模型03全等模型

易錯(cuò)集1或

易錯(cuò)模型7：角平分線觸（全等）易錯(cuò)模型生倍長中線模型

易錯(cuò)模型8：十字架模型全易錯(cuò)睡2：截長辛海模型

等

易錯(cuò)39:婆羅摩笈多隨易錯(cuò)頻3：一線三等角（K字）胭

模

易錯(cuò)模型10：奔馳模型易^^4：手拉手隨

型

易錯(cuò)躅11：帽子模型/

易^^5:半角蜂

易錯(cuò)儂12:題讀等長與懶等5^^易錯(cuò)模型6:對(duì)角豆隈型

易錯(cuò)陷阱?

易錯(cuò)模型1：倍長中線模型

模型解讀所謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角

形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。

1）倍長中線模型（中線型）

條件：為△ABC的中線。結(jié)論：AABD=AECD

2）倍長類中線模型（中點(diǎn)型）

條件：△ABC中，。為8C邊的中點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：AEDBAFDC。

3）倍長類中線模型拓展（中點(diǎn)+平行線型）

條件：AB//CD,E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為A8邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：AAFEMACGE。

練習(xí)時(shí)要記住下面三點(diǎn)：①見中點(diǎn)，先倍長；②證明8字全等；③找關(guān)系。

易錯(cuò)提醒：若“中點(diǎn)+平行線型”按“中點(diǎn)型”來倍長，則需證明點(diǎn)G在上，為了避免證明三點(diǎn)共線,

點(diǎn)G就直接通過延長相交得到。因?yàn)橛衅叫芯€，內(nèi)錯(cuò)角相等，故根據(jù)“44S”或“ASA”證明全等。這里

“中點(diǎn)+平行線型”可以看做是“中點(diǎn)型”的改良版。

證明：如圖2,延長至點(diǎn)E,使=：￡＞是邊的中點(diǎn)ABD=CD.

?；ZADB=/EDC,DE=AD，：■AABD^ECD（依據(jù)）.AZBAD^ZE.

：AD平分/3AC,ABAD=ACAD,；.NC4D=ZE,AC=CE,：.AB=AC.

任務(wù)：⑴材料中的“依據(jù)”是.（填選項(xiàng)）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

（2）在..ABC中，AB=6cm,AC=4cm,則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是.（3）如圖3,在

四邊形ABCD中，ABCD,AM平分4AZ）,且M是3c的中點(diǎn)，AB=2,AD=3,求。C的長.

變式1.（2024?山東?校考一模）閱讀材料：如圖1,在ABC中，D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，小亮在

證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長。E到點(diǎn)孔使EF=DE,連接

CF,證明ADE^.CFE,再證四邊形。8cp是平行四邊形即得證.

類比遷移：⑴如圖2,A￡?是：鉆。的中線,￡是我上的一點(diǎn)，BE交于點(diǎn)尸，且=求證：AC=BF.

小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明.

證明：如圖2,延長AO至點(diǎn)使=連接MC,……

請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過程.

方法運(yùn)用：（2）如圖3,在等邊C中，。是射線3c上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè)），連接.把線

段繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段。E,尸是線段8E的中點(diǎn)，連接。RC尸.請(qǐng)你判斷線段。F與AD

的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

變式2.（2024?四川達(dá)州?模擬預(yù)測）［問題背景］在JLBC中，A3=8,AC=4,求BC邊上的中線AD的

取值范圍，小組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長AD到E,使得DE=AD,再連

接BE,把AB,AC,2AD集中在一ABE中.⑴利用上述方法求出AD的取值范圍是；

（2）［探究］如圖2,在ABC中，CE為邊上的中線，點(diǎn)。在CB的延長線上，且3。=2跳>,AD與CE相

交于點(diǎn)。，若四邊形”的面積為20,求；ABC的面積；

（3）［拓展］如圖3,在四邊形ABC。中，ZA=105°,ZZ）=120°,E為AD的中點(diǎn)，G、尸分別為AB、CD邊上

的點(diǎn)，若AG=4,￡>F=272，NGEF=90°,求G歹的長.

易錯(cuò)模型2：截長補(bǔ)短模型

模型解讀截長補(bǔ)短模型分為截長模型和補(bǔ)短模型：適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，截長補(bǔ)短的關(guān)鍵在于

通過輔助線構(gòu)造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現(xiàn)等腰三角形（兩邊相等）、角平分線

（兩角相等）等關(guān)鍵詞句，可采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。

截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補(bǔ)短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

B

條件：為△ABC的角平分線，NB=2NC。結(jié)論：AB+BD=ACo

易錯(cuò)提醒：在截長補(bǔ)短模型中，輔助線的添加是關(guān)鍵。如果輔助線添加不當(dāng)，可能會(huì)導(dǎo)致后續(xù)步驟無法順

利進(jìn)行，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，需要準(zhǔn)確判斷何時(shí)何地添加輔助線，并確保其合理性。

舉一反三

例1.（2024.河南南陽?一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、

發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對(duì)稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計(jì)的問

題，請(qǐng)你解答.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1,AP是VABC的角平分線，AB<AC,在AC上截取AQ=AB,

連接PQ,則依與P。的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2,VABC的角平分線AE、昉相交于點(diǎn)P.當(dāng)NC=60。時(shí)，線段PE與尸尸的數(shù)量關(guān)系是；

（2）【探究遷移】如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD+BC,"AB的平分線與—ABC的平分線恰好

交于C。邊上的點(diǎn)P,試判斷RD與PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若AB=15,tan/PA2=；,當(dāng)，PBC有一個(gè)內(nèi)角是45。時(shí)，直接寫出

邊AD的長.

變式1.（2024?湖南懷化?模擬預(yù)測）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1,AD為VABC的角平分線，ZADC=60°,

點(diǎn)E在A8上，AE=AC.求證：DE平分NADB.

【思考探究】（2）如圖2,在（1）的條件下，尸為43上一點(diǎn)，連接FC交AD于點(diǎn)G.若FB=FC,DG=4,

CD=6,求的長.

【拓展延伸】（3）如圖3,在四邊形A2CZ）中，對(duì)角線AC平分/AM）,N3C4=2/DC4,點(diǎn)E在AC上，

NEDC=ZABC.若BC=5,CD=2區(qū)AD=2AE,求AC的長.

變式2.（2024.遼寧大連.模擬預(yù)測）【方法探究】如圖1,在ABC中，AD平分/B4C,/ABC=2/C,

探究AC,AB,8。之間的數(shù)量關(guān)系；嘉銘同學(xué)通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題:

方法1：如圖2,在AC上截取AE,使得AE=AB,連接DE,可以得到全等三角形，進(jìn)而解決此問題.

方法2：如圖3,延長AB到點(diǎn)E,使得BE=BD,連接。E,可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決此問題.

（1）根據(jù)探究，直接寫出AC,4\B,80之間的數(shù)量關(guān)系；

【遷移應(yīng)用】（2）如圖4,在.ABC中，。是BC上一點(diǎn)，，ZB=2ZC,AD1BC于探究CD,AB,

80之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【拓展延伸】（3）如圖5,ABC為等邊三角形，點(diǎn)。為48延長線上一動(dòng)

點(diǎn)，連接8.以8為邊在上方作等邊CDE,點(diǎn)/是DE的中點(diǎn)，連接AF并延長，交8的延長線于

點(diǎn)G.若NG=NACE,求證：GF=AE+AF.

易錯(cuò)模型3:一線三等角（K字）模型

模型解讀一線三等角模型是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，這個(gè)模型在七八年級(jí)階段往往用來證

明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異

側(cè)型兩類。

1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：ZA=NCED=ZB,AE=DE；結(jié)論：ABE^ECD,AB+CD=BC。

2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：NDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；結(jié)論：ABEkECD,AB-CD=BC。

易錯(cuò)提醒：在直角K型圖（如等腰直角三角形）中，常伴隨隱藏的邊角關(guān)系（如等邊或特殊角度）。若未

挖掘這些條件，可能導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤或步驟冗余。

例1.（2024?山東煙臺(tái).中考真題）在等腰直角ABC中，ZACS=90°,AC^BC,。為直線上任意一

點(diǎn)，連接AD.將線段AD繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得線段E。，連接BE.

【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，線段仍與8的數(shù)量關(guān)系為；

【類比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段BE與的數(shù)量關(guān)

系并證明；

【聯(lián)系拓廣】（3）若AC=8C=1,CD=2,請(qǐng)直接寫出sinNEC。的值.

CD

變式1.（2024?湖南?統(tǒng)考一模）如圖，在4BC中，AB=AC=2,ZB=40°,點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)。不

與點(diǎn)2、C重合），連接AD,作NAOE=40。，交線段AC于點(diǎn)E.（1）當(dāng)/8。4=115。時(shí)，ZEDC=°,

ZAED=°；（2）線段。C的長度為何值時(shí)，AABD義LDCE,請(qǐng)說明理由；（3）在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程

中，△AOE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說明理由.

BD

變式2.（2024?甘肅?中考真題）【模型建立】（1）如圖1,已知4AfiE和△BCD,AB1BC,AB^BC,

CD^BD,AELBD.用等式寫出線段AE,DE,CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,在正方形ABCZ）中，點(diǎn)E,尸分別在對(duì)角線2。和邊8上，AE±EF,AE=EF.用

等式寫出線段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】（3）如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線80上，點(diǎn)尸在邊8的延長線上，AE±EF,

AE=EF.用等式寫出線段BE,AD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖2圖3

易錯(cuò)模型4：手拉手模型

模型解讀將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉

手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)

頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

1）雙等邊三角形型

條件：△ABC和AOCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,A。交于點(diǎn)幾

結(jié)論：①△ACQg/kSCE；②BE=AD；?ZAFM=ZBCM=60°；④CF平分/BFD。

2）雙等腰直角三角形型

條件：△A8C和△OCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,AD交于點(diǎn)、N。

結(jié)論：?AACD^ABCE；?BE=AD；③NANM=/BCM=90。；④）CN平濟(jì)/BND。

3）雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C為公共點(diǎn)；連接BE,交于點(diǎn)幾

結(jié)論：①△ACDgZXBCE；?BE=AD；③NBCM=/AFM；④CF平分/BFD。

4）雙正方形形型

D

條件：四邊形ABC。和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接3G,ED交于點(diǎn)、N。

結(jié)論：①△BCG四△OCE；②BG=DE；③NBCM=/OVM=90。；@CN平分/BNE。

易錯(cuò)提醒：1）手拉手模型需滿足兩等腰三角形共頂點(diǎn)且頂角相等，若題目未明確給出等腰條件或頂點(diǎn)位置,

易誤判模型適用性；2）模型中需通過順（逆）時(shí)針方向判斷左右手，若方向顛倒則無法正確應(yīng)用“左拉左,

右拉右”的全等結(jié)論。

例1.（2024.山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)、D,E分別在

AB,CB上，DB=EB,連接AE,CD,取AE中點(diǎn)尸，連接防.⑴求證：CD=2BF,CDYBF-,（2）

將一繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.①請(qǐng)直接寫出所與CD的位置關(guān)系：；②求證：

CD=2BF.

變式1.（2024?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）已知，ABC為等邊三角形，點(diǎn)。在邊3c上.

【基本圖形】如圖1,以AO為一邊作等邊三角形VADE,連結(jié)CE.可得CE+CE?=AC（不需證明）.

【遷移運(yùn)用】如圖2,點(diǎn)尸是AC邊上一點(diǎn)，以。尸為一邊作等邊三角式）即.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點(diǎn)尸是AC邊的延長線上一點(diǎn)，以。尸為一邊作等邊三角ADEF.試探究線段CE,CD,

CT三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由.

A

圖1圖2圖3

變式2.（2024?浙江紹興?校考一模）【問題探究】（1）如圖1,銳角AABC中，分別以AB、AC為邊向外

作等腰直角△ABE和等腰直角△AC。，使AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,連接BD,CE,試

猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明.

【深入探究】（2）如圖2,四邊形ABC。中，AB=5,BC=2,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求B。2

的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△AB。全等的三角形，將BD進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請(qǐng)

你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計(jì)算；

【變式思考】（3）如圖3,四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,ZA￡）C=30°,AD=6,BD=10,

則CD=.

易錯(cuò)模型5：半角模型

模型解讀半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相

等，通過旋轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABC。是正方形，Z￡CF=45°；結(jié)論：①△8CE絲△DCG；②ACEF咨ACGF；?EF=BE+

DF-,④AAEB的周長=2A&⑤CE、CF分別平分N8所和NEF。。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AABC是等腰直角三角形（N8AC=90°,AB=AC）,ZZ）AE=45°；

結(jié)論：①△BAD0Z\CAG；②△ZMEZ/iGAE；③NECG==90°；@DE2=BD2+EC2；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：AA2C是等邊三角形，A2DC是等腰三角形，5.BD=CD,/BDC=120。,ZEDF=60°；

結(jié)論：①4BDE24CDG；②△EZ）/且△GZJF；③EF=BE+CF；④AAEF的周長=2A8；

⑤DE、DF分別平分N8EF和NEFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）條件：AABC是等邊三角形，ZEAD=30°；

結(jié)論：①△8ZM之△（?硒；②△ZME/△曲E；③/ECF=120°；@DE2=（^BD+EC）2+^-BD；

易錯(cuò)提醒：1）半角模型?；谡叫?、等邊三角形等對(duì)稱圖形，若未挖掘隱含的鄰邊相等或垂直關(guān)系，易

遺漏關(guān)鍵證明條件；2）半角模型需通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，若旋轉(zhuǎn)方向或角度錯(cuò)誤（如未繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），

則無法正確匹配對(duì)應(yīng)邊角。

例1.（2023?廣東廣州?二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)、E、尸分別在邊3C、CD上，且ZE4F=45。，連接￡F.

（1）如圖1,若BE=2,DF=3,求斯的長度；（2）如圖2,連接3。，BD與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N,

若正方形ABCD的邊長為6,BE=2,求OP的長；（3）判斷線段8N、MN、DM三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明

你的結(jié)論.

圖1圖2

變式1.（23-24九年級(jí)上?江西南昌?期中）（1）如圖①，在直角VABC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)、D

為3C邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)8不重合），連接AD,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到“小，那么

之間的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，在VABC中，Z&4c=90。，AB=AC,

D,E（點(diǎn)、D,E不與點(diǎn)8,C重合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且NZME=45。.求證：BD2+CE2=DE2.（3）如

圖③，在VA3C中，ZC4B=120°,AB=AC,ZDAE=60°,BC=3+6,D,E（點(diǎn)。，E不與點(diǎn)8,C

重合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若以32。4EC為邊長的三角形是以8。為斜邊的直角三角形時(shí)，求8E的長.

變式2.（2024?江西.九年級(jí)期中）⑴【特例探究】如圖1,在四邊形.CD中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

ZBAD=100°,ZEAF=50°,猜想并寫出線段BE,DF,所之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想;

（2）【遷移推廣】如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=180°,/BAD=2/EAF.請(qǐng)寫

出線段BE,DF,E產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（。處）北偏東20。的A處.艦艇乙在指揮

中心南偏西50。的8處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海

里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60。的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、

乙兩艦艇分別到達(dá)C,。處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75。.請(qǐng)直接寫出此時(shí)兩艦艇之間的

距離.

易錯(cuò)模型6：對(duì)角互補(bǔ)模型

模型解讀對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾

何模型。對(duì)角互補(bǔ)模型處理方法主要有兩種：①過頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，

構(gòu)造手拉手全等。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)

條件：如圖，已知NAOB=4DCE=90°,0c平分NAOA

2

結(jié)論：①CD=CE,②0D+0E=60C,@SODCE=SCOE+SCOD=-OC.

2)“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側(cè)型)

條件：如圖，已知/QCE的一邊與A。的延長線交于點(diǎn)。，.NAO8=NZ)CE=90°,0c平分/A0B.

2

結(jié)論：①CD=CE,?0E-0D=4i0C,?SCOF-Scnn=-OC-

3)“等邊三角形對(duì)120。模型”(1)

條件：如圖，已知，0c平分NAOA

結(jié)論：①CD=CE,②。。+。￡=。。，@+S=—OC2.

SCCOzZDJCCOzzlE4

4)“等邊三角形對(duì)120。模型”(2)

條件：如圖，己知/AO2=2/Z)CE=120°,0C平分NAOB,4DCE的一邊與3。的延長線交于點(diǎn)。，.

結(jié)論：①CD=CE,②OD—OE=OC,?s-S=-OC2.

vC^UOLD)COzEl4

5)“120。等腰三角形對(duì)60。模型”

條件：A4BC是等腰三角形，且/歷^=120。，ZBPC=60°,出平分/8PC。結(jié)論：PB+PC=6PA；

6）“a對(duì)180。辿模型”條件：四邊形A8Q）中，AP=BP,ZA+ZB=180°o結(jié)論：0尸平分NAOB。

7）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”（隱藏對(duì)角互補(bǔ)）條件：AP=BP,ZAOB=ZAPB,結(jié)論：OP平分/AO8的外

角。

易錯(cuò)提醒：當(dāng)互補(bǔ)角位置從同側(cè)變?yōu)楫悅?cè)時(shí)，原結(jié)論可能失效（如線段和變?yōu)榫€段差），需結(jié)合旋轉(zhuǎn)方向

重新推導(dǎo)。

例1.（23-24九年級(jí)上?河南洛陽?期中）綜合與實(shí)踐：已知，在R3ABC中，AC=8C,/C=90。，D為

A8邊的中點(diǎn)，NEDF=90。,/EDF繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC,C8（或它們的延長線）于點(diǎn)E,F.

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,當(dāng)NEZ）尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到。ELAC于點(diǎn)E時(shí)（如圖1）,①證明：AADE咨LBDF；

②猜想：SADEF0CEF=SAABC.（2）【類比探究】如圖2,當(dāng)繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到DE與AC不垂

直時(shí)，且點(diǎn)E在線段AC上，試判斷S/DEr+SzCEF與S/A8C的關(guān)系，并給予證明.

（3）【拓展延伸】如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)，此時(shí)問題（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，

請(qǐng)給予證明；若不成立，SQEF,S&CEF,S4ABe又有怎樣的關(guān)系？（寫出你的猜想，不需證明）

圖1圖2圖3

變式1.（2024廣東中考一模）如圖，已知/4。3=60。，在/A03的角平分線加上有一點(diǎn)C,將一個(gè)120。

角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與射線0408相交于點(diǎn)QE.

（1）如圖1,當(dāng)/OCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與Q4垂直時(shí)，請(qǐng)猜想OD+OE與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)"CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到8與Q4不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3,當(dāng)/OCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。位于的反向延長線上時(shí)，求線段與OC之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

變式2.（2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）感知：如圖①，AD平分/B4C,ZB+ZC=180°,IB90?.判

斷與DC的大小關(guān)系并證明.探究：如圖②，AD平分NB4C,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,

與DC的大小關(guān)系變嗎？請(qǐng)說明理由.應(yīng)用：如圖③，四邊形ABDC中，/B=45°,ZC=135°,

DB=DC=m,則AB與AC差是多少（用含加的代數(shù)式表示）

圖①圖②圖③

易錯(cuò)模型7：角平分線模型（全等）

模型解讀

1）角平分線垂兩邊是指過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線。角平分線垂兩邊模型，可以充分利用角平

分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。

條件:如圖1,0C為NAOB的角平分線，C4LQ4于點(diǎn)A,C3LOB于點(diǎn)A

結(jié)論:CA=CB.AOAC^AOBC.

條件:如圖2,在AABC中，ZC=90°,A￡＞為NC鉆的角平分線，過點(diǎn)。作。ELA5.

結(jié)論:DC=DE、AZMCgAZM石.（當(dāng)AABC是等腰直角三角形時(shí)，還有AB=AC+CD.）

圖3圖4

2）角平分線垂中間模型是可以看作是等腰三角形“三線合一”的逆用，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形,

進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，這個(gè)模型巧妙的把三線合一和角平分線聯(lián)系在一起。但同學(xué)們也需要注意,

在解答題中使用時(shí)不能利用角平分線+中線得高線，也不能利用角平分線+高線得中線。一定要通過證明全

等來得到結(jié)論。（因?yàn)檎_的結(jié)論有很多，但只有作為定理的才可以在證明中直接使用哦?。?/p>

條件：如圖3,OC為NAOB的角平分線，ABLOC,

結(jié)論：A4OC之△BOC,鉆是等腰三角形，OC是三線合一等。

條件：如圖4,BE為NABC的角平分線，BELEC,延長BA,CE交于點(diǎn)E

結(jié)論：LBEC沿乙BEF,ABEC.是等腰三角形、BE是三線合一等。

3）角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱模型是利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)

應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

條件：如圖1,OC為NAQB的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在06上截取。3=。4,連結(jié)CB.

結(jié)論：AOACgAQBC,CB=CA。

條件：如圖2,BE、CE分別為N/LBC和NBCE的平分線，A3//CD,在上截取5產(chǎn)=A3,連結(jié)所。

結(jié)論：ABAE^ABFE,ACDEACFE,AB+CD=BC.

易錯(cuò)提醒：1）優(yōu)先驗(yàn)證角平分線存在性及隱含對(duì)稱性，避免強(qiáng)行套用定理；2）嚴(yán)格按“雙垂線”“截長補(bǔ)短”

等標(biāo)準(zhǔn)步驟構(gòu)造輔助線，確保全等對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例1.（2024?陜西中考真題）如圖,在ABC中，AB=AC,E是邊AB上一點(diǎn),連接CE,在BC右側(cè)作BF//AC,

且班'=隹，連接C/.若AC=13,BC=10,則四邊形￡?P。的面積為.

變式1.（2024?廣東?九年級(jí)期中）如圖，在AABC中，AB=AC,N84C=90。，

（1）如圖平分ZABC交AC于點(diǎn)。，尸為3c上一點(diǎn)，連接AF交8。于點(diǎn)E.

⑴若=5尸，求證：8。垂直平分■；（ii）若AF_L3￡>,求證：AD=CF.（2）如圖2,8。平分ZASC

交AC于點(diǎn)。，CELBD,垂足E在8的延長線上，試判斷線段CE和8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,尸為BC上一點(diǎn)，NEFC=；NB,CE±EF,垂足為E,與AC交于點(diǎn)。，寫出線段CE

和ED的數(shù)量關(guān)系.（不要求寫出過程）

圖1圖2圖3

變式2.（24-25八年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)谔剿骼媒瞧椒志€來構(gòu)造全

等三角形問題.

如圖①，在四邊形ABDE中，點(diǎn)C是3。邊的中點(diǎn)，AC平分/54E,NACE=90。，證明：AE=AB+DE.

討論思考：當(dāng)同學(xué)們討論到題目中尋找線段之間的和差關(guān)系時(shí)，大家都踴躍提出了各自的見解，大家集思

廣議，提出了一個(gè)截長法：如圖②，在AE上截取=連接CE先證明四△AFC,再證明

△EFC必EDC,即有灰=小，AE=AB+ED.

解決問題：小明同學(xué)根據(jù)大家的思路，進(jìn)行了如下的證明

AE=AB+DE,理由如下：如圖②，在AE上取一點(diǎn)尸，使=連接CF.

AB=AF

'：AC平分/BAE，,ABAC=AFAC,在AACB和AACF中，，ZBAC=ZFAC：.ACBACF(SAS)

AC=AC

:.BC=FC,ZACB=ZACF.

（1）小明已經(jīng)完成了大家討論的第一步，接下來就由你來利用題干中的條件完成剩下的推理證明吧.

拓展探究：已知：如圖③，在ABC中，ZB=60°,D、E分別為AB,8C上的點(diǎn)，且4瓦。交于點(diǎn)尸.若

AE,CD為一ABC的角平分線.(2)ZAFC=°；(3)證明：DF=EF.

（4）如圖④，在A3C中，NACBH90。，延長ABC的邊54到點(diǎn)G,八。平分/GAC交BC延長線于點(diǎn)

若AB+AC=CE>,ZABC=30°,貝i]NAC3=_。.

易錯(cuò)模型8：十字架模型

模型解讀“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個(gè)互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相

等的銳角及一組全等的三角形。

條件：1）如圖1,在正方形A8CD中，若E、尸分別是BC、C￡）上的點(diǎn)，AELBF-,結(jié)論：AE=BF.

條件：2）如圖2,在正方形A8CD中，若￡、F、G分別是8C、CD、AB上的點(diǎn)，AE1GF；結(jié)論：AE=GF.

條件：3）如圖3,正方形ABC。中，若E、F、G、X分別是BC、CD、AB.A。上的點(diǎn)，EH±GF；

結(jié)論：HE=GFo

易錯(cuò)提醒：十字架模型的核心是垂直與邊相等互為條件，若題目未明確“垂直則邊相等”或“邊相等則垂直”

的具體場景，易混淆使用方向?qū)е峦茖?dǎo)錯(cuò)誤。

例1.（2024?北京?一模）如圖，正方形A2CZ）中，點(diǎn)E尸分別在8C,8上,BE=CF,AE,3尸交于點(diǎn)G；

（1）ZAGF=.（2）在線段AG上截取MG=3G,連接DVf,NAG/的角平分線交DM于點(diǎn)N.

①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

變式1.（2024?廣東梅州?一模）如圖，E、B分別是正方形ABCD的邊CO,AD上的點(diǎn)，且CE=D產(chǎn)，AE,

3尸相交于點(diǎn)。，下列結(jié)論:①AE=3尸；②③=④N4ED="BC中，正確的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

變式2.（23-24江蘇九年級(jí)期中）蘇科版八下數(shù)學(xué)教材中，對(duì)正方形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了探究，同時(shí)課本

94頁第19題對(duì)正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關(guān)系也進(jìn)行了探究，在此，我們也來作進(jìn)一步的探究，如圖

1,探究所提供的正方形ABCD的邊長都為2.

【探究】⑴如圖2,在正方形ABCD中，如果點(diǎn)及尸分別在BC、CD上，且-，垂足為M,那么AE

與BF相等嗎？證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用】（2）如圖3,在正方形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)、E、尸分別在邊48、C￡>±,將正方形ABC。沿直線E尸折疊,

使點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、。重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與8交于點(diǎn)P,

設(shè)AE=r,求線段RV的長（用含/的式子表示）.

【拓展】（3）如圖4,在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是A3、8上的動(dòng)點(diǎn)，且尸G_LAE,

求EF+AG的最小值.

圖3

圖1圖2圖4

易錯(cuò)模型9：婆羅摩笈多模型

模型解讀

模型D知中點(diǎn)證垂直

條件：分別以三角形A8C的邊AB、AC為邊，向三角形外側(cè)外做正方形ABOE和正方形ACFG,N

為EG的中點(diǎn)，M、A、N三點(diǎn)共線。結(jié)論：AMLBC-,BC=2AN；S^ABC=S^AEG<.

模型2）知垂直證中點(diǎn)

條件：分別以AABC的邊A3、AC為邊，向三角形外側(cè)外做正方形和正方形ACPG,AM±BC.

結(jié)論：N為EG的中點(diǎn)；BC=2AN；SAABC=SAAEGO

易錯(cuò)提醒：模型中需通過“已知中點(diǎn)證垂直”或“已知垂直證中點(diǎn)”，若未明確題目給定條件的方向性，易顛

倒證明邏輯。

例1.（2024.山東泰安.中考真題）如圖1,在等腰RtaABC中，ZABC=90°,AB=CB,點(diǎn)。，E分別在

AB,CB上，DB=EB,連接AE,CD,取AE中點(diǎn)/，連接

⑴求證：CD=2BF,CDYBF；（2）將,QBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請(qǐng)直接寫出所與CD的位置關(guān)系：___________________；②求證：CD=2BF.

D

圖2

變式1.（2024?重慶渝中?二模）如圖，以VA3C的邊AC、BC為邊向外作正方形ACDE和正方形3CGP,

連接AG、8。相交于點(diǎn)。，連接C。、DG,取中點(diǎn)Af,連接并延長交DG于點(diǎn)N.下列結(jié)論：

.妹；

①AG=3。；②MNLDG；③C。平分“CG；@S4ABe=S⑤ZAOC=45。.其中正確的結(jié)論有一

（填寫編號(hào)）.

變式2.（23-24九年級(jí)上?福建?期中）定義：如圖13,在JLBC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<180°）

得到A9,把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)尸得到AC,連接B'C'.當(dāng)2+刀=180。時(shí)，我們稱△AMC是..ABC的

“旋補(bǔ)三角形"，△ABC'邊B'C'上的中線AO叫做:ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心

（1）在圖1中，△AB'C'是,ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是.ABC的“旋補(bǔ)中線”，若ASC為等邊三角形，則AO

與BC的數(shù)量關(guān)系為：AD=—BC.（2）在圖2中，當(dāng)ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系,

并給予證明.（3）如圖3,在四邊形ABCD中，2B90?,/A=150。，BC=12,AB=26,AD=6.若四

邊形內(nèi)部恰好存在一點(diǎn)P,使“F4s是△PDC的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫出△PDC的“旋補(bǔ)中線”長是

易錯(cuò)模型10：奔馳模型

模型解讀此模型通常會(huì)和旋轉(zhuǎn)一起來考查，還會(huì)綜合勾股定理的知識(shí)來解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因

為旋轉(zhuǎn)的特征是:共頂點(diǎn)等線段。等邊三角形，三邊相等，每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個(gè)相等線段，都符合共頂

點(diǎn)等線段。等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心（如上圖的旋轉(zhuǎn)）。

條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,^&PA2+PB2=PC2（常考數(shù)據(jù)：BP=3,AP=4,CP=5）,

結(jié)論：ZAPB=150°o（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

A

A

常用結(jié)論等邊三角形的面積公式：5..「=3-4笈（選填題非常適用）

ABC4

條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)尸，^&PB2+^PAf=PC2,

結(jié)論：/CPB=135°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）

模型1）條件：如圖1,點(diǎn)尸在等邊三角形ABC外，^CP-+AP2=BP-,結(jié)論：ZCPA=30°o

模型2）條件：如圖2,點(diǎn)尸在等腰直角三角形ABC外，若C尸+（"4尸『=3尸，結(jié)論：ZAPC=45°.

（注意：上述兩個(gè)模型結(jié)論和條件互換也成立）

雞爪就是模型本質(zhì)就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非

常有意思。連完輔助線往往會(huì)產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。

易錯(cuò)提醒：奔馳模型的核心是繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，若未明確旋轉(zhuǎn)中心位置或旋轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)關(guān)系，易導(dǎo)

致全等判定失敗。

例1.（2022?湖南?中考真題）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=2,OB=1,OC=6則AA08

與ABOC的面積之和為（）

A.且B.也C.這D.6

424

變式1.（23-24九年級(jí)上.湖北孝感.階段練習(xí)）如圖，等腰直角AICB,AC=BC,點(diǎn)P在△AC8內(nèi)，PC=2,

PA=3,NPAD=ZACP則的長為（）

變式2.（2023?廣西賀州?二模）如圖，點(diǎn)尸為等邊三角形A8C外一點(diǎn)，連接E4,PC,若R4=7,PB=9,

ZAPB=30°,則PC的長是.

易錯(cuò)模型11：帽子模型

模型解讀

帽子模型，其實(shí)是等腰三角形獨(dú)特性質(zhì)的應(yīng)用，因?yàn)槟Ｐ秃芟衩弊?，學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)也增加了趣味性。

條件：如圖，已知AB=AC,BD=CE,DG±BC^G,結(jié)論：①DF=FE；②BC=2FG。

I

例1.（23-24八年級(jí)下.遼寧沈陽?開學(xué)考試）VABC中（AB>AC）,點(diǎn)。是8c邊中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線交AB

邊于點(diǎn)交AC邊的延長線于點(diǎn)N,且40=⑷V.（1）如圖①，當(dāng)N&1C=6O。時(shí)，求證：DN—DM=CN；

（2）如圖②，當(dāng)N54C=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DN,DM,CN的數(shù)量關(guān)系.

變式1.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測）如圖，過邊長為6的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PELAC于E,

。為BC延長線上一點(diǎn)，連P。交AC邊于。，當(dāng)B4=C。時(shí)，OE的長為（）

C.3D.4

變式2.（24-25九年級(jí)上?山西臨汾?階段練習(xí)）綜合與探究

問題情境：在VABC中，AB=AC,在射線AB上截取線段BD,在射線C4上截取線段CE,連結(jié)DE,DE

所在直線交直線2c于點(diǎn)猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)。在邊AB的延長線上，點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，過點(diǎn)E作EF〃AB

交3C于點(diǎn)F如圖①.若BD=CE,則線段八以、的大小關(guān)系為.

深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊A3的延長線上，點(diǎn)E在邊C4的延長線上時(shí)，如圖②.若BD=CE,判斷線

段。0、的大小關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊A8上（點(diǎn)。不與A、3重合），點(diǎn)E在邊C4的延長線上時(shí)，如圖③.若BD=1,

CE=4,DM^0.7,求EM的長.

易錯(cuò)模型12：等邊截等長與內(nèi)接等邊模型

模型解讀

條件:如圖1,在等邊VABC中，點(diǎn)。，E分別在邊BC,AC上，且AE=CD,BE與AD相交于點(diǎn)P,BQ±AD

于點(diǎn)。.結(jié)論：①ABEWCAD；?AD=BE;③NBPD=60°；?BQ=2PQ.

圖2圖3

條件：如圖2,等邊三角形A3C中，點(diǎn)。，E,尸分別在邊A3,BC,C4上運(yùn)動(dòng)，且滿足

結(jié)論：三角形。E尸也是等邊三角形。

2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）

條件：如圖3,點(diǎn)P、M、N分別在等邊VABC的各邊上，且MP_LAB于點(diǎn)尸，3c于點(diǎn)PN±AC

于點(diǎn)N,結(jié)論：三角形。EF也是等邊三角形。

例1.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，點(diǎn)、D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點(diǎn)，且3D=CE,

BE與AD交于點(diǎn)F.求證：AD=BE.

變式1.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形ABC的AC,8C邊上各取一點(diǎn)尸，Q（均不與

端點(diǎn)重合），且AP=CQ,AQ,“相交于點(diǎn)。，下列結(jié)論不正確的是（）

A.ZAOB=nO°B.AP?=PO-PB

C