/函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)猜押考點(diǎn)3年真題考情分析押題依據(jù)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2024全國新高考I卷6、82024全國新高考Ⅱ卷62023全國新高考I卷4、112023全國新高考Ⅱ卷42022全國新高考I卷12、2022全國新高考Ⅱ卷8函數(shù)的周期性單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是高考的重難點(diǎn)方向，特別是新高考新題型以后，它們與抽象函數(shù)的結(jié)合將是未來一個(gè)重要方向圖像的識(shí)別及應(yīng)用逐漸淡化函數(shù)的綜合因應(yīng)用作為壓軸題，一般會(huì)是同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)比較大小，函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用化工等1.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用；2.函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與函數(shù)的圖像相結(jié)合加以考查.3.隨著高考改革的推進(jìn)，題目的減少，抽象函數(shù)性質(zhì)的考查，以及函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的綜合考查將增多.題型一函數(shù)的概念與單調(diào)性1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2025·江西·一模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．4．（2025·四川攀枝花·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5．（2025高三下·河北承德·專題練習(xí)）已知，，，，則（

）A． B． C． D．6．（24-25高一下·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型二周期性、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用1．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C．6 D．102．（2025·河南鄭州·二模）（多選）已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)均滿足，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．3．（24-25高二下·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．（2025·四川自貢·二模）若是偶函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．6．（2025高二·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的周期為4 D．8．（24-25高二下·天津西青·階段練習(xí)）已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

題型三函數(shù)圖像的應(yīng)用1．（24-25高二下·湖北宜昌·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·云南大理·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．3．（24-25高二下·山西晉中·階段練習(xí)）已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則的圖象不可能是（

）A． B．C． D．4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，圓C和直角三角形AOB的兩邊相切，射線OP從OA處開始，繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)(到OB處為止)時(shí)，所掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖象大致為（）A． B．C． D．5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）（多選）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，可能正確的是（

）A． B．C． D．題型四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．（24-25高三下·湖北·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，滿足，且則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，則（

）A．為奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最小正周期為4D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱3．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，若正數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．4．（24-25高一上·福建三明·期中）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足對(duì)任意、，且，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，滿足，且，則（

）A．651 B．676 C．1226 D．12756．（24-25高三上·福建漳州·階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)不恒等于，且對(duì)任意的，有，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．是的一個(gè)周期7．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）（多選）若定義在R上的函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是周期為4的周期函數(shù)C． D．8．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．是以8為周期的周期函數(shù)C．D．9．（24-25高一上·上?！卧獪y試）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)．關(guān)于狄利克雷函數(shù)有如下四個(gè)命題：①；②對(duì)任意，恒有成立；③任取一個(gè)不為0的有理數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立；④存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形．其中真命題的序號(hào)為（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④10．（23-24高二下·重慶·期末）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)=.①為定義在R上的非常值函數(shù)；②且,均存在唯一的且）使得成立；③均存在.使得成立.11．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，有，，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．4為函數(shù)的一個(gè)周期12．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且過點(diǎn)，對(duì)于一切正實(shí)數(shù)，都有．當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．B．在上是單調(diào)函數(shù)C．有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)猜押考點(diǎn)3年真題考情分析押題依據(jù)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2024全國新高考I卷6、82024全國新高考Ⅱ卷62023全國新高考I卷4、112023全國新高考Ⅱ卷42022全國新高考I卷12、2022全國新高考Ⅱ卷8函數(shù)的周期性單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是高考的重難點(diǎn)方向，特別是新高考新題型以后，它們與抽象函數(shù)的結(jié)合將是未來一個(gè)重要方向圖像的識(shí)別及應(yīng)用逐漸淡化函數(shù)的綜合因應(yīng)用作為壓軸題，一般會(huì)是同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)比較大小，函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用化工等1.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用；2.函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性與函數(shù)的圖像相結(jié)合加以考查.3.隨著高考改革的推進(jìn)，題目的減少，抽象函數(shù)性質(zhì)的考查，以及函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的綜合考查將增多.題型一函數(shù)的概念與單調(diào)性1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】的部分利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成不等式恒成立問題；的部分利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定；分段點(diǎn)處也要滿足遞減的性質(zhì)，然后取交集即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，由在上遞減，若，，合題意，若，則，故;又分段點(diǎn)處也要滿足遞減的性質(zhì)，所以，解得.綜上所述，，故選：C．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，將原不等式轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，即函?shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，解得，即的取值范圍是，故選：B.3．（2025·江西·一模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由且，得，即或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.4．（2025·四川攀枝花·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】求出得到，得到關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)求導(dǎo)，判斷當(dāng)時(shí)的單調(diào)性，根據(jù)得到恒成立，即可求解.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，即，所以關(guān)于直線對(duì)稱，又，當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5．（2025高三下·河北承德·專題練習(xí)）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷出其單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】易知函數(shù)和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，故，即．故選：D6．（24-25高一下·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，解得，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A7．（24-25高一下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有在上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)，當(dāng)時(shí)，或，綜上，.故選：B.題型二周期性、奇偶性、對(duì)稱性的應(yīng)用1．（24-25高一上·遼寧鞍山·期中）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C．6 D．10【答案】A【分析】先利用偶函數(shù)性質(zhì)和已知等式得到函數(shù)的周期，再根據(jù)周期和已知等式計(jì)算.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以.已知，將換為，可得，又因?yàn)?，所?由和可得.令，則，那么，又因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)的周期是，所以.在中，令，可得，即，解得，所以.故選：A.2．（2025·河南鄭州·二模）（多選）已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)均滿足，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．關(guān)于軸對(duì)稱D．【答案】ABD【分析】由中令可得A正確；由可得B正確；由可得C錯(cuò)誤；換元法求出可得D正確.【詳解】對(duì)于A，由可得；對(duì)于B，由可得，即，所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，由可得，所以關(guān)于軸對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由中令可得，設(shè)，①又，②由①②可得，所以，即，所以，所以所以，故D正確；故選：ABD3．（24-25高二下·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷的奇偶性和單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以為奇函?shù)，，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，所以，又單調(diào)遞增，所以，即解集為.故選：A.4．（24-25高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用偶函數(shù)的定義列式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算求參.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，所以且，則.故選：A.5．（2025·四川自貢·二模）若是偶函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義，列式運(yùn)算得解.【詳解】由題，可得，即，，，即因不恒為0，故.故選：B.6．（2025高二·全國·專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，，所以為偶函數(shù)，故B正確；又對(duì)兩邊求導(dǎo)，得，即，所以是偶函數(shù)，故D正確；由，可得，由，可得，所以，即，即得，所以是周期為4的函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)，得，所以是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；由，可得，即，又由，可得，所以，即為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故C正確．故選：BCD．7．（24-25高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的周期為4 D．【答案】B【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得、，通過合理賦值即可判斷BCD.【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯(cuò)誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.故選：B8．（24-25高二下·天津西青·階段練習(xí)）已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)的奇偶性排除BD；根據(jù)單調(diào)性排除C，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，所以在上是奇函?shù)，故可排除選項(xiàng)B，D，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，故可排除選項(xiàng)C.故選：A題型三函數(shù)圖像的應(yīng)用1．（24-25高二下·湖北宜昌·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)函數(shù)值的特征排除B、C，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可排除A.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，故排除C，當(dāng)時(shí)，，則，所以，故排除B；又，所以當(dāng)或時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減，故排除A.故選：D2．（23-24高二下·云南大理·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性即可得出選項(xiàng)．【詳解】解：，定義域?yàn)?，，令，得，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，排除A、C，當(dāng)時(shí)，，，，所以，排除B，只有D中圖象符合題意；故選：D3．（24-25高二下·山西晉中·階段練習(xí)）已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則的圖象不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)設(shè)，分析的取值，結(jié)合函數(shù)圖象可確定答案.【詳解】設(shè)，A.當(dāng)，，時(shí)，，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為軸，滿足要求，A正確；B.∵時(shí)，，時(shí)，，∴.由圖象得，為開口向上的二次函數(shù)，即，由得，故，對(duì)稱軸為軸，不合要求，B錯(cuò)誤；C.由圖象可得為奇函數(shù)，且，故，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，滿足要求，C正確；D.∵時(shí)，，∴，由，得，，由圖象得，，的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)大于，即，故.由得，，由得，或，∴在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，滿足要求，D正確.故選：B.4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，圓C和直角三角形AOB的兩邊相切，射線OP從OA處開始，繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)(到OB處為止)時(shí)，所掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】如圖，設(shè)單位時(shí)間旋轉(zhuǎn)角度為，圓半徑為r，則，由題可得關(guān)于t的表達(dá)式，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得答案.【詳解】如圖，設(shè)單位時(shí)間旋轉(zhuǎn)角度為，圓C半徑為r，則，則，則，即函數(shù)圖象單調(diào)遞增，再令，則函數(shù)圖象的切線斜率逐漸變大，曲線也逐漸變陡，故選項(xiàng)B符合；故選：B5．（2025高二·全國·專題練習(xí)）（多選）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，可能正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若為的圖象，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，圖象可能正確，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若為的圖象，，在上單調(diào)遞增，圖象可能正確，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若為的圖象，當(dāng)時(shí)，，為常函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，圖象可能正確，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若為的圖象，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，不符合；若為的圖象，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，不符合；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，也不符合，故D錯(cuò)誤；綜上，故選ABC．題型四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．（24-25高三下·湖北·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，滿足，且則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)累加法可得即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋视衫奂臃傻?，故，故AB錯(cuò)誤，由，所以故，所以C錯(cuò)誤,D正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用累加法可得.2．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，則（

）A．為奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最小正周期為4D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】D【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，得，從而可知的對(duì)稱中心；根據(jù)題意令可知，從而，結(jié)合對(duì)稱中心可判斷的對(duì)稱軸與奇偶性和最小正周期.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，項(xiàng)正確；因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋字亩x域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，所以，根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，所以，故為偶函數(shù)，項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以的最小正周期為，則的最小正周期為，項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)為偶函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，最小正周期為，易知的所有對(duì)稱軸為直線，故項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.3．（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，若正數(shù)m，n滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得，據(jù)此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以由可得，即，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D4．（24-25高一上·福建三明·期中）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足對(duì)任意、，且，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，可得出，分、兩種情況將不等式變形，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)任意的對(duì)任意、，且，都有，不妨設(shè)，則，可得，即，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，，當(dāng)時(shí)，由可得，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的思路如下：（1）先分析出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，并注意定義域；（3）求解關(guān)于自變量的不等式，從而求解出不等式的解集.5．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，滿足，且，則（

）A．651 B．676 C．1226 D．1275【答案】D【分析】根據(jù)條件變形得到，再結(jié)合條件求得，再通過賦值求的值.【詳解】由條件，可知，，，以上三個(gè)式子相加得：，又，所以，，，，…，，以上式子相加得，所以.故選：D6．（24-25高三上·福建漳州·階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)不恒等于，且對(duì)任意的，有，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．是的一個(gè)周期【答案】ABC【分析】利用賦值法令根據(jù)表達(dá)式可判斷A正確，再根據(jù)偶函數(shù)定義可得B正確；取并根據(jù)對(duì)稱中心定義可得C正確，由對(duì)稱中心以及偶函數(shù)性質(zhì)可判斷是的一個(gè)周期，可得D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意令，則由可得，解得，即A正確；對(duì)于B,令可得，所以，即可得對(duì)任意的滿足，即是偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C,令，則由可得，即滿足，因此可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即C正確；對(duì)于D,由于是偶函數(shù)，所以滿足，即，可得，也即，所以是的一個(gè)周期，即D錯(cuò)誤.故選：ABC7．（24-25高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）（多選）若定義在R上的函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是周期為4的周期函數(shù)C． D．【答案】ABC【分析】利用與得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用與得到為偶函數(shù)；利用得到，最后利用得到的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋裕?，則，即，所以，故是周期為4的周期函數(shù)．因?yàn)?，所以也是周期?的周期函數(shù)，選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，則，則，所以，所以為偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，令，得，即，令，得，即，故，選項(xiàng)C正確；由，得，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)時(shí)，需要根據(jù)其函數(shù)關(guān)系消元，得到一個(gè)函數(shù)的關(guān)系，然后得出的性質(zhì)；最后再利用與的關(guān)系求解相關(guān)的一些性質(zhì)即可.8．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．是以8為周期的周期函數(shù)C．D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達(dá)式可知滿足，可判斷A正確；化簡可得可知B正確；又可得，即C正確；利用賦值法可求得，可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由題意，且，即①，用替換中的，得②，由①+②得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，故A正確；對(duì)于B，由，可得，，所以，所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由①知，則，所以，故C正確；對(duì)于D，又因?yàn)?，所以，令，則有2，令，則有，令，則有，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)性質(zhì)綜合問題經(jīng)常利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性中的兩條性質(zhì)去推導(dǎo)第三個(gè)性質(zhì)，再將3個(gè)性質(zhì)綜合運(yùn)用即可實(shí)現(xiàn)問題求解.9．（24-25高一上·上?！卧獪y試）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)．關(guān)于狄利克雷函數(shù)有如下四個(gè)命題：①；②對(duì)任意，恒有成立；③任取一個(gè)不為0的有理數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立；④存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形．其中真命題的序號(hào)為（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】命題①：根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義分別驗(yàn)證為無理數(shù)和為有理數(shù)時(shí)的值；命題②和命題③：分為無理數(shù)和為有理數(shù)兩種情況進(jìn)行驗(yàn)證；命題④：結(jié)合狄利克雷函數(shù)的定義利用特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證．【詳解】①若為有理數(shù)，則是有理數(shù)，則，若為無理數(shù)，則是有理數(shù)，則，故①錯(cuò)誤；②若為有理數(shù)，則為有理數(shù)，此時(shí)，，即成立，若為無理數(shù)，則為無理數(shù)，此時(shí)，，即成立，綜上，對(duì)任意，恒有成立，故②正確；③若為有理數(shù)，則為有理數(shù)，此時(shí)，，即成立，若為無理