/河北省張家口市2025屆高三全市第二次模擬考試（張家口二模）數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．在某次高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)第一個解答題的得分情況如下：7，9，5，8，4，1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和極差分別為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．商品價格與銷量之間往往存在某種關(guān)系，以下是某商品價格x（單位：元）與銷量y（單位：萬件）的調(diào)研數(shù)據(jù)：商品價格x/（元）1015202530銷量y/（萬件）5446403632則下面四個回歸方程中最適宜作為銷量y與價格x的回歸方程的是（）（參考數(shù)據(jù)，，）A． B． C． D．7．已知正三棱柱的表面積為，則當(dāng)其體積取得最大值時，該三棱柱的高為（）A．3 B． C． D．8．在銳角三角形PMN中，，，垂足為Q，，則點P的軌跡為（

）A．長軸長為2，離心率為的橢圓的一部分B．長軸長為，離心率為的橢圓的一部分C．實軸長為2，離心率為的雙曲線的一部分D．實軸長為，離心率為的雙曲線的一部分二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則（

）A．是的充要條件B．是與的夾角為銳角的必要不充分條件C．是的充要條件D．是的充要條件10．已知函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，，且對于任意的，都有，則（）A． B．為偶函數(shù)C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，11．在直角中，，D為線段上一點，則（）A．若，，D是的內(nèi)切圓在上的切點，則B．若，則存在直角，使得是，的等比中項C．若，則存在直角，使得是，的等比中項D．若，則存在直角，使得是，的等比中項三、填空題（本大題共3小題）12．已知點為拋物線上一點，為的焦點，則.13．已知數(shù)列不是遞增數(shù)列，且，則k的取值范圍為.14．已知關(guān)于x的方程有兩個不等實根，則正數(shù)a的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，圓.(1)若兩條相鄰的對稱軸與C相切，求；(2)若，是的極值點，且點有且僅有兩個在C的內(nèi)部，求的取值范圍.16．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)探究是否為的極大值點.17．乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：在雙方打成10平后，領(lǐng)先兩分者獲勝.在某校組織的乒乓球比賽中，甲、乙兩名同學(xué)已經(jīng)打成了10平.已知下一球乙同學(xué)得分的概率為，且對以后的每一球，若乙同學(xué)在本球中得分，則他在下一球的得分概率為，若乙同學(xué)在本球中未得分，則他在下一球的得分概率為.(1)求在繼續(xù)打了兩個球后比賽結(jié)束的條件下，乙同學(xué)獲勝的概率；(2)求乙同學(xué)最終獲勝的概率.18．如圖，四棱錐的各個頂點均在球O的表面上，且，，平面.

(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值的最小值.19．現(xiàn)定義：對于實數(shù)，若，則稱b是a和c的加比中項；若，則稱b是a和c的減比中項.已知數(shù)列滿足，，且存在正數(shù)m，使是和的加比中項與減比中項.(1)若是與的等比中項，求m；(2)數(shù)列滿足，，且是和的減比中項.記數(shù)列的前n項和為.（?。┳C明：是和的減比中項；（ⅱ）當(dāng)時，證明：.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，故.故選D.2．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差為.故選A.3．【答案】D【詳解】由題意可得，則.故選D.4．【答案】A【詳解】設(shè)，其中，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可知．將，代入可得：根據(jù)平方差公式，可得，則上式可化為：因為等式兩邊的復(fù)數(shù)相等，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，可得方程組．由，解得．將代入，可得，解得，由，，可得，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以該點位于第一象限．故選A．5．【答案】C【詳解】展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中項的系數(shù)為.故選C.6．【答案】C【詳解】對于A，分別代入，可得，與實際值相差較大，不合題意，故A錯誤；對于B，分別代入，可得，第五組數(shù)據(jù)與實際值相差較大，不合題意，故B錯誤；對于C，分別代入，求得的估計值與實際值完全相同，應(yīng)采用，故C正確；對于D，分別代入，可得，，得，數(shù)據(jù)與實際值相差較大，不合題意，故D錯誤.故選C.7．【答案】B【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，則其表面積，得，又，所以，故正三棱柱的體積，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，該正三棱柱體積取得最大值，此時三棱柱的高為.故選B.8．【答案】D【詳解】以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸，MN的中點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨令，，設(shè)，則，因為是銳角三角形，所以，則|，，，由，得，整理得，其為雙曲線的一部分，且雙曲線的實軸長為，離心率為，故點P的軌跡為實軸長為，離心率為的雙曲線的一部分．故選D.9．【答案】AC【詳解】對于A，由，故A正確；對于B，由為銳角且不共線且，故B錯誤；對于C，由或，故C正確；對于D，時，可得：，，此時，仍滿足，故D錯誤，故選AC.10．【答案】ACD【詳解】對于A，令，得，解得，故A正確；對于B，令，則，所以是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，因為當(dāng)時，，是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以，故C正確；對于D，設(shè)，令，則，因為，所以，因為，所以，因此，即在上單調(diào)遞增，因為是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故，故D正確.故選ACD.11．【答案】AB【詳解】對于A，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，由幾何關(guān)系可得，，，則，故A正確；對于B，取，，則，所以，則，即存在直角，使得是的等比中項，故B正確；對于C，若，由面積，有，若是的等比中項，則，故有，顯然不成立，故不存在，使得是的等比中項，故C錯誤；對于D，若，由正弦定理可得，，即，，可得，若成立，則，，即，即，顯然不成立，故不存在，使得是的等比中項，故D錯誤.故選AB.12．【答案】【詳解】將代入拋物線中，得到，解得，則拋物線方程為，，故.13．【答案】【詳解】因為不是遞增數(shù)列，所以或，解得.所以的取值范圍為.14．【答案】【詳解】由，可得，即，等價于，變形得，令函數(shù)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又因為當(dāng)時，，時，，所以若方程有兩個實根，由，只需滿足或，所以正數(shù)的取值范圍為.15．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題，相鄰對稱軸間的距離為，又圓的直徑為3，則，得，又圓心，所以其中一條對稱軸為，，得，，又，.（2）若，則的極值點滿足，，得，，又圓與軸交點分別為，所以原題設(shè)等價于有且僅有2個的值滿足，整理得，故能且僅能取兩個值，所以，解得.16．【答案】(1)(2)不是極大值點【詳解】（1）當(dāng)時，，，則，，所以曲線在點處的切線方程為.（2）易得，假設(shè)是的極大值點，則，即，化簡得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，只有當(dāng)時，上式成立，故，當(dāng)時，，則，但由假設(shè)知是的極大值點，于是由極大值的定義知存在，使得時，，與假設(shè)矛盾.所以不是的極大值點.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在打了兩個球后結(jié)束，則甲連勝兩球或乙連勝兩球，設(shè)事件為“再打兩球后結(jié)束”，事件為“乙贏得比賽”，則，，故.（2）設(shè)事件為“乙贏了本局”，事件為“乙贏了上一局”，設(shè)事件為“當(dāng)前乙同學(xué)分?jǐn)?shù)與甲同學(xué)分?jǐn)?shù)之差為時，最終乙同學(xué)獲勝”，當(dāng)時，乙肯定贏了上一局，此時，若贏球則乙直接贏得比賽，若輸球則乙獲勝的概率為，所以，同理，當(dāng)時，乙肯定輸了上一局，此時，若輸球則輸?shù)舯荣?，若贏球則獲勝的概率為，所以，當(dāng)時，若乙贏了上一局，此時，若贏球則獲勝的概率為，若輸球則獲勝的概率為，所以，若乙輸了上一局，，同理可得，又初始，故乙同學(xué)最終獲勝的概率等價于，所以，解得.所以乙同學(xué)最終獲勝的概率為.18．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【詳解】（1）由題，四邊形在球的一個圓面的圓周上，故，又，故，故，由平面，平面，得，又，平面，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）作，由平面平面，平面平面，平面，可得平面，記四棱錐的體積為，則，而，由平面，則，故，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，由，得，，由，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，于是，故.故四棱錐體積的最大值為.

（3）取的中點，以為原點，為軸，過點且平行于的直線為軸，過點且平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，故，解得，故,記與軸交于點，易知，而，故可設(shè)點，其中，于是，易知平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，由輔助角公式得，所以，當(dāng)，時，等號成立，故直線與平面所