11年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十四講函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系學(xué)生版知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系(1)一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式是一個(gè)方程.

(2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的根.

(3)一次函數(shù)y=k1x+b1與一次函數(shù)y=k2x+b2的圖象的坐標(biāo)就是方程組y=k11.(1)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則關(guān)于x的方程ax+b=0的解為()A.1 B.-1 C.2 D.-2(2)如圖,直線y=2x與y=kx+b相交于點(diǎn)P(1,2),則關(guān)于x的方程kx+b=2x的解是.

2.一次函數(shù)與不等式的關(guān)系(1)直線y=kx+b在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是不等式的解集.

(2)直線y=kx+b在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是不等式的解集.

(3)直線l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,當(dāng)直線l1在直線l2上方時(shí),y1y2;

當(dāng)直線l1在直線l2下方時(shí),y1y2.

2.如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于點(diǎn)A(m,2),則關(guān)于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集為.

3.反比例函數(shù)與不等式反比例函數(shù)y1=k1x與一次函數(shù)y2=k2x+b(1)y1>y2或k1x>k2x+b的解集:(2)y1<y2或k1x<k2x+b的解集:3.如圖,一次函數(shù)y1=x-1的圖象與反比例函數(shù)y2=kx的圖象交于點(diǎn)A(2,m),B(n,-2),當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍是A.x<-1或x>2B.x<-1或0<x<2C.-1<x<0或0<x<2D.-1<x<0或x>2續(xù)表知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與方程的關(guān)系(1)當(dāng)y=0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)①b2-4ac>0?拋物線與x軸有個(gè)交點(diǎn);

②b2-4ac=0?拋物線與x軸有且只有個(gè)交點(diǎn);

③b2-4ac<0?拋物線與x軸有個(gè)交點(diǎn).

4.(1)若二次函數(shù)y=x2-(m-1)x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x=0的根為.

(2)函數(shù)y=kx2+x+1(k為常數(shù))的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),則k的值為145.二次函數(shù)與含a,b,c不等式的關(guān)系(1)不等式ax2+bx+c>0的解集?拋物線位于上方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

(2)不等式ax2+bx+c<0的解集?拋物線位于下方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=kx+m相交:①ax2+bx+c<kx+m?二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象;

②ax2+bx+c>kx+m?二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象.

5.如圖,二次函數(shù)y1=x2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+n的圖象相交于A,B兩點(diǎn),則不等式x2+bx+c<mx+n的解為.

考點(diǎn)1一次函數(shù)與方程、不等式【例1】(2024·廣東中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數(shù)y=kx+b的圖象大致是()【變式訓(xùn)練】1.(2024·揚(yáng)州中考)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象分別與x,y軸交于A,B兩點(diǎn),若OA=2,OB=1,則關(guān)于x的方程kx+b=0的解為.

2.(2024·呼倫貝爾中考)點(diǎn)P(x,y)在直線y=-34x+4上,坐標(biāo)(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,則點(diǎn)P的位置在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限考點(diǎn)2反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式【例2】(2023·內(nèi)蒙古中考)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與雙曲線y=kx(k≠0)交于點(diǎn)A(-2,4)和點(diǎn)B(m,-2),則不等式0<ax+b<kxA.-2<x<4B.-2<x<0C.x<-2或0<x<4D.-2<x<0或x>4【方法技巧】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式解集確定方法1.確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.2.圖象在上方的函數(shù)值大.3.兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線x=x1和x=x2(與y軸),將圖象分為幾部分,根據(jù)劃分區(qū)域,寫出解集范圍.提醒:有時(shí)不等式組的解集有兩部分,容易漏寫其一;同時(shí)兩個(gè)解集應(yīng)用“或”字連接,而非“且”.【變式訓(xùn)練】(2024·威海中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y1=ax+b(a≠0)與雙曲線y2=kx(k≠0)交于點(diǎn)A(-1,m),B(2,-1).則滿足y1≤y2的x的取值范圍考點(diǎn)3二次函數(shù)與方程、不等式【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的有()A.2a+b>0 B.abc>0C.4a-2b+c>0 D.a+c>0【思路點(diǎn)撥】利用拋物線開口方向得a<0,利用對(duì)稱軸方程得0<b<-2a,利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得c>0,再根據(jù)當(dāng)x=-2時(shí),y<0等可以判斷出答案.【方法技巧】二次函數(shù)的圖象與方程、不等式的關(guān)系1.ax2+bx+c=m(a≠0)?二次函數(shù)y=ax2+bx+c在函數(shù)值y=m時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.2.ax2+bx+c>m(a≠0)?拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m上方對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.3.ax2+bx+c<m(a≠0)?拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m下方對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.4.二次函數(shù)與系數(shù)a,b,c相關(guān)的不等式.【變式訓(xùn)練】1.(2024·福建模擬)如圖是二次函數(shù)y=-x2+2x+4的圖象,使y≥1成立的x的取值范圍是()A.-1≤x≤3 B.x≥-1C.x≥1 D.x≤-1或x≥32.(2024·德陽中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-13,n),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間,則以下結(jié)論:①abc>0;②5b+2c<0;③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-6,y1),(5,y2),則y1>y2;④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=4無實(shí)數(shù)根,則n<4.其中正確結(jié)論是(請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào))考點(diǎn)4二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例4】(教材原題·湘教版九年級(jí)下冊(cè)·P28T4)當(dāng)t取什么值時(shí),拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)?【思路點(diǎn)撥】當(dāng)拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),則Δ=b2-4ac=0,即可求解.【方法技巧】拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系1.由Δ=b2-4ac與0的大小關(guān)系,可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),可得相關(guān)字母系數(shù)的不等式.【變式訓(xùn)練】1.拋物線y=x2-2x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.無交點(diǎn)B.1C.2D.32.(2024·遼寧中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),若點(diǎn)C(2,3)在拋物線上,則AB的長(zhǎng)為.

1.(2023·衡陽中考)已知m>n>0,若關(guān)于x的方程x2+2x-3-m=0的解為x1,x2(x1<x2),關(guān)于x的方程x2+2x-3-n=0的解為x3,x4(x3<x4).則下列結(jié)論正確的是()A.x3<x1<x2<x4 B.x1<x3<x4<x2C.x1<x2<x3<x4 D.x3<x4<x1<x22.(2023·郴州中考)已知拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),則m=.

3.(2022·岳陽中考)如圖,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)與正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(-1,2)和點(diǎn)B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),連接AC,(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)求△ABC的面積;(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出不等式kx<mx的解集4.(2024·長(zhǎng)沙中考)已知四個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的圖象上.(1)當(dāng)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,-4),(3,4)時(shí),求代數(shù)式2024a+1012b+37(2)當(dāng)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0時(shí),請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;(3)當(dāng)a>0時(shí),該函數(shù)圖象與x軸交于E,F兩點(diǎn),且A,B,C,D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足:2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0,2a2-2(y3+y4)a+y32+y42=0.請(qǐng)問是否存在實(shí)數(shù)m(m>1),使得AB,CD,m·EF這三條線段組成一個(gè)三角形,且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1∶2∶3?若存在,求出m的值和此時(shí)函數(shù)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由(注:m2025年湖南省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十四講函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系教師版知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)1.一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系(1)一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式是一個(gè)二元一次方程.

(2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程kx+b=0的根.

(3)一次函數(shù)y=k1x+b1與一次函數(shù)y=k2x+b2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組y=k11.(1)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則關(guān)于x的方程ax+b=0的解為(A)A.1 B.-1 C.2 D.-2(2)如圖,直線y=2x與y=kx+b相交于點(diǎn)P(1,2),則關(guān)于x的方程kx+b=2x的解是x=1.

2.一次函數(shù)與不等式的關(guān)系(1)直線y=kx+b在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是不等式kx+b>0的解集.

(2)直線y=kx+b在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是不等式kx+b<0的解集.

(3)直線l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2,當(dāng)直線l1在直線l2上方時(shí),y1>y2;

當(dāng)直線l1在直線l2下方時(shí),y1<y2.

2.如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于點(diǎn)A(m,2),則關(guān)于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集為x≤1.

3.反比例函數(shù)與不等式反比例函數(shù)y1=k1x與一次函數(shù)y2=k2x+b(1)y1>y2或k1x>k2x+b的解集:x<n或0<x<(2)y1<y2或k1x<k2x+b的解集:n<x<0或x>3.如圖,一次函數(shù)y1=x-1的圖象與反比例函數(shù)y2=kx的圖象交于點(diǎn)A(2,m),B(n,-2),當(dāng)y1>y2時(shí),xA.x<-1或x>2B.x<-1或0<x<2C.-1<x<0或0<x<2D.-1<x<0或x>2續(xù)表知識(shí)要點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練習(xí)4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與方程的關(guān)系(1)當(dāng)y=0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)①b2-4ac>0?拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);

②b2-4ac=0?拋物線與x軸有且只有1個(gè)交點(diǎn);

③b2-4ac<0?拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn).

4.(1)若二次函數(shù)y=x2-(m-1)x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x=0的根為0或4.

(2)函數(shù)y=kx2+x+1(k為常數(shù))的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn),則k的值為0或145.二次函數(shù)與含a,b,c不等式的關(guān)系(1)不等式ax2+bx+c>0的解集?拋物線位于x軸上方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

(2)不等式ax2+bx+c<0的解集?拋物線位于x軸下方對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一次函數(shù)y=kx+m相交:①ax2+bx+c<kx+m?二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方;

②ax2+bx+c>kx+m?二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方.

5.如圖,二次函數(shù)y1=x2+bx+c與一次函數(shù)y2=mx+n的圖象相交于A,B兩點(diǎn),則不等式x2+bx+c<mx+n的解為-1<x<3.

考點(diǎn)1一次函數(shù)與方程、不等式【例1】(2024·廣東中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數(shù)y=kx+b的圖象大致是(B)【變式訓(xùn)練】1.(2024·揚(yáng)州中考)如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象分別與x,y軸交于A,B兩點(diǎn),若OA=2,OB=1,則關(guān)于x的方程kx+b=0的解為x=-2.

2.(2024·呼倫貝爾中考)點(diǎn)P(x,y)在直線y=-34x+4上,坐標(biāo)(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,則點(diǎn)PA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限考點(diǎn)2反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式【例2】(2023·內(nèi)蒙古中考)如圖,直線y=ax+b(a≠0)與雙曲線y=kx(k≠0)交于點(diǎn)A(-2,4)和點(diǎn)B(m,-2),則不等式0<ax+b<kA.-2<x<4B.-2<x<0C.x<-2或0<x<4D.-2<x<0或x>4【方法技巧】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的不等式解集確定方法1.確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.2.圖象在上方的函數(shù)值大.3.兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線x=x1和x=x2(與y軸),將圖象分為幾部分,根據(jù)劃分區(qū)域,寫出解集范圍.提醒:有時(shí)不等式組的解集有兩部分,容易漏寫其一;同時(shí)兩個(gè)解集應(yīng)用“或”字連接,而非“且”.【變式訓(xùn)練】(2024·威海中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y1=ax+b(a≠0)與雙曲線y2=kx(k≠0)交于點(diǎn)A(-1,m),B(2,-1).則滿足y1≤y2的x的取值范圍-1≤x<0或x≥2考點(diǎn)3二次函數(shù)與方程、不等式【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論正確的有(D)A.2a+b>0 B.abc>0C.4a-2b+c>0 D.a+c>0【思路點(diǎn)撥】利用拋物線開口方向得a<0,利用對(duì)稱軸方程得0<b<-2a,利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得c>0,再根據(jù)當(dāng)x=-2時(shí),y<0等可以判斷出答案.【方法技巧】二次函數(shù)的圖象與方程、不等式的關(guān)系1.ax2+bx+c=m(a≠0)?二次函數(shù)y=ax2+bx+c在函數(shù)值y=m時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.2.ax2+bx+c>m(a≠0)?拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m上方對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.3.ax2+bx+c<m(a≠0)?拋物線y=ax2+bx+c在直線y=m下方對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.4.二次函數(shù)與系數(shù)a,b,c相關(guān)的不等式.【變式訓(xùn)練】1.(2024·福建模擬)如圖是二次函數(shù)y=-x2+2x+4的圖象,使y≥1成立的x的取值范圍是(A)A.-1≤x≤3 B.x≥-1C.x≥1 D.x≤-1或x≥32.(2024·德陽中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-13,n),與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間,則以下結(jié)論:①abc>0;②5b+2c<0;③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-6,y1),(5,y2),則y1>y2;④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=4無實(shí)數(shù)根,則n<4.其中正確結(jié)論是①②④(請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào))考點(diǎn)4二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例4】(教材原題·湘教版九年級(jí)下冊(cè)·P28T4)當(dāng)t取什么值時(shí),拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)?【思路點(diǎn)撥】當(dāng)拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),則Δ=b2-4ac=0,即可求解.【自主解答】由題意得:Δ=b2-4ac=(4t)2-4×5×(t2-1)=0,解得t=±5∴t=-5或5時(shí),拋物線y=5x2+4tx+t2-1與x【方法技巧】拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系1.由Δ=b2-4ac與0的大小關(guān)系,可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù),可得相關(guān)字母系數(shù)的不等式.【變式訓(xùn)練】1.拋物線y=x2-2x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)A.無交點(diǎn)B.1C.2D.32.(2024·遼寧中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),若點(diǎn)C(2,3)在拋物線上,則AB的長(zhǎng)為4.

1.(2023·衡陽中考)已知m>n>0,若關(guān)于x的方程x2+2x-3-m=0的解為x1,x2(x1<x2),關(guān)于x的方程x2+2x-3-n=0的解為x3,x4(x3<x4).則下列結(jié)論正確的是(B)A.x3<x1<x2<x4 B.x1<x3<x4<x2C.x1<x2<x3<x4 D.x3<x4<x1<x22.(2023·郴州中考)已知拋物線y=x2-6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),則m=9.

3.(2022·岳陽中考)如圖,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)與正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(-1,2)和點(diǎn)B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),連接AC,(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)求△ABC的面積;(3)請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出不等式kx<mx的解集【解析】(1)把點(diǎn)A(-1,2)代入y=kx(k≠0)得2=k-1,∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-2x(2)∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)與正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點(diǎn)A(-1,2)和點(diǎn)B,∴B(1,-2),∵點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),∴C(1,2),∴AC∴S△ABC=12×2×(2+2)=4(3)根據(jù)圖象得:不等式kx<mx的解集為x<-1或0<x<14.(2024·長(zhǎng)沙中考)已知四個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的圖象上.(1)當(dāng)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,-4),(3,4)時(shí),求代數(shù)式2024a+1012b+37(2)當(dāng)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0時(shí),請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;(3)當(dāng)a>0時(shí),該函數(shù)圖象與x軸交于E,F兩點(diǎn),且A,B,C,D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足:2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0,2a2-2(y3+y4)a+y32+y42=0.請(qǐng)問是否存在實(shí)數(shù)m(m>1),使得AB,CD,m·EF這三條線段組成一個(gè)三角形,且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1∶2∶3?若存在,求出m的值和此時(shí)函數(shù)的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由(注:m【解析】(1)將A(-1,-4),B(3,4)代入y=ax2+bx+c得a-②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.所以2024a+1012b+37=1012(2a+b)+37=2024(2)此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)有兩個(gè).方法1:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0.可得y1=-a2或y2=-a當(dāng)a>0時(shí),-a2<0,此拋物線開口向上,而A,B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的下方,此時(shí)該函數(shù)圖象與x當(dāng)a<0時(shí),-a2>0,此拋物線開口向下,而A,B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的上方,此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)綜上所述,此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).方法2:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0.可得y1=-a2或y2=-a所以拋物線上存在縱坐標(biāo)為-a2的點(diǎn),即一元二次方程ax2+bx+c=-a2所以該方程根的判別式Δ=b2-4a(c+a2)≥0,即b2-4ac≥2a2.因?yàn)閍≠0,所以b2-4ac>0所以原函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn).方法3:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,可得y1=-a2或y2=-a當(dāng)y1=-a2時(shí),有ax12+bx1+c=-a2,即ax1