第頁(yè)，共頁(yè)新泰中學(xué)2024級(jí)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法得到代數(shù)形式，即可求解；詳解】由，可得：，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：B2.已知向量，滿足，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標(biāo)為故選：B.3.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理化角為邊化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合余弦定理求即可.【詳解】由正弦定理和，可得，所以，所以，由余弦定理，可得，因?yàn)?，所?故選：B4.如圖是水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖，且軸，軸，則原四邊形的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，把直觀圖還原出原平面圖形，再求出原平面圖形的面積，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)橹庇^圖中，軸，軸，所以四邊形是一個(gè)上底為，下底為，高為的直角梯形，則原四邊形的面積．故選：C．5.已知，，，則（）三點(diǎn)共線A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量共線定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A、B、D三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以不存在，使得，所以A、B、C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以不存在，使得，所以B、C、D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以不存在，使得，所以A、C、D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：A.6.已知圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)，高是底面半徑的倍，點(diǎn)，是底面圓周上的兩點(diǎn)，當(dāng)是等邊三角形時(shí)面積為，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是等邊三角形時(shí)面積為求得母線，再由高是底面半徑的倍，求得底面半徑，然后由圓錐的側(cè)面積公式求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為h，母線為l，底面半徑為r，則由題意得h=r，，所以，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，故選；D7.如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，，則的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及數(shù)乘的幾何意義得，再由向量共線的結(jié)論有，最后應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值.【詳解】由題意，，又共線，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為9.故選：C8.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若為銳角三角形，，且，求面積的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意得出；再利用正弦定理、三角恒等變換和同角三角函數(shù)基本關(guān)系對(duì)三角形面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形得出；最后結(jié)合即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，所?又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得.又因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，由三角形面積公式可得：.又因?yàn)?，所以，則.故，即.所以面積的取值范圍是.故選：B.二、多選題9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中不正確的是（）A.已知，均為非零向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B.若向量，共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上C.若點(diǎn)為的重心，則D.若且，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由平面向量共線定理判斷；對(duì)于B，舉例判斷；對(duì)于C，由三角形重心的性質(zhì)判斷；對(duì)于D，舉例判斷【詳解】解：對(duì)于A，由平面向量共線定理可知是正確的，所以A正確；對(duì)于B，如圖在平行四邊形中，，共線，但點(diǎn)，，，不共線，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，延長(zhǎng)交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以,，所以，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，但不一定相等，所以D錯(cuò)誤，故選：BD10.如圖，在正方體中，M，N分別為棱的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有（

）A.直線與是相交直線 B.直線與是異面直線C.與平行 D.直線與共面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)異面直線的概念結(jié)合正方體性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)直線的平行的判定可判斷C；利用四點(diǎn)共面可判斷D.【詳解】對(duì)于A，三點(diǎn)在平面內(nèi)，M點(diǎn)不在直線上，A點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三點(diǎn)在平面內(nèi)，不在直線上，M點(diǎn)不在平面內(nèi)，可得直線與是異面直線，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)E，連接，又N為的中點(diǎn)，則有，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，則與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，因?yàn)镸，N分別為棱的中點(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知：，所以，則有四點(diǎn)共面，所以直線與共面，故D正確.故選：BD.11.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.取值范圍為C.的最小值為D.的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理角化邊得，結(jié)合余弦定理和二倍角公式可得，可判斷A；根據(jù)三個(gè)角為銳角列不等式組，求解可判斷B；利用商數(shù)關(guān)系和和差公式，結(jié)合化簡(jiǎn)，運(yùn)用基本不等式可判斷C；邊化角，利用二倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合角A的范圍可判斷D.【詳解】對(duì)A，由正弦定理角化邊得，由余弦定理有，，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以所以所以,所以，故A正確；對(duì)B，由上知，，因?yàn)闉殇J角三角形，解得所以，故B正確；對(duì)C，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，得因?yàn)椋?，所以等?hào)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)樗运运约垂蔇正確.故選：ABD.三、填空題12.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，，若三角形有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理整理可得，構(gòu)建，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布運(yùn)算求解.【詳解】由余弦定理可得，即，整理可得，構(gòu)建，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn).則的最小值為_(kāi)_________【答案】【解析】【分析】將側(cè)面沿展開(kāi)，使得側(cè)面與側(cè)面在同一平面內(nèi)，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間線段最短可求得答案.【詳解】解：將側(cè)面沿展開(kāi)，使得側(cè)面與側(cè)面在同一平面內(nèi)，如圖，連接交于，則的最小值為此時(shí)的，，的最小值為.故答案：.14.如圖，在四邊形中，已知，點(diǎn)在邊上，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】解法一，設(shè)，運(yùn)用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算可得，（），轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值即可，解法二、解法三，建立不同平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解法一：由，，得，所以，，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.解法二：由，得，所以，，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以.設(shè)，則，所以，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.解法三：由，得，所以，，，如圖，分別以所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則.因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值故答案為：.15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，A1A的中點(diǎn)．求證：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）取BB1的中點(diǎn)M，連接MH，MC1，得HD1∥MC1，再證得MC1∥BF，可得結(jié)論；（2）取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，先證明與平行且相等，可得GE∥D1O，從而可得線面平行．【詳解】證明：（1）如圖所示，取BB1的中點(diǎn)M，連接MH，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，所以HD1∥MC1．又因?yàn)樵谄矫鍮CC1B1中，BMFC1，BM=FC1所以四邊形BMC1F為平行四邊形，所以MC1∥BF，所以BF∥HD1．（2）取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，則OE∥DC且OE＝DC，又D1G∥DC且D1G＝DC，所以O(shè)ED1G，OE=D1G所以四邊形OEGD1是平行四邊形，所以GE∥D1O．又D1O?平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查證明線線平行與線面平行，解題關(guān)鍵是掌握線面平行的判定定理，解題時(shí)需要列出定理的所有條件，缺一不可，否則易出現(xiàn)錯(cuò)誤．16.已知向量，向量與向量的夾角為，且.（1）求向量；（2）設(shè)向量，向量，其中，若，試求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)向量=（x，y），由已知中向量=（1，1），向量與向量夾角為，且=﹣1．根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得到關(guān)于x，y的方程組，解方程可得向量的坐標(biāo)；（2）由向量=（1，0）向量，其中(，)，其中，，若＝0，我們可以求出2的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)向量=（x，y），∵向量=（1，1），則=x+y=﹣1…①=||?||?cos=﹣1，即x2+y2=1解得x=0，y=﹣1或x=﹣1，y=0故=（﹣1，0），或=（0，﹣1），（2）∵向量=（1，0），⊥，則=（0，﹣1），又∵向量=（cosx，cos2（﹣）），∴+=（cosx，cos2（﹣）﹣1）=（cosx，），則|+|2=cos2x+=cos2x-sinx+=-，∵，，，|+|2故|+|≤【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的綜合題，其中熟練掌握平面向量的數(shù)量積公式，模的計(jì)算公式，最后轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在上求最值是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；【小問(wèn)2詳解】由正弦定理得：，則，則，.18.如圖，在梯形中，已知，，，點(diǎn)、分別在直線和上，且，，連接交于點(diǎn)．（1）設(shè)，用和表示，并求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求，結(jié)合向量共線的結(jié)論求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（3）求得，根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，則，可得，設(shè)，可得，解得，所以，若，且三點(diǎn)共線，則，可得，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，若，則，解得.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為.19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是三角形內(nèi)部與其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．已知中，角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)是的“費(fèi)馬點(diǎn)”．（1）求角；（2）若，求的周長(zhǎng)；（3）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理將題目中的條件.轉(zhuǎn)換成僅含有角關(guān)系，再利用輔助角公式求解即可；