2024學(xué)年第二學(xué)期3月高二綜合測試

數(shù)學(xué)（試卷）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.

1.記S"為等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和，若2%+。8+%6=24,則與=（）

A.45B.90C.180D.240

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式求Su.

【詳解】由2。4+。8+弓6=24得，（%+?8）+（。4+46）=24,

整理得2a6+2/0=24,即4+4）=12,

所以、「5（笠&）=三％+〃）=90.

故選：B

2.”數(shù)列｛logs。/是等差數(shù)列”是“數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】若數(shù)列｛log34｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

貝|]]=1。834+1-10834=1。834紅，所以，嗅=3”,且對任意的“eN*，4〉。，

anan

所以，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

即“數(shù)列｛10g3%｝是等差數(shù)列”="數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列”；

另一方面，若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，不妨取％=-!（"WN*）,

則數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，但log3an無意義，

即“數(shù)列｛lOg3%｝是等差數(shù)列”中“數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列”.

因此，“數(shù)列｛10g34｝是等差數(shù)列”是“數(shù)列｛%,｝為等比數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和為S",若%+%=30,q%=81，則$6=()

A.121B.364C.728D.1093

【答案】B

【解析】

【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求生，4,再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求公比4,首項(xiàng)4,結(jié)合等比數(shù)列

求和公式求$6?

【詳解】在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列｛%,｝中=81，所以。2。4=%。5=81，

氏=3%—27

又出+%=30,所以＜cr或＜(舍去),

4=27。4=3

a.q-3q=3i-36

設(shè)數(shù)列｛叫的公比為q(q>0)，則<37所以"，所以&=口=364.

axq—27

故選：B.

1

4.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為乂，且-％,-a2,4成等差數(shù)列，若％=1，貝JS4=

()

5f5f5

A.一或15B.15C.-或—15D.-

888

【答案】B

【解析】

【分析】由題意設(shè)出公比，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程，可得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為4,由數(shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，則4〉0,

333

由-%，1%，%為等差數(shù)列，則4+%，即l+q?,即2q2—3q—2=0,

解得4=2或―；(舍去)，又4=1,所以S4=lx，；4)=15?

故選：B

5.如圖，函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率等于()

C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平均變化率的概念求解.

【詳解】易知/⑴=3,/(3)=1,因此故選A

3-1

【點(diǎn)睛】求平均變化率的一般步驟：①求自變量的增量△X=X2-X1,②求函數(shù)值的增量Ay=f(X2)-f(xi),

Ay_f(x)-f(x)

③求函數(shù)的平均變化率2t

Axx/i

,、1

6.已知等比數(shù)列｛4｝滿足/+—+—=14,a=—記S〃為其前n項(xiàng)和，則S3=()

249

77

AB.-c.一D.7

-142

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意列方程求出公比q,然后可解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,qwO,

111r1

依題意，一+—+—=14,a2=—

a

a1%34

LL-.L142

即幺%出2%q,???2q+2+—=7,2/_5夕+2=0,

q

q

解得q=2或q=g

???q=g,〃2=；，%=；或％11

。二，3

2W。8

c1117

??S3=—I----1—=

38428

故選：A

7.平行四邊形ABC。中，ZBAD=120,|AB|=2,|A^=3,BE=^BC,則”.切=

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)向量的數(shù)量積求出荏.而，然后把霹，而用通，而表示，代入結(jié)合已知即可求解

【詳解】解：平行四邊形ABCD中，ZBAD=120°,|AS|-2,|AD|=3,,

AB-AD=2X3X^-1^=-3,

―.1—.

BE=—BC,

3

：.AE=AB+^BC=AB+^AD,BD^AD-AB^

則衣.麗=（AB+|AD）?（AD-AB^

1?22----?---?--->2

=-AD+-ADAB-AB

33

=3+jx（-3）-4=-3

故選反

【點(diǎn)睛】本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查計算能力與轉(zhuǎn)化能力.

CC

8.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，3一_^=-1,S1=32,則下列說法正確的是（）

n+1n

A.｛4｝是等差數(shù)列

B.53,$6—S3,S9-$6成等差數(shù)列，公差為—9

C.當(dāng)S“取得最大值時，〃=16

D.S"20時，〃的最大值為32

【答案】A

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式先求出s〃=-1+33”，再求通項(xiàng)公式q=-2"+34,然后對各選項(xiàng)逐一

檢驗(yàn)即可.

cc[VI

【詳解】由3—-^=-1,，=32可得：數(shù)列—是以32為首項(xiàng)，—1為公差的等差數(shù)列.

n+1n1〃J

q

則j=32+（〃_l）x（_l）=f+33.

n

所以+33〃.

2

對于選項(xiàng)A：*.tSn=—n+33n,

當(dāng)〃=1時，q=S[=—I2+33=32；

當(dāng)時，4=S〃一S〃T=（一〃2+33"）----（H-1）2+33（n-l）=-In+34；

?「一2x1+34=4,

cin——2〃+34.

?「〃〃+]-q=[-2（〃+1）+34]-2〃+34）=—2,

數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；

2

對于選項(xiàng)B：Sn=—n+33”,

22

S3=—32+33x3=90,S6=-6+33x6=162,S9=-9+33x9=216,

臬-S3=72,59-56=54,

—

則2（Se_$3）=S3+（5956）,（S6—S3^—S3=—18,

所以S3,56-53,5-56成等差數(shù)列，公差為-18,故選項(xiàng)B錯誤；

對于選項(xiàng)C：:S=—n2+33n=—（n——+1。89,〃wN*,

〃I2J4

「?當(dāng)〃=16或〃=17時，S”最大，故選項(xiàng)C錯誤；

對于選項(xiàng)D：令=一+33〃20,得0<〃<33,TieN*，

即滿足20的最大正整數(shù)〃=33,故選項(xiàng)D錯誤.

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.某市實(shí)行居民階梯電價收費(fèi)政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排.現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶家庭十月份的用

電量(單位：kW-h),將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出如圖所示的頻率分布直方

B.樣本的第25百分位數(shù)約為217

C,樣本平均數(shù)約為198.4

D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在[170,230)內(nèi)的戶數(shù)為108

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)頻率直方圖，結(jié)合各個統(tǒng)計量的含義，逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】對A,20(0.006+0.007+0.01+0.012+a)=l,

所以a=0.015,故A正確；

對B設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為b,,

則20x0.007=0.14<0.25

20(0.007+0.012)=0.38>0.25,

所以be[170,190],故B錯誤；

對C,樣本平均數(shù)為：20(160x0.007+180x0.012+200x0.015+220x0.01+240x0.006)=198.4,

故C正確；

對D,用電量落在[170,230)內(nèi)的戶數(shù)為：

20(0.012+0.015+0.01)x200=148,故D錯誤

故選：AC

10.己知數(shù)列｛4“｝的前幾項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.若｛q｝是等差數(shù)列，S.Sn=2n+4n+k,則左=0

B.若｛4｝是等比數(shù)列，且S〃=32"+I+左，貝|]左=—3

C.若S,=3〃2—5〃+2,則｛4｝是等差數(shù)列

D.若｛4｝是公比大于1的等比數(shù)列，則$2'>25"

【答案】AB

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式判斷AB；利用為-4彳判斷選項(xiàng)C；通過舉例an=-2",

判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對于A,若｛4｝等差數(shù)列，則S〃=叫+四三皿=]“2

且S”=2"+4〃+左,則左=0,A正確；

對于B,若｛4｝是等比數(shù)列，顯然#1時，否則產(chǎn)32向+左，不成立，

S/（J4）=_&小工,且S〃=32"+I+左=3x9"+左，則左=—3,B正確；

"1-q1-q1-q

對于C,若S“=3〃2-5〃+2,則q=S]=0,a2=S2-=4-0=4,

%=$3—邑=14—4=10,%-4片4一％，數(shù)列｛4｝不是等差數(shù)列，C錯誤；

對于D,若4=—2",則S2=—2—4=-6,2S1=2x（—2）=T,S2<2^,不滿足邑，〉？',D錯誤.

故選：AB

11.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，滿足q=3,且3（〃+1”"一"。"+1=0（"￡曰），則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.｛叩“｝為等比數(shù)列B.為等比數(shù)列

C.a?=n-3"D.S=⑶」）0加+.

"44

【答案】BCD

【解析】

【分析】由題設(shè)得｛&｝是首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，即可判斷A、B、C；應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前

n

九項(xiàng)和判斷D.

【詳解】由題設(shè)3?生=4叁，且幺=3,故｛&｝是首項(xiàng)、公比為3的等比數(shù)列，

n〃+11n

所以?=3加，則為=加3〃，故｛?“｝不是等比數(shù)列，A錯,B、C對；

由S'=1x31+2x3?+…+則3s力=lx32+2x33+---+(n-l)-3"+n-3n+1,

所以—2S=31+32+...+3n-n-3n+1=3(1-3")—“召用=….角—3,

"1-32

所以S=(2〃-『+3,口對.

"4

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)直線/:3x+4y+a=0,與圓C：(x—2y+(y—=25交于4臺，且|人卻=6,則。的值是

【答案】10或-30

【解析】

【分析】首先利用垂徑定理求出圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出a即可.

【詳解】解：因?yàn)镃:(x—2『+(y—1)2=25,圓心為(2,1),半徑為r=5,

|AB|=6由垂徑定理得d=752-32=4,所以圓心到直線的距離為4.

16+4+

-/==4,a=10或a=-30.故填：10或-30.

732+42

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相交的垂徑定理以及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用.

已知數(shù)列滿足若%則出的值為.

13.｛a“｝a/,.=a：+i，/cN*，=16,a3a5=4,

【答案】—或;

22

【解析】

【分析】由等比的定義結(jié)合其性質(zhì)得出的的值?

【詳解】因?yàn)?%+2=屋1，/CN*，所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為名

由多=16,

a3a5=a；=4,得應(yīng)=±2,^=，=±8,

所以4=±2.

當(dāng)4=2時，%=2，則g=g；

當(dāng)q=-2時，4=—2,則g=—萬,綜上，密的值為一,或1

故答案為：—或:

22

14.《莊子?天下篇》中有一句名言“一尺之梅，日取其半，萬世不竭”.已知長度為2G的線段P。，取P。

的中點(diǎn)加1，以PM為邊作等邊三角形（如圖1）,該等邊三角形的面積為，，再取"1Q的中點(diǎn)“2，以

為邊作等邊三角形（如圖2）,圖2中所有的等邊三角形的面積之和為$2，以此類推，則y=

【解析】

【分析】先由題意推導(dǎo)每個正三角形的面積可構(gòu)成等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式求解即可.

【詳解】由題可得，S,=-x73x73xsin60°=—，

24

從第2個等邊三角形起，每個三角形的面積為前一個三角形面積的,，

故每個正三角形的面積可構(gòu)成一個以上叵為首項(xiàng)，：為公比的等比數(shù)列，

44

3G

10236

1024

1024

四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，內(nèi)角A5c的對邊分別是a,b,c,且cosC=-2。=2a.

（1）求sinA的值；

（2）若VA3C的周長為18,求VA3C的面積.

【答案】（1）￥上

8

（2）3而

【解析】

【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解;

（2）由余弦定理解方程得邊長，再利用面積公式求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?<C<7i,cosC=——,所以sinC=Jl—cos2c=J

4,

因?yàn)閏=2a,所以sinC=2sinA,

則sinA=^￡=^5.

28

【小問2詳解】

因?yàn)閏osC=-L,所以，=/+〃+工浦.

42

1,3

因?yàn)閏=2a,所以3a29——ab-b2=Q,解得6=—a.

9

因?yàn)閂A3C的周長為18,所以a+b+c=—a=18,解得a=4,

則〃=6,c=8.

故VABC的面積為L/?csinA=—x6x8x

22

16.設(shè)數(shù)列｛?,｝的前〃項(xiàng)和為S),，且S〃=2a〃-1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

log2a"，九為奇數(shù)

(2)若數(shù)列出｝滿足包=<,求數(shù)列｛么｝的前2〃項(xiàng)和租

a”,ft為偶數(shù)

【答案】(1)4=2"一1

17

(2)7；--x22n+1+n2-n一

2〃33

【解析】

S,,n=l

【分析】⑴根據(jù)%=二。c求得

⑸-Si?2

(2)根據(jù)分組求和法求得正確答案.

【小問1詳解】

依題意，S“=2a”-1,

當(dāng)〃=1時，q=2。]-1,q=1,

當(dāng)"22時，S“_]=2a—1,

所以%=S,,—"_i=2an-2a,t,an=2an_^n>2),

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列,

所以%=2"Lq也符合.

所以%=2"T

小問2詳解】

"1,”為奇數(shù)

由⑴得勿=<2"'"為偶數(shù)’所'

I,,=(0+2+4+---+2?-2)+(2+23+---+22"-1)

2±^+3

21-4

22

=_x4,!+n92-M—_

33

2n+12

=Lx2+n-n--.

33

17.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,且凡是S“與2的等差中項(xiàng),等差數(shù)列｛2｝中,1=2,點(diǎn)

P（d，2+J在一次函數(shù)y=x+2的圖象上.

（1）求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項(xiàng)an和bn；

（2）設(shè)c“=a也,求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和北.

【答案】（1）4=2",2=2〃

（2）7；,=（?-1）2"+2+4

【解析】

【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用4與5“之間的關(guān)系求伍〃｝的通項(xiàng)公式；將尸（包,2+1）代入y=x+2中可

得到公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用錯位相減法即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閍”是S”與2的等差中項(xiàng)，

所以24=S,+2,即5“=24一2,

則S[=2ax—2=al=>al=2,

當(dāng)〃22時，S“T=2a“_]—2,

a

從而n=S“_SnT=2an-2an_｝=>=2,

an-i

則等比數(shù)列｛氏｝的公比4=2,

故an=aqi=2"；

因?yàn)椤?2,點(diǎn)尸（2，2+1）在一次函數(shù)y=x+2的圖象上，

所以d+1=d+2nbn+x-bn=2,即等差數(shù)列｛2｝的公差為2,

從而d=偽+2（"-1）=2〃.

【小問2詳解】

由g=。也="2向，

234,,,,+1

得：Tn=lx2+2x2+3x2+---+(n-l)-2+/?-2...@

27；=lx23+2X24+...+(?-1)-2"+1+H.-2"+2.?@

①一②得，—(=22+23+24+…+2"i—

4—7+2

——?-2,,+2=(1-?)-2,,+2-4,

1-2

從而北=5-1)2”+2+4.

18.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝、｛%｝滿足q=4,1=2,且或,an,2+】成等差數(shù)列,an,bn+l,

4+i成等比數(shù)列.

(1)證明：數(shù)列｛曰｝等差數(shù)列；

113

(2)記9,=廠+^—,且數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和為S“，求證：Sn<--.

""2+12

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)化簡后，由等差中項(xiàng)可判斷數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)由數(shù)歹U｛露｝為等差數(shù)列求出?！?5+1)2,代入條件可求出a=〃(〃+1),利用裂項(xiàng)相消法求和即

可得證.

【小問1詳解】

由條件可得2/=2+2+1，且彳+1=%%+1，又?！?gt;0，bn>0,

故％="A+i'代入=包+2+1中，得“22,"eN*時，

有2%=slan-ian+1a“a相+i,即2yla~=+>

所以數(shù)列｛北:｝為等差數(shù)列.

【小問2詳解】

由(1)知數(shù)列｛曰｝為等差數(shù)列且=2,由2卬=偽+為，

可得4=6,由#=。避2，所以生=9,弧=3.

數(shù)歹！J｛如｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，得m=2+("—1)=〃+1,

即4=(〃+1)2,

故%=%%=(”+1)2("+2)2，即%=(〃+1)(〃+2),

所以〃22,”eN*時，

bn=n(n+1),且4=2也符合上式，故2=〃(〃+1)

1111111111

----|—----------------|------------------------------—|----------------------------

bnbn+in(n+l)(〃+1)(〃+2)nn+1n+1n+2nn+2

11_3__1____1

〃+2J2〃+l〃+2

113

而一<0,所以S“<1.

n+1n+22

19.已知圓心在x軸正半軸上的圓C與直線5x+12y+21=0相切，與y軸交于M,N兩點(diǎn)，且

ZMCN=120°.

(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線1與圓C交于不同的兩點(diǎn)D,E,若|￡＞同=2百時，求直線1的方程;

工=;?若存在，求出

(3)已知Q是圓C上任意一點(diǎn)，問：在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A,B,使得

A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(I)(x-l)2+y2=4；(II)y=—gx+3或尤=0；(HI)存在A(2,0),5(5,0)或A(0,0),

6(—3,0)滿足題意.

【解析】

【分析】(/)設(shè)圓。的方程為(苫-。)2+/=4”,利用點(diǎn)。到直線5x+12y+21=0的距離為

+=2。,求出且，即可求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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（II）設(shè)直線，的方程為丁=區(qū)+3即乙—y+3=0,則由題意可知，圓心C到直線）的距離2=1,即可

求出次的值,

（III）方法一：假設(shè)在x軸上存在兩定點(diǎn)A（a,O）,B（Z?,O）,設(shè)。（x,y）是圓C上任意一點(diǎn)，由題意可得

2

n?ieA|(2-2辦+(/+3)

i/in-----=------------------,即可求出a,6的值,

'|QB|2(2-2少+伊+3)4

-v-/'+y21_

方法二：設(shè)。（羽y）是圓。上任意一點(diǎn)，由—得/,?=彳，對照圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程