專題強化十八動態(tài)圓

學習目標1.進一步理解帶電粒子在有界磁場中運動的臨界極值問題。2.會用

“平移圓”“旋轉圓”“放縮圓”找出對應的臨界狀態(tài)或極值的軌跡。3.理解

“磁聚焦”和“磁發(fā)散”模型。

考點一“平移圓”模型

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直

線上的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運

動的半徑相同，若入射速度大小為闔，則半徑也，如

qB

適用條件

圖所示

XXXXXXX

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，

軌跡圓圓心共線

該直線與入射點的連線平行

將半徑為火=加”的圓進行平移,從而探索粒子的臨界條

界定方法qB

件，這種方法叫“平移圓”法

例1如圖1所示，在x°v平面的I、IV象限內有一圓心為。、半徑為R的半圓

形勻強磁場，線狀粒子源從y軸左側平行于x軸正方向不斷射出質量為機、電荷

量為小速度大小為4的帶正電粒子。磁場的磁感應強度大小為絲、方向垂直

2qR

平面X0向里。不考慮粒子間的相互作用，不計粒子受到的重力。所有從不同位

置進入磁場的粒子中，在磁場中運動的時間最長為（）

y

x'、、

XX文

XXXI

XXX*X

oI

XX

X

圖1

nRnR

A.——B.一

6K)4p&

nRJiR

c.一D.

3k52

答案c

一味一

解析粒子在磁場中做勻速圓周運動，有］45=機一，解得r=2R,如圖所示,

r

當粒子在磁場中的運動軌跡對應的圓心角最大時，粒子在磁場中運動的時間最長，

由于sina=￡^,要使圓心角a最大，尸￡最長，經分析可知，當粒子從y軸上的。

r

點射入、從x軸上的點射出磁場時，粒子在磁場中運動的時間最長，有sinam

=-,解得am=7,從。點射入磁場的粒子在磁場中運動的時間最長，且加=

r6

71

兀R一A

A'—,解得/m=——，故C正確。

2兀飲)34

7"

3

隨

A

F又乂斗E

D5T5TX^

二o

XX彳

X

考點二“旋轉圓”模型

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時，

它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為闔，則

適用圓周運動軌跡半徑為氏=嗎，如圖所示

qB

條件

p

XXX~-x.XX

XX

XX2KO4工X

軌跡圓

KI

圓心共

XXK

圓XXyx7xx

如圖，帶電粒子在磁場中做勻速￡11周運動的J圓心在以入射點尸為圓心、

半徑火=”的圓上

qB

界定方將一半徑為R=”的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索出臨界條

qB

法

件，這種方法稱為“旋轉圓”法

例2（多選）如圖2所示，在直角坐標系xOv第一象限內x軸上方存在磁感應強度

大小為8、方向垂直紙面向里的勻強磁場，在了軸上S處有一粒子源，它可向右

側紙面內各個方向射出速率相等的質量大小均為機、電荷量大小均為q的同種帶

電粒子，所有粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的尸點。已知粒子帶負電,

op=\bos=gd,粒子重力及粒子間的相互作用均不計，則（）

y

XXX

XXX

XX

S、r

X

XX、王

O|P

圖2

A.粒子的速度大小為皿

m

B.從。點射出的粒子在磁場中的運動時間為出

qB

C.從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間之比為9：2

D.沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到。點的距離為《

答案AC

解析粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的尸點，可以畫出其軌跡1,可

知S尸為直徑，由幾何關系得（2&2=/+（市42,得到R=d,由洛倫茲力提供向

心力得q出=也則刎，故A正確；運動周期7=々詈，由幾何知識可得，

RmqB

從。點射出的粒子的運動軌跡如軌跡3,軌跡所對的圓心角為60。，在磁場中的

運動時間/=17=迎，故B錯誤；從x軸上射出磁場的粒子運動時間最長時運動

63qB

軌跡與x軸相切的粒子（軌跡2）,對應的圓心角為270。，得力=：7,運動時間最短

的粒子為從原點飛出的粒子（軌跡3）,運動時間為所以a=?,故C正確;

6ti2

沿平行X軸正方向射入的粒子，圓心在原點處，運動軌跡為四分之一圓，離開磁

場時的位置到。點的距離為d,故D錯誤。

考點三“放縮圓”模型

粒子源發(fā)射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁場中做勻

適用條件

速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化

帶正電粒子速度，越大，運動半徑也越大。運動軌跡的圓心在

垂直初速度方向的直線PP上

軌跡圓圓心P'

XX

八/\

共線X；X、券-、X\X

X：X/祗。/X

,、；O：、、駛

x*、J'、二x二x二二Px

XXV'_xXX

以入射點尸為定點，圓心位于尸P直線上，將半徑放縮作軌跡

界定方法

圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

例3（多選）如圖3所不，正方形abed區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，。點

是cd邊的中點。若一個帶正電的粒子（重力忽略不計）從。點沿紙面以垂直于cd

邊的某一速度射入正方形內，經過時間加剛好從c點射出磁場?，F(xiàn)設法使該帶電

粒子從。點沿紙面以與成30。角的方向，以各種不同的速率射入正方形內，

那么下列說法正確的是（）

圖3

A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點射出磁場

B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間可能是/o

C.若該帶電粒子從be邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間可能是-t

20

D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間一定是$）

答案AD

解析由帶電粒子以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內，經過時間/0剛好從C

點射出磁場，可知帶電粒子的運動周期7=2/0。該粒子從。點以與Od成30。角的

方向射入磁場，隨著粒子速度逐漸增大，軌跡由①一②一③一④依次漸變，由圖

可知粒子在四個邊射出時，射出范圍分別為。G、FE、DC、氏4之間，不可能從

四個頂點射出，故A正確；由圖可知，從4邊射出的粒子所用時間不可能為力,

從根邊射出的粒子所用時間不超過-71=—,所有從cd邊射出的粒子圓心角都是

33

300°,所用時間為￥=當，故B、C錯誤，D正確。

63

cFE7

考點四“磁聚焦”與“磁發(fā)散”模型

磁發(fā)散磁聚焦

帶電粒子從圓形有界勻強磁場帶電粒子平行射入圓形有界勻強磁場，

邊界上同一點射入，如果軌跡半如果軌跡半徑與磁場半徑相等，則粒子

徑與磁場半徑相等，則粒子出射從磁場邊界上同一點射出，該點切線方

方向與入射點的切線方向平行向與入射方向平行

x______x

P家匚二二二x）

也h-

例4（多選）利用磁聚焦和磁控束可以改變一束平行帶電粒子的寬度，人們把此原

理運用到薄膜材料制備上，使芯片技術得到飛速發(fā)展。如圖4,寬度為ro的帶正

電粒子流水平向右射入半徑為H）的圓形勻強磁場區(qū)域，磁感應強度大小為Bo,這

些帶電粒子都將從磁場圓上。點進入正方形區(qū)域，正方形過。點的一邊與半徑為

ro的磁場圓相切。在正方形區(qū)域內存在一個面積最小的勻強磁場區(qū)域，使匯聚到

。點的粒子經過該磁場區(qū)域后寬度變?yōu)?r，且粒子仍沿水平向右射出，不考慮粒

子間的相互作用力及粒子的重力，下列說法正確的是（）

圖4

A.正方形區(qū)域中勻強磁場的磁感應強度大小為2Bo,方向垂直紙面向里

B.正方形區(qū)域中勻強磁場的磁感應強度大小為1瓦，方向垂直紙面向里

2

C.正方形區(qū)域中勻強磁場的最小面積為2（兀-?2）r§

D.正方形區(qū)域中勻強磁場的最小面積為—

2

答案BC

解析根據(jù)磁聚焦原理，粒子在半徑為ro的圓形磁場區(qū)域中運動，粒子運動的軌

跡半徑為ro,有qt^o=m—,解得為=——，要使匯聚到。點的粒子經正方形區(qū)域

roqro

內的磁場偏轉后寬度變?yōu)?為，且粒子仍沿水平向右射出，作出軌跡如圖所示，由

幾何關系可知粒子在正方形區(qū)域磁場中的軌跡半徑2ro,正方形中磁場區(qū)域內應該

握m1

為圓形磁場的一部分，有q㈤i=m——，解得81=---=-Bo,由左手定則可知，方

2ro2qro2

向垂直紙面向里，A錯誤，B正確；如圖所示，磁場區(qū)域的最小面積為Smin=2（兀

—2）ro,C正確，D錯誤。

IL跟蹤訓練

（多選）如圖5所示，扇形區(qū)域Z08內存在有垂直平面向里的勻強磁場，CM和08

互相垂直是扇形的兩條半徑，一個帶電粒子從Z點沿方向進入磁場，從8點

離開，若該粒子以同樣的速度從C點平行于Z。方向進入磁場，則（）

圖5

A.粒子帶正電

B.C點越靠近5點，粒子偏轉角度越大

C.C點越遠離B點，粒子運動時間越短

D.只要C點在Z8之間，粒子仍然從8點離開磁場

答案AD

解析由題意，粒子從Z點進入磁場從8點離開，由左手定則可知粒子帶正電，

故A正確；由題意知當粒子從Z點入射時，從8點離開磁場，則粒子做圓周運動

的半徑等于磁場圓弧區(qū)域的半徑，根據(jù)磁聚焦的原理，當入射方向平行時，這些

粒子將從同一點射出，如圖所示，從點Z、C、C、C2以相同的方向進入磁場，

則這些粒子從同一點5射出，從圖中看出，C點越靠近5點，偏轉角越小，時間

越短，離8點越遠，偏轉角越大，時間越長，故D正確，B、C錯誤。

■提升素養(yǎng)能力（限時:40分鐘）

1.（多選）如圖1所示，等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直紙面向里的勻強磁場，腰長

48=2m,。為5c的中點，磁感應強度8=0.25T,一群質量機=1XICTkg,電

荷量q=—2X1（T3c的帶電粒子以速度i/=5X103m/s垂直于8。，從8。之間射

入磁場區(qū)域，帶電粒子不計重力，則（）

圖1

A.在AC邊界上有粒子射出的長度為（也一l）m

BC點有粒子射出

C.在N8邊界上有粒子射出的長度為1m

D.磁場中運動時間最長粒子從底邊距8點（啦一l）m處入射

答案ACD

解析粒子在磁場中偏轉，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有*=4，粒子在磁場

ml/-73

中運動的軌道半徑為氏=絲=310一X5XIOm=lm,作出粒子在磁場中的運動

qB2X103x0.25

軌跡圖，如圖所示。由圖可知，能從ZC邊射出的粒子長度為?！?3氏一氏=（/一

l）m,故A正確；粒子不可能到達。點，故B錯誤；由圖可知，在Z8邊界上有

粒子射出的長度為8/=R=lm,故C正確；磁場中運動時間最長粒子運動半個

圓周，軌跡與48、NC相切，由圖可知從底邊距8點（旭一l）m處入射，故D正

確。

2.如圖2所不，在x軸的上方（yNO）存在著垂直于紙面向里的勻強磁場（未畫出），

磁感應強度大小為屏在原點。有一個離子源向x軸上方的各個方向發(fā)射出質量

為機、帶電荷量為q的正離子，速率都為對那些在X0平面內運動的離子,

A.————B.——

qBqBqBqB

2m/加，mZmV

C.————D.————

qBqBqBqB

答案A

解析若讓沿x軸正方向射出的離子的軌跡圓繞。點緩慢轉動（如圖所示），不難

2mtz2根（/

得出離y軸最遠為忖=2〃="竺，離％軸最遠為竺，所以A項正確。

qB

3.（多選）如圖3所示，在一等腰直角三角形ZCD區(qū)域內有垂直紙面向外的勻強磁

場，磁場的磁感應強度大小為8,一質量為機、電荷量為q的帶正電的粒子（重力

不計）從NC邊的中點。垂直于ZC邊射入該勻強磁場區(qū)域，若該三角形的兩直角

邊長均為2/,則下列關于粒子運動的說法正確的是（）

A

|\

匚點'、、

!???、

'?????

1、

l????????、

圖3

A.若該粒子的入射速度片型，則粒子一定從CD邊射出磁場，且距點C的距離

m

為/

B.若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從0點入射的最大速度應為,=

（旭+1）qBl

m

C.若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從。點入射的最大速度應為『也幽

m

D.當該粒子以不同的速度入射時，在磁場中運動的最長時間為皿

qB

答案ABD

解析若粒子射入磁場時速度片型，則由4團=也可得r=/,由幾何關系可

mr

Til（/

知，粒子一定從CD邊上距。點為/的位置離開磁場，A項正確；因為〃=一，

qB

所以『也，因此，粒子在磁場中運動的軌跡半徑越大，速度就越大，由幾何關

m

系可知，當粒子在磁場中的運動軌跡與三角形的幺。邊相切時，粒子的速度是從

CD邊射出的最大速度，此時粒子在磁場中做圓周運動的軌跡半徑r=（也+1）/,

故其最大速度片（也+1）qBl,B項正確，C項錯誤；粒子在磁場中的運動周

m

期7=9,故當粒子從三角形的ZC邊射出時，粒子在磁場中運動的時間最長，

qB

此時粒子做圓周運動的圓心角為180。，故最長時間/=型，D項正確。

qB

A

I7\Y

C-------——D

4.（多選）（2024?湖南婁底高三聯(lián)考）如圖4所示，坐標原點。有一粒子源，能向坐

標平面一、二象限內發(fā)射大量質量為優(yōu)、電荷量為q的正粒子（不計重力），所有

粒子速度大小相等。圓心在（0,R）,半徑為R的圓形區(qū)域內，有垂直于坐標平面

向外的勻強磁場，磁感應強度為8,磁場右側有一點9氏5M,已知初速度沿y

軸正向的粒子經過磁場后，粒子的速度方向沿x軸的正方向，則（）

?A

；B

X乙

Ox

圖4

A.初速度方向與x軸夾角為120。的粒子經過幺點

B.初速度方向與x軸夾角為135。的粒子經過Z點

C.經過Z點的粒子在磁場中運動時間為孫

3qB

D.經過/點的粒子在磁場中運動時間為啊

4qB

答案AC

解析初速度沿y軸正向的粒子經過磁場后，粒子的速度方向沿x軸的正方向,

則粒子的軌道半徑r=R,由1田=吆，可得粒子軌道半徑都為心結合題意和

r

幾何關系可知，平面一、二象限射入的粒子從磁場射出時，速度一定沿X軸正方

向，經過Z點的粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示，根據(jù)幾何關系有R+Rsin（a

—90。）=里，解得a=120。，故A正確，B錯誤；該粒子在磁場中的運動時間為/

=120:x27im=27rm故c正確，D錯誤。

360°qB3qB

5.如圖5所示，寬為d的混合粒子束由速率為3,、4,、5%的三種帶正電的離子組

成。所有離子的電荷量均為外質量均為相，當三種速率的離子水平向右進入勻

強磁場，磁場方向垂直紙面向外。在入口外，緊靠粒子束的下邊緣豎直放置一個

長度為2d的薄吞噬板兒W。忽略離子重力及離子間相互作用，若使這些離子都能

打到吞噬板兒W上，則磁感應強度大小的取值范圍是（）

___□....

混合?！?...

子束用二二M.???

吞噬板????

N????

圖5

5加/10加/6mz8mz

A.-----<B<-------B.——<B<——

qdqdqdqd

5mZ6ms8mZlOmZ

C.——<B<——D.——<B<-------

qdqdqdqd

答案C

解析由分析可知，粒子束上邊緣進入速率為％=3,的離子到達吞噬板上邊緣時,

半徑最小，磁感應強度最大，根據(jù)1%a=丁，由幾何關系得員=，，可得a=

——；粒子束下邊緣進入速率為4=5/的離子到達吞噬板下邊緣時，半徑最大，

qd

X5m/

磁感應強度最小，此時9吆&=加一，Rz=d,得&=---,所以磁感應強度大小

7?2qd

的取值范圍為5m/5＜之故C正確，A、B、D錯誤。

qdqd

6.(2024?浙江溫州模擬)如圖6所示，豎直平面內有一x0v平面直角坐標系，第一、

四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小記為8(8未知)。坐標

原點。處有一放射源，放射源可以源源不斷向一、四象限180。范圍內均勻地輻射

出質量為機、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板跖V,M

點坐標為(0,a),N點坐標為(0,2a),當輻射的離子速率為闔時離子打在收集板

上的位置最遠到N點,最近到河點。不計離子的重力及離子間的相互作用的影響，

求：

\y

2Q.NXxxx

aUM<xxx

XXXX

_X~X_

XXXX

XXXX

圖6

⑴恰好打到M點的離子在磁場中運動的時間；

(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。

na兀a2

答案2嬴⑵3

解析(1)由題意可知，沿x軸正方向出射的離子，經半圓到達N點，由此可得r

=a,可知通過河點的離子有兩個出射方向，如圖甲，一個軌跡轉過的圓心角為

60°,即另一個軌跡轉過的圓心角為300。，即/2=§7,離子做勻速圓周運

66

pm,271r—271a,兀。5兀。

動，周期T—,即T—,解付九=,%2=o

/3K)3K)

(2)如圖乙所示，由動態(tài)圓分析結果可知，能打到收集板上的離子分布在速度方向

與x軸正方向成60。角的范圍內，因為放射源均勻打出離子，因此打到收集板上

2

-

的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例為震3

180o

7.電子質量為加、電荷量為e,從坐標原點。處沿x0v平面射入第一象限，射入

時速度方向不同，速度大小均為外,如圖7所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且

垂直于X0平面的勻強磁場，磁感應強度為8