/2024學(xué)年鄭州市高二（下）期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若當(dāng)時(shí)滿足，則必有（

）A. B.C. D.2.已知函數(shù)，，，，則（）A. B.C. D.3.三棱錐P-ABC中，是邊長(zhǎng)為3的正三角形，，.則三棱錐P-ABC的體積最大為（

）A. B. C. D.4.已知均為鈍角，，且，則（

）A. B. C. D.5.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A.120 B.80 C.60 D.406.已知，則滿足的有序數(shù)組共有（）個(gè)A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且，則的最小值為（

）A. B. C. D.8.若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A.28 B.29 C.30 D.31二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.9.已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.函數(shù)的最大值為2B.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到C.函數(shù)的對(duì)稱軸為D.，，使得且10.已知曲線C的方程為，則（

）A.曲線C可以表示圓 B.曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線11.某同學(xué)在研究“有一個(gè)角為的三角形中，如果這個(gè)角的正弦值或余弦值恰好是另外兩個(gè)角的正弦值或余弦值的等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)，那么該三角形是否為等邊三角形”的問(wèn)題中，得出以下結(jié)論，其中正確的是（

）A.若這個(gè)角的正弦值是另外兩個(gè)角正弦值的等差中項(xiàng)，則該三角形為等邊三角形B.若這個(gè)角的余弦值是另外兩個(gè)角余弦值的等差中項(xiàng)，則該三角形不一定是等邊三角形C.若這個(gè)角的正弦值是另外兩個(gè)角正弦值的等比中項(xiàng)，則該三角形不一定是等邊三角形D.若這個(gè)角的余弦值是另外兩個(gè)角余弦值的等比中項(xiàng)，則該三角形是等邊三角形三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），記對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值________.13.已知A為圓上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.14.對(duì)于定義在非空集上的函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)，有，則稱函數(shù)為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域，則在滿足這樣條件的所有函數(shù)中，為“準(zhǔn)單調(diào)遞增函數(shù)”的概率是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，證明：.16.（15分）所有棱長(zhǎng)均為3的三棱柱中，平面平面，D，E分別在棱，上，滿足，，且.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.17.（15分）已知橢圓與經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的一條直線交于兩點(diǎn).(1)若為右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)；(2)若直線的傾斜角為，求線段的長(zhǎng).18.（17分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，其中.19.（17分）已知函數(shù)與，其中是偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的定義域；（3）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】由，得當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)不單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)不單調(diào)遞增，則；由不等式的性質(zhì)得：.故選：C2.【答案】B【解析】由題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，∵，且，∴.故選：B3.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以P在過(guò)C點(diǎn)且與BC垂直的平面上，過(guò)A作l得垂線段交l于點(diǎn)，則，且，因?yàn)椋訮點(diǎn)在以為底面圓心的圓周上，如圖，且，由圖可知P到底面ABC的最大高度為，所以三棱錐體積最大值為：.故選：C.4.【答案】C【解析】，即，得，由，且均為鈍角，所以，，，由，所以，所以.故選：C5.【答案】A【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，而，對(duì)于，令，易知無(wú)整數(shù)解，所以其展開式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)；對(duì)于，由，解得，常數(shù)項(xiàng)為；對(duì)于，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為.故的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.6.【答案】A【解析】所有有序數(shù)組中,滿足的有序數(shù)組中包含個(gè)0，另外兩個(gè)數(shù)在或中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，由乘法計(jì)數(shù)原理得不同的種數(shù)為故選：A.7.【答案】B【解析】由題意數(shù)列滿足，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，而，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的最小值為5.故選：B.8.【答案】A【解析】由題意，即，所以，而，所以，由題意令，而是單調(diào)遞增的，且發(fā)現(xiàn)，，所以滿足不等式的最大正整數(shù)為28.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.9.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的最大值為2，A正確，對(duì)于B，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得，B正確，對(duì)于C，令,可得，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，取，滿足，，D正確.故選：ABD10.【答案】CD【解析】若曲線C表示圓，則，解得，則曲線C的方程為，無(wú)意義，A不正確；若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，不等式無(wú)解，B不正確；若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，C正確；若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則解得，D正確.故選：CD11.【答案】AD【解析】不妨設(shè)，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，即，且，可得，則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，且，可得，則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋瑒t，可得，整理得，且，可得，則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，可得，整理得，且，可得，則，所以，可知該三角形是等邊三角形，故D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【解析】設(shè)，，,即，化簡(jiǎn)整理可得，復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為，故答案為：13.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則圓關(guān)于對(duì)稱的圓的方程為，要使的值最小，則（其中為關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的點(diǎn)）三點(diǎn)共線，且該直線過(guò)兩點(diǎn)，其最小值為.故答案為：14.【答案】【解析】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t有1個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)閱卧氐暮瘮?shù)有3個(gè)，若值域?yàn)?，將定義域中的元素分組為3,3，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,4，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,5，則有個(gè)函數(shù)，則共有個(gè)函數(shù)，所以值域?yàn)殡p元素的函數(shù)共有個(gè)函數(shù)；若值域?yàn)椋瑢⒍x域中的元素分組為1,2,3，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為2,2,2，則有個(gè)函數(shù)，將定義域中的元素分組為1,1,4，則有個(gè)函數(shù)，則共有個(gè)函數(shù)，綜上可知，共有個(gè)函數(shù)，其中，若函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)值域?yàn)閱卧丶?，?個(gè)函數(shù)，滿足條件，當(dāng)值域有2個(gè)元素，將元素1,2,3,4,5,6中間隔1塊板，有5種方法，則有個(gè)函數(shù)，若值域有3個(gè)元素，則將元素1,2,3,4,5,6中間隔2塊板，有種方法，即有10個(gè)函數(shù)，綜上可知，為增函數(shù)的函數(shù)有個(gè)函數(shù)，所以為增函數(shù)的概率.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設(shè)，，則，解得，所以.故，當(dāng)時(shí)，，又，故作差得，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，故16.（15分）【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，則由為正三角形可知，，又平面平面，且為交線，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，所以，且，又，所以，即為平面四邊形，在中?作交于，由（1）知，平面，且，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以,設(shè)平面，平面的法向量分別為，則，令，則，由，令，則，則，所以二面角的余弦值為.17.（15分）【答案】(1)8(2)【解析】（1）由題意，由橢圓定義有，所以的周長(zhǎng)為.（2）設(shè)，由題意直線的斜率為，，即，所以直線的方程為，將它與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡(jiǎn)整理得，顯然，由韋達(dá)定理得，所以線段的長(zhǎng)為.18.（17分）【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)由，可得，兩式相減得，即，則，兩式相減得，即，所以為等差數(shù)列，又因?yàn)椋獾?，又由，可得，所以?shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，所以的通項(xiàng)為.(2)因?yàn)椋栽坏仁娇苫癁?，，以下用?shù)學(xué)歸納法證明：①時(shí)，顯然成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則當(dāng)時(shí)，只需證，只需證，只需證，只需證，取，可得，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋猿闪?，所以成?綜上所述，成立.19.（17分）【答案】（1）；（2）分類討論，答案見解析；（3）.【解析】（1）∵是偶函數(shù)，∴，∴，∴，∴，即對(duì)一切恒成立，∴；

（2）要使函數(shù)有意義，需，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，