角的余弦值為.18.如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱(chēng)為移動(dòng)一次，若質(zhì)點(diǎn)的初始位置位于點(diǎn)處，記點(diǎn)移動(dòng)次后仍在底面上的概率為.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖形可得每一個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，其中兩個(gè)在同一底面，推得，再利用全概率公式可求出；（2）由題意可得，化簡(jiǎn)變形后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出，然后利用錯(cuò)位相減法可求出.【小問(wèn)1詳解】由題意可得每一個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，其中兩個(gè)在同一底面，所以當(dāng)在下底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次仍在下底面的概率為，在上底面時(shí)，隨機(jī)移動(dòng)一次回到下底面的概率為，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】由題意可知，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以，所以，令，，則，所以，所以，所以，，因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查全概率公式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列求和公式，考查錯(cuò)位相減法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于較難題.19.設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn).（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；（2）曲線與軸交于.點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，直線交曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)不過(guò)點(diǎn)，直線與直線的斜率分別是且，直線和直線交于點(diǎn).①探究直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)求出該點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由；②證明：為定值，并求出該定值.【答案】（1）（2）①過(guò)定點(diǎn)，；②證明見(jiàn)解析，4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合橢圓的定義，即可求解；（2）①設(shè)點(diǎn)，且，聯(lián)立方程求得，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解；②設(shè)直線和直線的斜率為，求得，結(jié)合，得到，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，因?yàn)?，可得，所以，則，又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心坐標(biāo)為，且，所以，又由，可得，即由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】解：①設(shè)點(diǎn)，且直線，聯(lián)立方程，整理